1、 【题型综述题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数函数最值；直接化为最值分类讨论； 缩小范围证明不等式；分离函数数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函 数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可 能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值 的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一 般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简 单，分类范围较小，分类情况较少，难
2、点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函 数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像 的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实 际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。 【典例指引】典例指引】 例 1 己知函数 ( )() ln xx fxeaxbex=+-. （1）若函数 ( ) f x在1x =处取得极值，且1b =，求a； （2）若ba=-，且函数 ( ) f x在 ) 1,+?上单调递増，求a的取值范围. 解：（1） ( ) 1 ln x fxeaxbxa x 骣 琪
3、=+ -+- 琪 桫 ，由题意可得： ( ) 10f=，又1b =，所以0a =.经检验适合题意. (2) ( )() ln x f xeaxax=-， ( ) 1 ln x fxeaxaxa x 骣 琪=-+-= 琪 桫 1 ln x eaxx x 骣 琪 - 琪 桫 ( ) f x在 ) 1,+?上单调递增 ( ) 0fx 鄢在 ) 1,+?上恒成立 1 ln0axx x ?-?在 ) 1,+?上恒成立 法一（分离参数（分离参数函数最值函数最值）：则 2 ln1x a xx ?在 ) 1,+?上恒成立，令 ( ) 2 ln1x g x xx =+， 下面求 ( ) g x在 ) 1,+?上
4、的最大值. ( ) 233 1ln2ln2xxxx g x xxx - =-=，令( )2h xxxlnx-=，则 ( ) 1 11 lnlnhxxxx x 骣 琪= -?- 琪 桫 .显然，当1x 时， ( ) 0h x ，即 ( ) h x单调递减，从而 ( )( ) 11h xh?-. 所以，当1x 时， ( ) 0gx ，即( )g x单调递减，从而 ( ) 1(1)maxg xg=.因此，1a . 法二（直接化为最值直接化为最值分类讨论分类讨论）：令 ( ) 1 lng xaxx x =-， ( ) 2 2 1axx gx x -+ =.令 ( )() 2 11h xaxxx=-+?
5、， 当 0a =时，1(0)h xx-+ =，所以 ( ) 0gx ，即 ( ) g x在 ) 1,+?上单调递减.而 ( ) 111 0ga=-=- 时，则开口向上 (方案一）：.若 140aD= -?，即 1 4 a 时，( )0h x ,即 ( ) 0,1,gxx ?，所以 ( ) g x在 ) 1,+?上递 增，所以 ( )( )min 110gxga=-?，即1a . .若0D，即 1 0 4 a时，此时 ( ) 11 0ga=-，即 ( ) 0,1,gxx ?，所以 ( ) g x在 ) 1,+?上递增，所以 ( )( )min 110gxga=-?， 即1a . .若对称轴 1
6、1 2 x a =，即 1 0 2 a时，则 ( ) 11 0ga=- ? ( ) g x在 ) 1,+?上为 增函数，则 ( )( ) 110g xga=-?，故1a 适合题意. 例 2. (2016 全国新课标文 20)己知函数 ( ) ()() 1 ln1f xxxa x=+-. （）当4a =时，求曲线 ( ) yf x=在 ( )() 1,1f处的切线方程； （）若当 () 1,x?时， ( ) 0f x ，求a的取值范围. 简析简析：（） ( ) f x的定义域为( ) 0,+.当4a =时， ( ) ()() 1 ln41f xxxx=+-， ( ) 1 ln3fxx x =+-
7、， ( )( ) 12,10ff =-=，所以曲线 ( ) yf x=在 ( )() 1,1f处的切线 方程为220 xy+-=. （）法一法一（参考答案，系数常数化（参考答案，系数常数化） ： ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立 () 1 ln0 1 a x x x - ? + 在 ) 1,+?恒成立，令 ( ) () 1 ln 1 a x g xx x - =-? + ( ) () () () 2 22 2 11 12 11 xa x a gx x xx x +-+ =-= + ， ( ) 10g= 当2a 时，则 () 1,x?)时， 22 2 1
8、1(1 0)2xa xxx+-+ ? ,故0( )g x ， ( ) g x在( ) 1,+?上是增函数， 故有 ( ) 0(1)g xg= 当2a 时，则 ( )() 2 1 0111gxxaa =?-， () 2 2 111 1xaa=-+-，由 121 101x xx?=， 故 ()( )2 1,0 xxgx 无， ( ) g x在( )2 1,x上是减函数，故有 ()( )( )2 1,10 xxg xg无不适合题 意. 综上，实数a的取值范围为2a 法二法二（直接化为最值直接化为最值）： ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立，则 ( ) 1 ln
9、 x fxxa x + =+- (导函数 为超越函数） ； ( ) 22 111 0 x fx xxx - =-= ( ) 1 l n1f xxa x ?+ +-在 ) 1,+?为增函数 ， 则 ( )( ) 12fxfa ?- （1） 当20a-?即2a 时，则 ( )( ) 20fxfxa ?-?(当且仅当1,2xa=时，取 “=” )， 故 ( ) f x在 ) 1,+? 为增函数，则有 ( )( ) 10f xf?，故 ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立，故2a 适合题意. （2）当 20a- 时，则 ( ) 10(2)fxfa = ?，故 (
10、) 0fx =在 ) 1,+?有唯 一实根 0 x，则 ( ) f x在 )0 1,x为减函数，在 )0, x +?增函数，又有 ( ) 10f=，则存在 )0 1,x ?,使得 ( )0 0f x不适合题意.综上，实数a的取值范围为2a . 法三法三（分离参数（分离参数）： ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立 () 1 ln 1 xx a x + ? - 在( ) 1,+?恒成立（端 点1x =自动成立），则 设 ( ) () ( ) () 2 1 2ln 1 ln 1 1 xx xx x g xgx x x - + =? - - ，令 ( )( )
11、2 112 2ln1h xxxhx xxx =-?+- ( ) 2 2 211 02ln xx h xxx xx -+ = ?-在 ) 1,+?为增函数，则 ( )(1)0h xh= ( ) () 1 ln 0( ) 1 xx gxg x x + ? - 在( ) 1,+?为增函数，又因 ( ) () 111 1 ln 1 limlimlim1 ln2 1 xxx xx g xx xx + 骣+ 琪=+ += 琪 - 桫 ，故实数a的取值范围为2a 法四（缩小范围法四（缩小范围）：）： ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立，且 ( ) 10f=，则存在1m
12、 ，使得 ( ) f x 在 1,m上为增函数 ( ) 1 ln0 x fxxa x + ?+-?在 1,m上恒成立，令 ( ) 110 2xfa = 蕹蓿. 又当2a 时， ( ) 22 111 0 x fx xxx - =-= ( ) 1 ln1fxxa x ?+ -在 ) 1,+?为增函数，则 ( )( ) 120fxfa ?-?(当且仅当(当且仅当1,2xa=时，取“=”)，故 ( ) f x在 ) 1,+?为增函数，则有 ( )( ) 10f xf?，故 ( ) ()() 1 ln10f xxxa x=+-在 ) 1,+?恒成立，故2a 适合题意. 综上，实数a的取值范围为2a .
13、点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值 导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。的嫌疑。 2.(重庆市 2015 届一诊理 20)已知曲线 ( )() 2 1lnfxa xbx=-+在点 ( )() 1,1f处的切线的斜率为 1； （1）若函数 ( ) f x在 ) 2,+?上为减函数，求a的取值范围； （2）当 ) 1,x?时，不等式 ( ) 1f xx?恒成立，求
14、a的取值范围. 解：（） ( ) 22 b fxaxa x =-+ 由题知 ( ) 11fb = ( )() 2 1lnfxa xx=-+，来源:Z。X。X。K ( ) 2 1221 22 axax fxaxa xx -+ =-+=， ( ) f x在 ) 2,+?上单减， ( ) 0fx 在 ) 2,+?上恒成立 即 2 2210axax-+ ?在 ) 2,+?上恒成立， 2 min 11 2 2 a xx 骣 琪?=- 琪 - 桫 ， 1 4 a ?； （）法一法一（直接化为最值）（直接化为最值）令 ( ) 2 ( )(11)1g xxa xlnxxfx+ =-+-=+-，则 ( ) 0g
15、 x 在 ) 1,+?上恒成立， ( ) ()() 211 1 221 axx gxaxa xx - =-+-= 当20a 即0a 时， ( ) 0gx ， ( ) g x在 ) 1,+?上单减， ( )( ) 10g xg?，符合题意； 当 1 01 2a 时， ( ) 0(1)g xg=，矛盾； 当 1 2 1 a 时， ( ) g x在 1 1, 2a 轹 滕 上单减， 1 , 2a 骣 琪+? 琪 桫 上单增，而 11 110gln aa 骣 琪+ 骣 琪= 琪 桫 + ，矛盾； 综上，0a . 法二法二（分离参数）（分离参数） ( ) () 2 1ln 10 1 xx fxxa x
16、- -+ ? - 在( ) 1,+?上恒成立（端点1x =自动成立） 设 ( ) () ( ) () 23 1 2ln 1 ln 11 xx xx x g xgx xx -+ - =? - ，令 ( ) 1 2lnh xxx x =-+? ( ) () 2 22 1 12 10 x hx xxx - =-+=- ( ) 1 2lnh xxx x ?-+在 ) 1,+?上为减函数，则 ( )( )( ) 10h xhgx ，使得 ( ) g x在 1,m上为减函数 ( ) 1 2210gxaxa x ?-+-?在 1,m上恒成立，又有 ( ) 10g=.则存在1n ，使得 ( ) gx 在 1,
17、n上为减函数 来源:ZXXK ( ) 2 1 20gxa x ?-?在 1,n上恒成立，又有 ( ) 1 1210 2 gaa =-?. 又当 1 2 a 时，则 ( ) ()() 211 1 221 axx gxaxa xx - =-+-= 来源: （1）若0a 时， ( ) 0gx ， ( ) g x在 ) 1,+?上单减， ( )( ) 10g xg?，符合题意； （2）若 1 0 2 a，故 ( ) g x在 1 1, 2a 轹 滕 上单减， 1 , 2a 骣 琪+? 琪 桫 上单增，而 11 110gln aa 骣 琪+ 骣 琪= 琪 桫 + ， 矛盾；来源: 综上，实数a的取值范围
18、为0a 点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在x?时得到下确界，值得留意. （2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短 解题步骤。 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数 ( )() 2 11 lng xa xxx=-+ +分解为二次 函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点 为1x =，而二次函数的零点为1x =及 1 1x a =+，又知当 1 0 2 a，故易得 11 110gln aa 骣 琪+ 骣 琪= 琪 桫 + ，从而导出矛盾。 【扩展链接】
19、【扩展链接】 洛必达法则简介：洛必达法则简介： 来源来源: 法则 1 若函数 ( ) f x和 ( ) g x满足下列条件： （1) ( ) lim0 xa f x =及 ( ) lim0 xa g x =； （2）在点a的去心邻域内， ( ) f x与 ( ) g x可导，且. ( ) 0gx .；（3） ( ) ( ) lim xa fx l gx = ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) limlim xaxa fxfx l g xgx = .来源: 法则 2 若函数 ( ) f x和 ( ) g x满足下列条件： （1) ( ) lim0 x f x =及 ( ) lim0 x g
20、x =； （2）0A$， ( ) f x和 ( ) g x 在( ) ,A-?与( ) ,A +?上可导，且 ( ) 0gx ；（3） ( ) ( ) lim x fx l gx = ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) limlim xx fxfx l g xgx = . 法则 3 若函数 ( ) f x和 ( ) g x满足下列条件： （1) ( ) lim0 xa f x =及 ( ) lim0 xa g x =； （2）在点a的去心邻域内， ( ) f x与 ( ) g x可导且 ( ) 0gx ；（3） ( ) ( ) lim xa fx l gx = ，那么 ( ) ( ) (
21、) ( ) limlim xaxa fxfx l g xgx = . 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的,xa x换成,xxxaxa +- ?-?洛必达法则也成立。 洛必达法则可处理 00 0 ,0,1 ,0 , 0 抓- ? 型。来源: 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 00 0 ,0,1 ,0 , 0 抓- ? 型定式，否则滥用洛必达法则会 出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 【新题展示新题展示】 1 【2019 江西上饶
22、联考】已知函数 当时，求函数的单调增区间； 若函数在上是增函数，求实数 a 的取值范围； 若，且对任意 ，都有，求实数 a 的最小值 2 【2019 安徽安庆上学期期末】已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 3 【2019 黑龙江大庆二模】已知函数. （）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线 距离的最小值； 来源: （）若当时，恒成立，求实数 的取值范围. 4 【2019 江西宜春上学期期末】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，不等式在上恒成立，求整数 的最大值. 【同步训练】同步训练】 1已知函数
23、( ) ln x a f xex - =+. （1）若1a=，求证：当1x时， ( ) 21f xx-； （2）若存在 0 xe，使 ( )0 2lnf xx，求实数a的取值范围. 2已知 ( ) 2x f xeax=-， ( ) g x是 ( ) fx的导函数 （）求 ( ) g x的极值； （）若 ( ) 1fxx?在0 x时恒成立，求实数a的取值范围 3已知函数 ( )() 1 ln (0) a fxxax a x =+-成立，求实数a的取值范围 4已知函数，. ()当时，求证：过点有三条直线与曲线相切； ()当时，求实数 的取值范围. 5已知函数（）. （1）当曲线在点处的切线的斜率大
24、于时，求函数的单调区间； （2）若 对恒成立，求 的取值范围.（提示：） 6已知函数 ( ) e(0) ax f xbx a=+在 1,xm上恒成立，求正整数m的最大值. 7已知函数 ( ) 2 1 xa fx x - = + ， ( ) 3 g xxkx=-，其中a， Rk. （1）若 ( ) fx的一个极值点为 1 2 ，求 ( ) fx的单调区间与极小值； （2）当0a=时， 1 0,2x?， 2 1,2x ， ( )( )12 f xg x，且 ( ) g x在 1,2上有极值，求k的 取值范围. 8已知函数 ( )() sincos0f xxxx x=-?. (1)求函数 ( ) f
25、x的图象在 ,1 2 骣 琪 琪 桫 处的切线方程； (2)若任意 () 0,x?，不等式 ( ) 3 f xax恒成立，求实数a的取值范围； (3)设 ( ) 2 0 dmfxx=， ( ) () ( ) 2 6 4 m g xfx x = - ， 证明： 2 111 111e 333n ggg 轾轾骣骣骣 犏犏琪琪琪+时， ( )( ) fxg x恒成立，求实数a的取值范围. 10设函数. （1）当时,求函数在点处的切线方程； （2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 11设函数 ( ) ln x f xaex x=-，其中Ra， e是自然对数的底数. （）若 ( ) fx是( ) 0,+?上的增函数，求a的取值范围； （）若 2 2 e a ，证明： ( ) 0fx . 12已知函数（）与函数有公共切线 （）求 的取值范围； （）若不等式对于的一切值恒成立，求 的取值范围 13已知函数，. （1）求证：（） ； （2）设，若时，求实数 的取值范围. 1b =
