1、1 第一讲第一讲 走进追问求根公式走进追问求根公式 形如0 2 cbxax（0a）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式 a acbb x 2 4 2 2 , 1 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元 二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解 可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易
2、于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解例题求解】 【例 1】满足1) 1( 22 n nn的整数 n 有 个。 思路点拨：思路点拨：从指数运算律、1 的特征人手，将问题转化为解方程。 【例 2】设 1 x、 2 x是二次方程03 2 xx的两个根，那么194 2 2 3 1 xx的值等于（ ） A、一 4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：思路点拨：求出 1 x、 2 x的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式 降次，如 1 2 1 3xx， 2 2 2 3xx。 【例 3】 解关于x的方程02) 1( 2 aaxxa。 思
3、路点拨思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01a及01a两种情况讨论。 【例4】 设方程0412 2 xx，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例 5】 已知实数a、b、c、d互不相等，且x a d d c c b b a 1111 ， 试求x的值。 思路点拨：思路点拨：运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程0 2 cbxax（0a）直接作零值多项式代换； (2)把方程0 2 cbxax（0a）变形为cbxax 2 ，代换后降次；
4、 (3)把方程0 2 cbxax（0a） 变形为cbxax 2 或bxcax 2 ， 代换后使之转化关系或整体 地消去x。 解合字母系数方程0 2 cbxax时，在未指明方程类型时，应分0a及0a两种情况讨论；解绝 对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 22 2 xxx。 2 走进追问求根公式学历训练走进追问求根公式学历训练 1、 已 知a、b是 实 数 ， 且0262ba， 那 么 关 于x的 方 程1)2( 22 axbxa的 根 为 。 2、已知023 2 xx，那么代数式 1 1) 1( 23 x xx 的值是 。 3、若14 2 yxyx，28 2 xxyy，则yx的值
5、为 。 4、若两个方程0 2 baxx和0 2 abxx只有一个公共根，则( ) A、ba B、0ba C、1ba D、1ba 5、当分式 43 1 2 xx 有意义时，x的取值范围是( ) A、1x B、4x C、41x D、1x且4x 6、方程011) 1(xxxx的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 7、解下列关于x的方程： (1)03) 12() 1( 2 mxmxm； (2)012 xx； (3)xxx2654 2 。 8、已知022 2 xx，求代数式) 1)(3()3)(3() 1( 2 xxxxx的值。 9、是否存在某个实数 m，使得方程02 2 mxx和02
6、2 mxx有且只有一个公共的实根?如果存在， 求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是： 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。 10、若015 2 xx，则 1 5 392 2 2 x xx 。 11、已知m、n是有理数，方程0 2 nmxx有一个根是25 ，则nm的值为 。 12、已知a是方程02000 2 xx的一个正根。则代数式 a 2000 1 2000 1 2000 3 的值为 。 3 13、对于方程mxx222，如果方程实根的个数恰为 3
7、个，则 m 值等于( ) A、1 B、2 C、3 D、25 14、自然数n满足 16162472 )22()22( 2 nn nnnn，这样的n的个数是( ) A、2 B、1 C、3 D、4 15、已知a、b都是负实数，且 0 111 baba ，那么 a b 的值是( ) A、 2 15 B、 2 51 C、 2 51 D、 2 51 16、已知3819x，求 158 231826 2 234 xx xxxx 的值。 17、已知 m、n 是一元二次方程072001 2 xx的两个根，求)82002)(62000( 22 nmmm的值。 18、在一个面积为 l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和 它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为 3281 1 ，求n的值。 19、已知方程013 2 xx的两根、也是方程0 24 qpxx的根，求p、q的值。 20、如图，锐角ABC 中，PQRS 是ABC 的内接矩形，且 SABC=nS矩形 PQRS，其中n为不小于 3 的 自然数求证： AB BS 需为无理数。 4 参考答案参考答案 5
