1、 【题型综述题型综述】 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进 行表示的底（或高） （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不 便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的 特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程 中，优先选择长度为定值的线段
2、参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 【典例指引】【典例指引】 例 1 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab （0ab）的一个顶点为 0, 1，离心率为 6 3 ，直线: lykxm （0k ）与椭圆C交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称 （I）求椭圆C的方程； （II）求实数m的取值范围； （III）用m表示的面积S，并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 212121212121 2020 xxxxyyyyxxk yy，可得： 22 62 20 3131 kmm k kk ，则有： 2 2311mk （0k ） ，故 1 122
3、02 2 mmm （III）法一（面积转化为弦长） ： 22 2 1212 2 122 1 31 mm xxyyk k ，到 : lykxm的距离 2 1 1 m d k ， 1 12211 222 mmm Sd m ，所以 22 32 3 4 Sm m ，设 2 2 3f mm m ， 1 2 2 m，则 2 2 20fmm m ，所以 f m在 1 ,2 2 上是减函数，所以面积S无最大值学 ()过点 1 ,1 2 P 作圆 22 1 2 xy的切线,切点分别为MN、,直线MN与x轴交于点E,过点E作直线l交 椭圆C于AB、两点,点E关于y轴的对称点为G,求GAB面积的最大值. 【思路引导
4、】 ()由椭圆的焦点为2，离心率e为 1 2 ，求出, a b，由此能求出椭圆的标准方程；() 由题意，得O、M 、P、n 四点共圆，该圆的方程为 22 115 4216 xy ，得O的方程为 22 1 2 xy，直线MN的方程为210 xy ，设 1122 ,A x yB xy，则 1212 1 2 GAB SGE yyyy ，从而 GAB S最大， 12 yy就最大，可设直线l的方程为1xmy， 由 22 1 1 43 xmy xy ，得 22 34690mymy，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出 GAB的面积的最大值. 试题解析：()由题意, 22c ,解得1c ,由 1
5、2 c e a ,解得2a ; 所以椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . 又直线l与椭圆C交于不同的两点,则0 ,即 2 2 636 340,mmmR, 2 2 12121212 2 1121 4 234 GAB m SGFyyyyyyy y m , 令 2 1tm ,则 2 22 121124 1, 1 3431 3 GAB mt tS mt t t , 令 1 3 f tt t ,则函数 f t在 3 , 3 上单调递增, 即当1t 时, f t在1,上单调递增,因此有 4 1 3 f tf； 所以3 GAB S,当0m 时取等号. 学（） 25 2 . 【思路引导】 （）由题意可得
6、，设中点坐标P x y，表示出点22Nxy，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛 物线C的方程； （）由题意可设切线方程为： 00 yyk xx，进而得到切线与 x 轴的交点为 0 0 0 y x k ，由圆心到切线方程的距离为半径，得到 222 000000 44240 xxkyx yky，由韦 达定理，可得到 PAB S的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值. 试题解析： （）设P x y，则点22Nxy，在抛物线 2 8yx上，学（） 32 9 . 【思路引导】 （） 由椭圆的方程可得点 P,A,B 的坐标， 利用两点式求直线斜率的方法可求出 BP,BQ 的斜率乘积为定值-1； （
7、）当直线PQ的斜率存在时， 2 1671 4 922 APQ Stt ， 2 01tt ， 32 9 APQ S，当直 线 PQ l 的斜率k不存在时， 18832 2339 APQ S，故综合 APQ S 的最大值为 32 9 . 试题解析： 点2,0为右端点，舍去， 12 1 2 APQAPMAQM SSSOMyy 22222 22 22 824169 816 39 2121 kkbkk kk 22 2 16711 4 92 21 2 21 k k ，令 2 1 21 t k （01t ） ， 2 1671 4 922 APQ Stt ， 2 01tt ， 32 9 APQ S， 当直线P
8、Q l 的斜率k不存在时， 11 ,P x y ， 11 ,Q xy ， 1 2 APBQ kk， 即 11 11 2 22 yy xx ，解得 1 2 3 x ， 1 4 3 y ， 18832 2339 APQ S，所以 APQ S 的最大值为 32 9 . 7已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 3 1, 2 P ，离心率 3 2 e . （）求椭圆C的标准方程； （）设过点0, 2E的直线l与椭圆C相交于PQ、两点，求OPQ的面积的最大值。 【答案】(1) 2 2 1 4 x y;(2)1. 【思路引导】 （）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及 a，b，c
9、的关系，解方程可得 a，b，进而得到椭圆 方程； （）当直线 l 的斜率不存在，不合题意，可设直线 l：y=kx2，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，联立椭圆方程， 消去 y，得到 x 的方程，运用判别式大于 0 和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的 面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值 1122 : =2,.IIlxl y kxP x yQ xy（ ）当轴时不合题意，故设 2 2 21 4 x ykxy将代入得 22 4116120.kxkx 2 2 14 43 =. 241 OPQ k Sd PQ k 2 2 44 43,0,. 4 4 47 4,2
10、0. 2 1 OPQ t kttS t t t ttk t OPQ 设则 因为当且仅当，即时等号成立，且满足 的面积最大值为 8 如图，已知抛物线的焦点在抛物线 2 2: 1Cyx上，点是抛物线上的动点 （）求抛物线的方程及其准线方程； （）过点作抛物线的两条切线， A、B分别为两个切点，求PAB面积的最小值 【答案】() 1 C的方程为 2 4xy 其准线方程为1y ；()2. 【思路引导】 （I）由题意抛物线 1 C 的焦点为抛物线 2 C 的顶点（01 ， ） ，由此算出2p ， 从而得到抛物线 1 C 的方程， 得到 1 C 的准线方程； （II）设 2 1122 2,PttA x y
11、B xy（ ， ），则可得切线PA， PB的方程，进而可得 所以直线AB的方程为 2 420txyt. 联立 2 2 42 1 ytxt yx 由韦达定理得 12 2 12 4 1 xxt xxt ，可求得 22 1 16124ABtt 进而求得点P到直线AB的距离 2 2 6 +2 1 16 t d t 则PAB的面积 3 222 2 1 2 31312 31 2 SAB dttt所以当0t 时， S取最小值为2。即PAB面积的最小 值为 2. 9在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（1，0） ，离心率 e= 2 2 （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）
12、已知直线 l1：y=kx+m1与椭圆 G 交于 A，B 两点，直线l2：y=kx+m2（m1m2）与椭圆 G 交于 C，D 两点，且|AB|=|CD|，如图所示 证明：m1+m2=0； 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y （2）见解析2 2 【思路引导】 （1）由焦点坐标及离心率可求得, ,a b c，即可求椭圆 G 的标准方程； （2）利用弦长公式及韦达定理，表 示出由,AB CD，由ABCD得到 12 0mm；四边形ABCD是平行四边形，设,AB CD间的距离 12 2 1 mm d k ，由 12 0mm得 222 11 22 112 22
13、 2 2 21 221 2 2 2 14 22 2 12 112 kmm mkm sABdk k kk ，即可. （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） 证明：由消去 y 得（1+2k2）x2+4km1x+2m122=0 ， x1+x2=，x1x2=； |AB|=2； 同理|CD|=2 ， 由|AB|=|CD|得 2=2 ， m1m2，m1+m2=0 四边形 ABCD 是平行四边形，设 AB，CD 间的距离 d= m1+m2=0， s=|AB| d=2 =. 所以当 2k2+1=2m12时，四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 10已知椭
14、圆 1 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的短轴长为 2，以M为中点的弦AB经过左焦点 1 1,0F ， 其中点M不与坐标原点O重合，射线OM与以O圆心的圆交于点P. （）求椭圆 1 C的方程； （）若四边形OAPB是矩形，求圆O的半径； （）若圆O的半径为 2，求四边形OAPB面积的最小值. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y;(2) 6 2 5 R .（3）四边形OAPB面积的最小值为2. 【思路引导】 （）根据题意列出关于a 、b 、c的方程组，结合性质 222 abc ， 222 cab ，求出a 、b 、 c，即可得结果； （）设直线AB的方程为1xmy ，直线与曲线联
15、立，根据韦达定理结合 0OA OB ， 可求出 42 , 55 M ，从而可得结果； （）根据弦长公式，点到直线距离公式和三角形面积公式可得四 边形OAPB面积 1 2 2 SOPd 2 2 2 21 4 m m ，利用单调性可得结果. （）当圆O的半径为 2 时，由（）可知AB的中点M为 22 2 , 22 m mm ， 所以直线OP的斜率为 2 m ，所以直线OP的方程为20mxy. 设点A到直线OP的距离为d，因为点M是弦AB的中点， 所以点B到直线OP的距离也为d，则 1122 2 22 2 4 mxymxy d m . 因为点A， B位于直线OP的异侧，所以 1122 220mxymxy. 所以 1122 2 22 2 4 mxymxy d m 2 12 2 2 4 myy m . 又因为 2 2 121212 2 2 21 4 2 m yyyyy y m ， 所以 2 2 12 22 2 2 21 2 44 myy m d mm 所以四边形OAPB面积 1 2 2 SOPd 2 2 2 2 213 2 2 1 4 4 m m m ，其中Rm. 可知当0m 时， min 2S，即四边形OAPB面积的最小值为 2.
