1、 专题专题 01：初识极值：初识极值点偏移点偏移 一、极值一、极值点偏移的含义点偏移的含义 众所周知， 函数( )f x满足定义域内任意自变量x都有( )(2)f xfmx=-， 则函数( )f x关于直线xm= 对称；可以理解为函数( )f x在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若( )f x为单峰函数，则xm=必为 ( )f x的极值点. 如二次函数( )f x的顶点就是极值点 0 x，若( )f xc=的两根的中点为 12 2 xx+ ，则刚好有 12 0 2 xx x + =，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等， 则为极值点偏移： 若单峰函数( )f x的极
2、值点为m， 且函数( )f x满足定义域内xm= 左侧的任意自变量x都有( )(2)f xfmx-或( )(2)f xfmx-，则函数( )f x极值点m左右侧变化快慢 不同. 故单峰函数( )f x定义域内任意不同的实数 12 ,x x满足 12 ( )()f xf x=，则 12 2 xx+ 与极值点m必有确 定的大小关系：来源:ZXXK 若 12 2 xx m + ，则称为极值点右偏右偏.来源:Z.X.X.K 如函数( ) x x g x e =的极值点 0 1x =刚好在方程( )g xc=的两根 中点 12 2 xx+ 的左边， 我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题二、极值点偏
3、移问题的一般题设形的一般题设形式：式： 1. 若函数( )f x存在两个零点 12 ,x x且 12 xx，求证： 120 2xxx+（ 0 x为函数( )f x的极值点） ； 2. 若函数( )f x中存在 12 ,x x且 12 xx满足 12 ( )()f xf x=，求证： 120 2xxx+（ 0 x为函数( )f x的极值 点） ；来源:Z*xx*k.Com 3. 若函数( )f x存在两个零点 12 ,x x且 12 xx，令 12 0 2 xx x + =，求证： 0 ()0fx；来源:ZXXK 4. 若函数( )f x中存在 12 ,x x且 12 xx满足 12 ( )()
4、f xf x=，令 12 0 2 xx x + =，求证： 0 ()0fx. 三、新题展示三、新题展示来源来源: 【2019 江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = ax(a 0). (1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0，都有 f(x) 0 成立； (2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： ln a. 四四、问题初现，形神合聚、问题初现，形神合聚来源来源:163文库 函数 2 ( )21 x f xxxae=-+ +有两极值点 12 ,x x，且 12 xx.来源:163文库 已知函数( )lnf xx=的图象 1 C
5、与函数 2 1 ( )(0) 2 g xaxbx a=+?的图象 2 C交于,P Q，过PQ的中点R 作x轴的垂线分别交 1 C， 2 C于点,M N， 问是否存在点R， 使 1 C在M处的切线与 2 C在N处的切线平行？ 若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由. 五五、招式演练、招式演练来源来源: 过点作曲线的切线 （1）求切线 的方程； （2）若直线 与曲线交于不同的两点，求证： 五、新题试炼五、新题试炼 【2019 江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = ax(a 0). (1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0，都有 f(x) 0 成立； (2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： ln a. 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经 常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此 类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！
