1、 1 云南省大理州南涧县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120分钟。 注 :所有题目在答题卡上做答 第 I卷（选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中， 只有 一项 是最符合题目要求的。） 1.若集合 ? ? ? ?22| 2 2 , | l o gA x Z x B x y x? ? ? ? ? ? ?，则 BA? =（ ） A ? ?1,1? B ? ?1,0,1? C ?1 D ? ?0,1 2.若复数 z 满足 ( 2 ) 3i z
2、 i?（ i 为虚数单位 ），则 z 的共轭复数为 （ ） A 2 i? B 2 i? C i21? D 12i? 3.已知抛物线 )0(2 ? aaxy 的焦点到准线距离为 1，则 ?a （ ） A. 4 B.2 C.41 D. 21 4.将 函数 ? ?3 c o s s iny x x x R? ? ?的 图象向左平移 ? ?0mm? 个 单位长度 后 ，所得到的图象关 于 y 轴 对称，则 m 的 最小值是（ ） A6?B12?C.3?D 56?5.已知 R? ,向量 ? ? ? ?2,1,3 ? ? ba ，则 “ 3? ”是“ ba/ ”的 （ ） A必要不充分条件 B充分不必要条
3、件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 6.如右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执 行该程序框图，若输入 ,abi 的值分别为 6,8,0 时，则输出的 i =（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 7 若 等比数列 na ，前 n 项和 nS ， 且 2 3 12aa a? ， 54为 4a 与 72a 的等差中项，则 4S? （ ） A 29 B 30 C 31 D 33 8.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 （ ） A.210 B.84 C.343 D.336
4、 2 9.已知函数 ? ? txxf ? 3log 是偶函数，记 ? ? ? ? ? ?tfcfbfa ? 2,4l o g 33.0 ?则cba, 的大小关系为（ ） A bca ? B cba ? C. bac ? D abc ? 10.如 右 图为某几何体的三视图，则其体积为 （ ） A. 43? B.43? C.2433? D.2 43 ?11.已知数列 ?na 为等差 数列，满足 OCaOBaOA 20163 ? ，其中,ABC 在一条直线上， O 为直线 AB 外一点，记数列 ?na 的前 n项和为 nS ，则 2018S 的值为（ ） A 22017 B 2017 C 22018
5、 D 2018 12 已知定义在 R 上的可导函数 ?xf 的导函数为 ?xf ，满足 ? ? ? ?xfxf ? ，且? ? ? ?xfxf ? 2 ， ? 12?f ，则不等式 ? ? xexf ? 的解集为（ ） A（ 2， + ） B（ 2， + ） C（ 1， + ） D（ 0， + ） 第卷（非选择题 共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题， 每小题 5分，共 20 分，把答案填在题中横线上）。 13.已 知 xy， 满足 约束条件 1020xyxyy? ? ?， 求 ? ? ? ?2211z x y? ? ? ?的 最小值是 14.? ?61xx? 的展开式中， 2x 项的系
6、数为 _.（用数字作答） 15.已知双曲线 ? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的一条渐近线被圆 ? ?2 224x c y a? ? ? 截得弦长为 2b(双曲线的焦距 2c)，则该双曲线的离心率为 16.三棱锥 A BCD? 中， ,AB AC AD 两两垂直，其外接球半径为 2，设三棱锥 A BCD? 的侧面积为 S ，则 S 的最大值为 三解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共 6小题，共 70分 ,写出证明过程或演算步 骤 ） 17 （本题满分 10分） 在公差不为零的等差数列 ?na 和等比数列 ?nb 中已知111 ?ba , 22 ba ? , 36 ba?
7、 . 3 （ 1）求等差数列 ?na 的通项公式 na 和等比数列 ?nb 的通项公式 nb ； （ 2）求数列 ? ?nn ba? 的前 n 项和 nS 18.（本题满分 12 分）已知 cba, 分别是 ABC 的三个内角 CBA , 的对边，且2 sin ( ) 3 .3a C b? （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 3?AB ， AC 边上的中线 BD 的长为 13 ，求 ABC 的面积 . 19.（本题满分 12分）如图在直角梯形 11BBCC 中， 11 90CCB?，1 1 1 1 1 1/ / , 2 2 ,B B C C C C B C B B D? ? ?是 1CC 的
8、中 点 .四边 形11AACC 可以通过直角梯 11BBCC 形以 1CC 为轴旋转得到，且二面角 11B CC A?为 0120 . （ 1）若点 E 是线段 11AB 上的动点，求证： /DE 平面 ABC ； （ 2）求二面角 1B AC A?的余弦值 . 20.（本题满分 12分） 现有 4名同学 去参加 校学生会 活动， 共 有甲、乙两 类活动 可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪 类活动 ，掷出点数为 1或 2的人去参加甲 类活动 ，掷出点数大于 2的人去参加乙 类活动 . （ 1）求这 4个人中恰有 2人去参加甲 类活动 的概率； （
9、 2）用 YX, 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙两 类活动 的人数，记 YX? ，求随机变量 ? 的分布列与数学期望 )(?E . 21.（本题满分 12 分）已知椭圆 C 满足：过椭圆 C 的右焦点 ( 2,0)F 且经过短轴端点的直线的倾斜角为 4? . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 O 为坐标原点，若点 A 在直线 2y? 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB? ，求线段 AB4 长度的最小值 . 22 （本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?1 lnf x x x ax a? ? ? ?（ a 为常数，且为正实数） . （ 1）若 ?fx在 ? ?0,? 上单
10、调递增，求 a 的取值范围； （ 2）若不等式 ? ? ? ?10x f x?恒成立，求 a 的取值范围 . 5 高二理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A B C B D A A C D 二、填空题 13. 21 14 . -20 15. 3 16. 8 三、解答题 17.解 公差不为零的等差数列 ?na 和等比数列 ?nb 中 111 ?ba , 22 ba ? , , 36 ba? ? ? ? 2511 qd qd，且 0?d ， ? 1分 解得 4,3 ? qd ， ? 3分 233)1(1 ? nna n ， ?
11、 4分 14? nnb ? 5分 （ 2）由（ 1）得 14)23( ? nnn nba ， 1210 4)23(474441 ? nn nS ， ? 6 分 nn nS 4)23(4744414 321 ? ， ? 7分 ，得： nnn nS 4)23(4343434313 1321 ? ? 8分 =1+3 nn 4)23( ? ? 9分 = 3（ 3n 3） ? n4 Sn=1+（ n 1） ? n4 ? 10 分 18.(1)由 bCa 33s in2 ? ? ?，变形为 BCCA s i n33s i nc o s3c o ss i ns i n2 ? ? ?， ? ? ?CACACA
12、 ? ?s i n3c o ss i n3s i ns i n ， 即 ? ?CACACA ? s i n3c o ss i n3s i ns i n 即 CACACACA s i nc o s3c o ss i n3c o ss i n3s i ns i n ? ，即6 CACA s inc o s3s ins in ? . 因为 0sin ?C ，所以 AA cos3sin ? ， 3tan ?A .又 ? ? 3,0 ? ? AA? ? 6 分 . （ 2 ）在 ABD? 中， 3?AB ， 13?BD ， 3?A ，利用余弦定理，222 c o s2 BDAADABADAB ? 得 4
13、?AD ，又 D是 AC 的中点 8?AC ， 36s in21 ? AACABS ABC.-12 分 19.：（ 1）连接 11,DBDA , 11/ AACDAACD ?且? 是平行四边形四边形 DCAA 1? 。 1分 11 / DBBCDAAC 同理? ? 2分 ABCDBABCAD 面面 /,/ 1? ? 3分 C A BBDADDBDA 面面又 /1111 ? ? 4分 ./11 ABCDEBDADE 面面又 ? ? 5分 （ 2） 11111111111111 , CBACCCACCBCCCBCFCC 面由题知作过 ? 分别以 CCBCFC 1111 , 为 x 轴 y 轴 z
14、轴正方向建立空间直角坐标系 xyzC?1 则 )1,2,0(),2,0,0(),1,1,3(),0,0,0(1 BCAC ?-7分 ),(1 zyxmACA ?的法向量为设面 ， ),( cbanBAC ?的法向量为面 则?0302zyxz 可取 )0,3,3(?m ， - 8分 ?03302bacb 可取 )2,1,3(?n -9分 7 464139333,c o s ?nmnmnm -11 分 所以二面角 1AACB ? 的余弦值为 46 -12分 20. 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲类活动的概率为 13，去参加乙类活动的概率为 23.设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲类活动
15、”为事件iA(i 0,1,2,3,4)，则iiii CAP ? 44 )32()31()(（ 1 ）这 4 个 人 中 恰 有 2 人 去 参 加 甲 类 活 动 的 概 率 278)32()31()( 22242 ? CA. .4分 （ 2）的所有可能取值为 0,2,4. 由于1A与3互斥，0与4A互斥，故278)()0( 2 ? APP ?， 8140)()()2 31 ? APAPP8117)()()4( 40 ? APAP?所以的分布列是 . .10分 随机变量的数学期望8114881174814022780E ?. .12 分 21. 解：（ 1）设椭圆的短轴端点为 ），（ b-0
16、（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的 斜率 0 ( ) ta n 1421bk ? ? ? 所以 2?b ， 又 2?c 2?a22 142xyC? ? ?的 方 程 ：? 4分 （ 2）设点 ,AB的坐标分别为 00( ,2),( , )t x y ，其中 0 0x? ,OA OB? 0OAOB?,即就是 0020tx y?， ? 6分 解得 00yt x? . 又 220024xy? 22 2 2 2000 0 0 0 022 8( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 4 (0 4 )2yxA B x t y x y xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 0 2 4 P 827 4081 1781 8 200208 4 (0 4 )2x xx? ? ? ?且当 20 4x? 时等号成立，所以 AB 长度的最小值为 22? 12分 22
