1、 【题型综述】 综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲 线方程中参数间的关系，即可求出定点. (2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截 距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标 的取值与变化的量无关当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距 之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决 （3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆 锥曲线的交点坐标问题，利用
2、设而不求思想及韦达定理即可证明. (4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再 用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明. 【典例指引】 类型一 证明分点问题 例 1 【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于 不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证：A 为线段 BM 的中点. 直线 ON 的方程为 2
3、 2 y yx x ，点 B 的坐标为 21 1 2 ( ,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0， 所以 21 11 2 2 y y yx x .*网 故 A 为线段 BM 的中点. 类型二 几何证明问题 例 2. 【2015 高考湖南，理 20】已知抛物线 2 1: 4Cxy的焦点F也是椭圆 22 2 22 :1(0) yx Cab ab 的一 个焦点，
4、 1 C与 2 C的公共弦的长为2 6. （1）求 2 C的方程； （2）过点F的直线l与 1 C相交于A，B两点，与 2 C相交于C，D两点，且AC与BD同向 （）若| |ACBD，求直线l的斜率 （）设 1 C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形 （ii）由 2 4xy得 y 2 x ， 1 C在点A处的切线方程为)( 2 1 1 1 xx x yy，即 4 2 1 1 x xxy，令0y，得 1 2 x x ，即)0 , 2 ( 1 x M， 1 (, 1) 2 x FM ，而 11 ( ,1)FAx y，于是 FA 22 11 1 110 24
5、 xx FMy ，因此AFM是锐角，从而180MFDAFM是钝角.，故直 线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形. *网 类型三 等式证明 例 3 【2015 高考上海， 理 21】 已知椭圆 22 21xy， 过原点的两条直线 1 l和 2 l分别于椭圆交于、和C、 D，记得到的平行四边形CD的面积为S. （1）设 11 ,x y， 22 C,xy，用、C的坐标表示点C到直线 1 l的距离，并证明 1121 2Sx yx y； （2）设 1 l与 2 l的斜率之积为 1 2 ，求面积S的值. 类型四 长度关系证明 例 4.【2016 高考四川】已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab
6、 ab 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三 个顶点，点 1 ( 3, ) 2 P在椭圆 E 上. ()求椭圆 E 的方程； ()设不过原点 O 且斜率为1 2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与 椭圆 E 交于 C，D，证明：MAMBMCMD 【扩展链接】 1.圆锥曲线以 P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是：kb 2x 0 a2y0(椭圆 x2 a2 y2 b21)，k b2x0 a2y0(双曲线 x2 a2 y2 b21)，k p y0(抛物线 y 22px)，其中 ky2y1 x2x1(x1x2)，(x1，y
7、1)，(x2，y2)为弦端点的坐标 2.给出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝 角, 给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角； 3.在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形; 4.在平行四边形ABCD中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形; 【新题展示】 1 【2019 宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系中，椭圆 的中心为原点，焦点，在 轴上，离心 率为过的直线 交 于 ， 两点，且的周长为 （1）求椭圆 的方程； （2）圆与 轴正半轴相交于两点， （点在点 的左侧） ，过点任作一条直线与
8、椭圆 相交于 ， 两点，连接，求证 【思路引导】 （1）设椭圆 C 的方程为(ab0)，由离心率为，得，又PQF2的周长为 4a=，得 a2，进而求出椭圆方程； （2）把 y0 代入圆的方程求出 x的值，确定 M 与 N的坐标，当 ABx轴时，由椭圆的对称性得证；当 AB与 x轴不垂直时，设直线 AB为 y=k（x1） ，与椭圆方程联立得到关于 x的一元二次方程，设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，利用韦达定理表示出 x1+x2，x1x2，进而表示出直线 AN与直线 BN斜率之和为 0，即可得 证 【解析】 (1)设椭圆 C 的方程为(ab0)因为离心率为，所以，解得 ，即 又PQF
9、2的周长为|PQ|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2a2a4a，所以又PQF2 的周长为，即 a2，b2， 所以椭圆 C 的方程为 (2)把 y0 代入(y2)2，解得 x1 或 x4，因为点 在点 的左侧，即点 M(1，0)，N(4，0) 当 ABx 轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM 当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 yk(x1) 联立 (k22)x22k2xk280 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 ，x1x2 因为 y1k(x11)，y2k(x21)， 所以 kANkBN 因为(x11)(x24)(x21)(x1
10、4)2x1x25(x1x2)8 8 ， 所以 kANkBN0，所以ANMBNM，综上所述，ANMBNM 2 【2019 福建厦门 3 月质检】已知椭圆 ：，过点且与 轴不重合的直线与 相交于两 点，点，直线与直线交于点 （1）当垂直于 轴时，求直线的方程； （2）证明： 【思路引导】 （1）当垂直于 轴时，其方程为，求出点 的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。 （2） 由于在 轴上，所以只需证明点的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法 【解析】 （1）设点， 当垂直于 轴时，可得，所以， 所以点 的坐标为， 又， 所以， 所以直线的方程为 （2）法一： 当直线的斜率不存在
11、时，其方程为， 若，则，此时方程为，当时，所以，因此 ，所以 若， 则， 此时方程为， 当时， 所以， 因此， 所以 综上可得 当直线的斜率存在时，设， 由 消去 y 整理得， 其中， 设，则， 因为， 所以直线的方程为 当时，得， 因为 所以， 所以 法二： 设直线， 由消去 x 整理得， 其中， 设，则， 所以，故所以 因为， 来源:Z&X&X&K 所以直线的方程为， 当时，得， 所以， 所以 3 【2019 山东济宁一模】已知椭圆的离心率为，且椭圆 C 过点 (I)求椭圆 C 的方程； (II)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 与椭圆 C 相切于点 A，与直线相交于点 B，求证：的大小为
12、定 值 【思路引导】 来源:Z*X*X*K （）由题意可知，解得 a23，b22，即可求出椭圆 C 的方程， （）显然直线 l 的斜率存 在，设 l：ykx+m，联立，根据直线 l 与椭圆相切，利用判别式可得 m23k2+2，求出点 A， B 的坐标，根据向量的运算可得可得0，即AFB90 ，故AFB 的大小为定值 【解析】 ()椭圆 C 过点， 离心率为 又 由得， 椭圆 C 的方程为 C： ()显然直线 l 的斜率存在，设 l：y=kx+m 由消 y 得 由得 切点 A 的坐标为 又点 B 的坐标为，右焦点 F 的坐标为， ， AFB=90 ，即AFB 的大小为定值 4 【2019 山西吕
13、梁一模】已知抛物线 ：，过 轴上一点 （不同于原点）的直线 与 交于两点， ，与 轴交于 点 （1）若，求的值； （2）若，过 ， 分别作 的切线，两切线交于点 ，证明：点 在定直线方程上，求出此定直线 【思路引导】 （1）设，通过坐标表示向量得到，设 ：，与抛物线联立利用韦达定理求 解即可； （2）由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点 P 的坐标，进而可证得结论 【解析】 （1）设， 由，得， ， 所以， 设 ：， 联立，则， ，所以， 则， 所以 （2）设，即，有 过 的切线方程为，即， 所以过 的切线方程为， 两方程联立得， 由（1）知，所以， 所以，即交点 在直线上 5 【2019
14、山西吕梁一模】已知抛物线 ：，过 轴上一点 （不同于原点）的直线 与 交于两点， ，与 轴交于 点 （1）若，求的值； （2）若，过 ， 分别作 的切线，两切线交于点 ，证明：点 在定直线方程上，求出此定直线 【思路引导】 （1）设，通过坐标表示向量得到，设 ：，与抛物线联立利用韦达定理求 解即可； （2）由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点 P 的坐标，进而可证得结论 【解析】 （1）设， 由，得， ， 所以， 设 ：， 联立，则， ，所以， 则， 所以 （2）设，即，有 过 的切线方程为，即， 所以过 的切线方程为， 两方程联立得， 由（1）知，所以， 所以，即交点 在直线上 6 【20
15、19 安徽六校联考】如图，C、D 是离心率为 的椭圆的左、右顶点， 、 是该椭圆的左、右焦点， A、 B 是直线4 上两个动点，连接 AD 和 BD，它们分别与椭圆交于点 E、F 两点，且线段 EF 恰好过椭圆的 左焦点 当时，点 E 恰为线段 AD 的中点 （）求椭圆的方程； （）求证：以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切 【思路引导】 （） 由题意可得， 结合可求出， 进而可求得椭圆的方程；（） 设 EF 的方程为：， E（） 、F（ ） ，与椭圆联立，运用韦达定理得，又设，由三点共线得，求 出中点坐标，求出点 M 到直线 EF 的距离 ，进而证得结果 【解析】 （）当时，点 E 恰
16、为线段 AD 的中点， ，又，联立解得：， 椭圆的方程为 （）设 EF 的方程为：，E（） 、F（） ， 联立得： ， （*） 又设，由 A、E、D 三点共线得，同理可得 ， 设 AB 中点为 M，则 M 坐标为（）即（ ） ， 点 M 到直线 EF 的距离 故以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切 7 【2019 陕西咸阳一模已知椭圆的上顶点为 ， 右顶点为 ， 直线与圆 相切 （1）求椭圆 的方程； （2）过点且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求证： 【思路引导】 （1）求得直线的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆 方程（2） 设出直线
17、 的方程， 联立直线方程和椭圆的方程， 写出韦达定理， 通过计算， 证得 【解析】 （1）由题意知：，则直线方程为：， 直线与圆相切，则，求得， 所求椭圆 的方程为 （2）设直线 的方程为， 联立 ，又， ， 则 8 【2019 湖南长沙统一检测】已知椭圆的离心率为 ，左、右焦点分别为、， 为 椭圆 上一点，与 轴相交于 ， （）求椭圆 的方程； （）设椭圆 的左、右顶点为、，过、分别作 轴的垂线 、 ，椭圆 的一条切线 与 、 交于、 两点，求证： 【思路引导】 （1）结合题意，得到为的中位线，进而得到，利用椭圆性质，计算 a，b 值即可。 （2） 将直线 l 的方程，代入椭圆方程，得到以及
18、，即可。 【解析】 （）连接，由题意得， 所以为的中位线， 又因为，所以，且， 又，得， 故所求椭圆 的标准方程为 （）由题可知， 的方程为， 的方程为 直线 与直线 、 联立得、，所以， 所以 联立得 因为直线 椭圆 相切，所以， 化简得 所以， 所以，故为定值 同理，所以，故 【同步训练】 1 如图， 圆 C 与 x 轴相切于点 T （2， 0） ， 与 y 轴正半轴相交于两点 M， N （点 M 在点 N 的下方） ， 且|MN|=3 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 M 任作一条直线与椭圆相交于两点 A、B，连接 AN、BN，求证：ANM=BNM 【思路点拨 】 （1）设圆 C 的
19、半径为 r（r0） ，依题意，圆心坐标为（2，r） ，根据|MN|=3，利用弦长公式 求得 r 的值，可得圆 C 的方程 （2）把 x=0 代入圆 C 的方程，求得 M、N 的坐标，当 ABy 轴时，由椭圆的对称性可知ANM=BNM， 当 AB 与 y 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得 KAB+KBN=0， 可得ANM=BNM 综上所述，ANM=BNM*网 2.已知椭圆 C：+=1（ab0）经过（1，1）与（，）两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB
20、|求证： +为定值 【思路点拨】 （1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可 （2）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶点， 则点 M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可 若点 A、 B、M 不是椭圆的顶点， 设直线 l 的方程为 y=kx（k0） ，则直线 OM 的方程为， 设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理 ，代入要求的式子即可 =，同理， 所以=2+=2， 故=2
21、 为定值*网 3.在平面直角坐标系 xOy 中， 动点 p （x， y） （x0） 满足： 点 p 到定点 F （， 0） 与到 y轴的距离之差为 记 动点 p 的轨迹为曲线 C来源:Z|X|X|K （1）求曲线 C 的轨迹方程； （2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=于点 D，求证：直线 DB 平行于x 轴 【思路点拨】 （1）利用动点 p（x，y） （x0）满足：点 p 到定点F（，0）与到 y 轴的距离之差为列出 关系式，即可求曲线 C 的轨迹方程； （2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直
22、线 x=于点 D，设 A 的坐标为 （） ，求出 OM 的方程为 y=x（y00） ，推出点 D 的纵坐标然后求出直线 AF 的方程，求出点 B 的纵坐标，判断直线 DB 平行于 x 轴即可得到结果 4.在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P（2，1）在椭圆 C：上且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（不与点 P 重合） ，且线段 AB 的中为 D，直线 OD 的斜率为 1，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 【思路点拨】 （1）根据椭圆的离心率公式，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和
23、 b 的值，求得椭圆方程； （2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得 x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线 l 的斜率，将直线方程代 入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得 k1k2为定值 设直线 l 的方程 y=x+t， ，整理得：3x24tx+4t212=0， 则 x1+x2=，x1x2=，来源:ZXXK 则 k1k2=， = =，*网 k1k2为定值 5.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x=1，点 T（3，0） ，动点 P 满足 PSl，垂足为 S，且=0，设 动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另
24、一点，且直线 PQ 过点（1，0） ，线段 PQ 的中点为 M，直线 l 与 x 轴的 交点为 N求证：向量与共线 【思路点拨】 （1）设 P（x0，y0） ，则 S（1，y0） ，由此利用向量的数量积能求出曲线 C 的方程 （2）设 Q（x1，y1） ，则，从而 y2=4x，p=2，焦点 F（1，0） ，N（1，0） ，由 PQ 过 F，得， ，进而=（） ，=（） ，由此能证明向量与共线 假设=成立， ，解得， ， 向量与共线*网 6.已知动点 A，B 在椭圆+=1 上，且线段 AB 的垂直平分线始终过点 P（1，0） （1）证明线段 AB 的中点 M 在定直线上； （2）求线段 AB 长
25、度的最大值 【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） ，当 AB 与 x 轴垂直时，线段 AB 的中点 M（2，0） ，在直线 y=0，当 AB 与 x 轴不垂直时，利用平方差法推出，说明 M 在直线 x=2 上 （2）当 AB 与 x 轴垂直时，当 AB 与 x 轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式 求解即可 ， x1+x2=4， （8 分） = （11 分） （12 分） 7.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 2，离心率为；抛物线 G：y2=2px（p0）的焦点 F 与椭 圆 E 的右焦点重合，若斜率为 k 的
26、直线 l 过抛物线 G 的焦点 F 与椭圆 E 交于 A，B 两点，与抛物线 G 相交 于 C，D 两点 （1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程； （2）证明：存在实数 ，使得+为常数，并求 的值 【思路点拨】 （1）由 2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得 c 的值，代入，b2=a2c2=1，求得椭圆方程， 由=c，求得 c 的值，求得抛物线方程； （2）设直线 l 的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨 AB 丨及丨 CD 丨，由 +=为常数，则须有 20+=4，即可求得 的值 8.已知定点 Q（，0） ，P 为圆 N：上任意一点，线段 QP 的垂直平分线交 NP 于点 M （
27、1）当 P 点在圆周上运动时，求点 M （x，y） 的轨迹 C 的方程； （2）若直线 l 与曲线C 交于 A、B 两点，且，求证：直线 l与某个定圆 E 相切，并求出定圆 E 的 方程 【思路点拨】 （1）求出圆 N 的圆心坐标为 N（，0） ，半径为，|MP|=|MQ|，得到 |MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=|NQ|，利用椭圆的定义，求解点 M 的轨迹 C 的方程 （2） 当直线的斜率存在时， 设直线 l为 y=kx+m， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 联立直线与椭圆的方程， 得 消去 y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过
28、，求解即可，当直 线的斜率不存在时，直线为 x=m，验证求解即可 由韦达定理得：（8 分） ，x1x2+y1y2=0，即，（9 分） 整理得 m2=2k2+2 满足式，即原点到直线 l 为的距离是， 直线 l 与圆 x2+y2=2 相切（10 分） 当直线的斜率不存在时，直线为 x=m，与椭圆 C 交点为 A（m，） ，B（m，）， 学* 此时直线为 x=，显然也与圆 x2+y2=2 相切（11 分） 综上，直线 l 与定圆 E：x2+y2=2 相切（12 分） 9.已知椭圆 C：+=1（ab0）的两焦点分别为 F1，F2，离心率为设过点 F2的直线 l 被椭圆 C 截得的线段为 RS，当 l
29、x 轴时，|RS|=3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 T（4，0） ，证明：当直线 l 变化时，直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值来源: 【思路点拨】 （1）由题意可知：a=2c，=3，且 a2=b2+c2，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）分类讨论，当直线l 不垂直与 x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式， 即可求得 kTR+kTS=0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值 由 R，S 两点的直线 y=k（x1） ， 故 y1=k（x11） ，y2=k（x21） ， 则=， 由 2x1x25（x1+x2）+8=25+8=0，
30、 kTR+kTS=0，*网 直线 TS 与 TR 的斜率之和为 0， 综上所述，直线 TS 与 TR 的斜率之和为为定值，定值为 0 10.已知椭圆 E：中，a=b，且椭圆 E 上任一点到点的最小距离为 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）如图 4，过点 Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线 l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆 E 于点 A，C，B， D，求证：|QA|QC|=|QB|QD| 【思路点拨】 （1）设 M（x，y）为椭圆 E 上任一点，由，椭圆 E 的方程可化为，通过 求解椭圆 E 上任一点到点的最小距离为即可求出椭圆的方程 （2）直线 l1，l2不重合，则直线 l1，l2
31、的斜率均存在，设 直线 l1：y=k（x1）+1，点 A（x1，y1） ，C（x2， y2） 直线 l2：y=k（x1）+1联立消去 y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得 |QA|QC|=|QB|QD| 11.椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相 交于点M， 1 2 MF . （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A， B不重合，直线PA 与直线3x 相交于点S，直线PB与直线3x 相交于点T，求证：以线段ST为直径的圆恒过定点. 【思路点拨】(1)由题
32、意可得21ab，则椭圆 C 的标准方程为 22 1 41 xy . (2)由题意可得3 5Sk，结合题意可得圆的方程为 2 2 25151 3 2828 kk xy kk ，则以线段 ST 为直径的圆恒过定点 5 30 2 ，. 12.已知点 11 ,A x y， 22 ,(D xy其中 12) xx是曲线 2 40yx y上的两点， A， D两点在x轴上 的射影分别为点B， C，且2BC . （1）当点B的坐标为1,0时，求直线AD的斜率； （2）记OAD的面积为 1 S，梯形ABCD的面积为 2 S，求证： 1 2 1 4 S S . 【思路点拨】(1)由题意结合直线的斜率公式可得 21 21 2 32 31 2 AD yy k xx ； (2) 设 直 线AD的 方 程 为ykxm. 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 ， 可 得 1 1 2 SAD dm ， 21221 14 2 Syyxx k ，则 1 212 4 Smkm Syy 1 4 .
