1、 于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题， 过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数. 已知函数 ( ) exfxax=-有两个不同的零点 1 x， 2 x，其极值点为 0 x （1）求a的取值范围； （2）求证： 120 2xxx+； （4）求证： 12 1x x ， ( ) fx在R上单调递增，来源: ( ) fx至多有一个零点，舍去；则必有0a，得 ( ) fx在( ) ,lna-?上递减，学* 在( ) ln , a +?上递增，要使 ( ) fx有两个不同的零点，则须有 () ln0ef
2、aa ? （严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x ?时， ( ) fx ?；当x ?时， ( ) fx ?） （3）由所证结论可以看出，这已不再是 ( ) fx的极值点偏移问题，谁的极值点会是 1 呢？回到题设条件： （ii）构造函数 ( )( )() 2G xg xgx=-，则来源: ( )( )() ()() () () () 2 22 2 22 2 e1e1 2 ee 1 2 xx xx Gxgxgx xx x x x x x - - ? =+- - =+ - 骣 琪 =- 琪 琪 - 桫 学* （4） （i）同上； （ii）构造函数 ( )( ) 1 G xg xg x 骣 琪=
3、- 琪 桫 ，则 ( )( ) () () () 1 1 2 222 2 11 1 e1 e11 1 ee 1 x x x x Gxgxg xx x x xx x x x x 骣 ?琪 =+ 琪 桫 骣 -琪 琪 - 桫 =+? 骣 琪 琪 桫 - =-? 学* 当01x时，1 0 x-，得 ( ) xj在( ) 0,1上递增，有 ( )( ) 10 xjj，得 ( ) G x在( ) 0,1上递增，有 ( )( ) 10G xG=，即 ( )() 1 01g xgx x 骣 琪 琪 桫 ； （iii）将 1 x代入（ii）中不等式得 ( )( )12 1 1 g xg xg x 骣 琪 =，
4、 1 1 1 x ， ( ) g x在( ) 1,+?上递增， 故 2 1 1 x x ， 12 1x x ?+?=，记函数 ( ) lnh xxx= -，则有 ( )( )12 lnh xh xa=接下来我们选取函数 ( ) h x再解（3） 、 （4）两问 （3） （i） ( ) 1 1hx x = -，得 ( ) h x在( ) 0,1上递减，在( ) 1,+?上递增，有极小值 ( ) 11h=，又当0 x + 时， ( ) h x ?；当x ?时， ( ) h x ?， 由 ( )( )12 h xh x=不妨设 12 01xx 【点评】用函数 ( ) lnh xxx= -来做（3）
5、、 （4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅这说明在极值点偏 移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注 1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将 11 lnlnxxa=+， 22 lnlnxxa=+相加得 ()121 20 ln2ln2ln2xxx xaax+=+，且 20 x-，得02x?，结论成立； 当 () 1,2x时，类似于原解答来源:ZXXK 而给字 () 0,1x，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定 1 x或 2 x的范围均可，请读者自己体会其中 差别 【思考】 练习练习 1： （查看热门文章里极值点偏移（1） ）应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数 ln x y x
6、=来做 2 12 ex x ，用函数lnyxax=-来做 12 2 xx a +学* 练习练习 2 ： （安徽合肥 2017 高三第二次质量检测）已知 ( ) ln()f xx mmx=+- （1）求 ( ) fx的单调区间； （2）设1m, 1 x， 2 x为函数 ( ) fx的两个零点，求证 12 0 xx+. 提示：将 ( ) 0f x =，两边取对数转化为指数方程处理. 【招式演练】【招式演练】 已知函数 1 ( )ln ()f xax aR x =-?有两个零点 1212 ,()x x xx， 求证： 1 12 231 a xxe - +-. 只要证： 1 12 12 3 2 a x
7、x xxe - + +-即证： 1 12 2 a xxe - +，即证： 1 21 2 a xex - -，学* 同理构造函数 1 ( )( )(2),(0,1) a H xh xhex x - =-?，利用单调性证明，下略. 已知( )lnf xxx=的图像上有,A B两点，其横坐标为 12 01xx，且 12 ( )()f xf x=. （1）证明： 12 2 1xx e +； （2）证明： 12 2 1xx e +. 又构造函数： 1 ( )( )(1),(0) 2 g xf xfxx=- - ， 故( )g x 在 1 (0, ) 2 上单调递增，由于0 x 时，( )g x ?， 且
8、 1 ( )ln(1)0ge e =-， 故必存在 0 1 (0, )x e ，使得 0 ()0g x =， 故( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 1 (,) 2 x上单调递增， 又0 x 时，( )0g x ，且 1 ( )0 2 g=， 故( )0g x 在 1 (0, ) 2 x上恒成立， 也即( )(1)f xfx-在 1 (0, ) 2 x上恒成立， 令 1 xx=，有 121 ( )()(1)f xf xfx=-，学* 再由 21 1 ,1( ,1)xx e -?，且( )f x在 1 ( ,1) e 上单调递增， 故 21 1xx -，即证： 12 1xx+成立.
9、综上：即证 12 2 1xx e +-对 1 (0, ) 2 t恒成立，同理得出： 12 1tt+. 综上：即证 12 2 1tt e +成立，也即原不等式 12 2 1xx e +成立. 学* 已知函数 ( )() lnf xxmx mR=-? （1）若曲线 ( ) yf x=过点 () 1, 1P-，求曲线 ( ) yf x=在点P处的切线方程； （2）求函数 ( ) fx在区间 1,e上的最大值； （3）若函数 ( ) fx有两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 12 xxe? 【答案】 （1）1y =-； （2）当 1 m e 时， ( )max 1f xme= -，当 1 1
10、m e ， 所以函数 ( ) fx在( ) 1,e上单调递增，则 ( )( ) max 1f xf eme= -；来源:Z|xx|k.Com 当 1 e m ，即 1 0m e ， 所以函数 ( ) fx在( ) 1,e上单调递增，则 ( )( ) max 1f xf eme= -； 当 1 1e m ，即 1 1m e 时， 函数 ( ) fx在 1 1, m 骣 琪 琪 桫 上单调递增，在 1 ,e m 骣 琪 琪 桫 上单调递减， 则 ( )max 1 ln1fxfm m 骣 琪=- 琪 桫 ；学* 当 1 01 m ?，即1m时， () 1,xe， ( ) 0fx ， 函数 ( ) f
11、x在( ) 1,e上单调递减，则 ( )( ) max 1f xfm=- 综上，当 1 m e 时， ( )max 1f xme= -； 当 1 1m e ，于是 () 21 ln 1 t t t - + ，来源: 令 ( ) () 21 ln 1 t f tt t - =- + （1t ） ， 则 ( ) () () () 2 22 114 0 11 t ft t tt t - =-= + ， 故函数 ( ) f t在( ) 1,+?上是增函数， 所以 ( )( ) 10f tf=，即 () 21 ln 1 t t t - + 成立，所以原不等式成立 所以 ( )( ) 10f tf=，即
12、() 21 ln 1 t t t - + 成立，所以原不等式成立学* 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等 式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应 关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对m进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在 定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t，然后利用导数求其最小值来求. 已知函数 ( ) 2 lnf xa xx=-. （1）当2a=时，求函数 ( ) yf x=在 1 ,2 2 轾 犏 犏 臌 上的最大值； （2）令 ( )(
13、 ) g xf xax=+，若 ( ) yg x=在区间( ) 0,3上为单调递增函数，求a的取值范围； （3）当2a=时，函数 ( )( ) h xf xmx=-的图象与x轴交于两点 ()()12 ,0 ,0 ,A xB x且 12 0 xx，又 ( ) h x 是 ( ) h x的导函数.若正常数,a b满足条件1,abba+=?.证明： ()12 hxxab +0. 【答案】 （1） 1- （2） 9 2 a （3），理由见解析 用分离参数 2 2x a x 1 + 在( ) 0,3上恒成立，即求 2 2x x 1+ 的最大值. 学* （3）有两个实根， ，两式相减， 又 ( ) 2 h
14、x2xm x - =- ， ()12 h xx+ = 要 证 ： ()12 h xx0+ ，只需证：，令可证. 试题解析： （1） ( ) 2 222x fx2x, xx - =-= 函数在,1是增函数，在1,2是减函数， 所以 于是 ()() () () 12 121212 1212 2 lnxlnx2 hxx2 xxxx xxxx - +=-+-+ + - ()()21 1,2a1,2a 1xx0.且 要证： ()12 h xx0+ ()求 ( ) fx的单调区间； （） 设 ( ) fx极值点为 0 x， 若存在 ()12 ,0,x x ?， 且 12 xx， 使 ( )( )12 f
15、xf x=， 求证： 120 2.xxx+ 【答案】 （1）增区间为： 181 ,. 4 a a 骣 - + 琪 +? 琪 桫 减区间为： 181 0,. 4 a a 骣 - + 琪 琪 桫 ； （2）见解析. 试题解析： （） ( ) fx的定义域为( )( ) 2 121 0,21 axx fxax xx + - +?+ -=， 0,a 由 ( ) 0fx =得: 181 4 a x a - + = 由 ( ) 0fx 得增区间为： 181 ,. 4 a a 骣 - + 琪 +? 琪 桫 由 ( ) 0fx ，只需证 12 0. 2 xx x + 由（）知 ( )0 1811 ,21(0)
16、 4 a xfxaxa ax - + =+ - 在( ) 0,+?上为增函数， ( ) g t在上是增函数， ( )( ) 10g tg=，即 2 1 2 2 1 1 21 ln0. 1 x xx x x x 骣 琪 - 琪 桫 - + 又 12 21 1 0,0 2 xx f xx 骣+ 琪 桫 - 成立，即 120 2.xxx+ 已知函数 ( )() 2 ln2,g xxaxa x aR=-+-?. (1)求 ( ) g x的单调区间； (2)若函数 ( )( ) () 2 12f xg xaxx=+-， 1212 ,()x x xx是函数 ( ) fx的两个零点， ( ) fx 是函数
17、( ) fx 的导函数，证明： 12 0 2 xx f 骣+ 琪， ( ) g x 递增，当0a时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为 1 0, a 骣 琪 琪 桫 ，减区间为 1 , a 骣 琪 +? 琪 桫 ； （2） 利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 12 0 2 xx f 骣+ 琪 琪 桫 ，只需证明 12 1212 lnln2 0 xx xxxx - - +- 12 (0)xx- + ，即证明 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x 骣 琪 - 琪 桫 + ，再令 () 1 2 0,1 x t x = ?，构造函数 ( ) () 1ln22h t
18、ttt=+-+，利用导数研究函数 ( ) h t单调性，确定其最值： ( ) h t在( ) 0,1上递增，所以 ( )( ) 10h th时， ( ) g x的单调增区间为 1 0, a 骣 琪 琪 桫 ，单调减区间为 1 , a 骣 琪 +? 琪 桫 当0a时， ( ) g x的单调增区间为( ) 0,+? 即证明 ()12 12 12 2 lnln xx xx xx - - + ，即证明 ( ) 1 2 1 1 2 2 21 ln* 1 x xx x x x 骣 琪 - 琪 桫 + 令 () 1 2 0,1 x t x = ?，则 ( ) () 1ln22h tttt=+-+ 则 ( )
19、 1 ln1h tt t + =-， ( ) 2 11 0ht tt - =， ( ) h t在( ) 0,1上递增， ( )( ) 10h th= 所以( )*成立，即 12 0 2 xx f 骣+ 琪 琪 桫 来源: 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 ( )( )( ) h xf xg x=-.根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数. 已知函数 ( ) F x与 ( ) lnfxx=的图象
20、关于直线yx=对称. （1）不等式 ( ) 1xfxax?对任意 () 0,x?恒成立，求实数a的最大值； （2）设 ( )( ) 1f x F x=在( ) 1,+?内的实根为 0 x， ( ) ( ) ( ) 0 0 ,1 m , xfxxx xx xx fx ，若在区间( ) 1,+?上存在 ( )( )1212 ()m xm xxx=. 【答案】 （1）1（2）见解析 12 0 2 xx x + ：要证： 12 0 2 xx x + ，即证： 2010 2xxxx-，只要证 ( )()201 2m xmxx-，即证 ( )()101 2m xmxx-，构造函数 ( ) 0 0 0 2
21、2 ln,1 xx xx h xx xxx e - - =-，其中 ( )0 0h x=.利用导数可得 ( ) h x 在( )0 1,x上单调递增，即得 ( )( )0 0h xh x，1x， ( ) g x在( ) 1,+?上单调递增； ( ) 0gx ，01x，故 ( ) 1 0t e f，从而 0 0 2 21 0 xx xx ee - - -?， 因此当 ( ) 000 00 222 1 x2211 1 ln1 ln10 xxxxxx xxx hxxx eeee - +- = +=+ - +-，即 ( ) h x单调递增. 从而当 0 1xx时， ( )( )0 0h xh x=，即
22、 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e - - 得证. .网 已知函数 ( ) ln( ,f xax x b a b=+为实数)的图像在点 ( )() 1,1f处的切线方程为1yx=-. （1）求实数, a b的值及函数 ( ) fx的单调区间； （2）设函数 ( ) ( ) 1fx g x x + =，证明 ( )( )1212 ()g xg xxx=. 【答案】 （1）函数 ( ) fx的单调递减区间为 1 0, e 骣 琪 琪 桫 ，单调递增区间为 1 , e 骣 琪 +? 琪 桫 ； （2）见解析. 已知 ( )() lnf xx mmx=+-. （）求 ( ) fx的
23、单调区间； （）设1m， 1 x， 2 x为函数 ( ) fx的两个零点，求证： 12 0 xx+ + ； 当0m时， ( ) 1 1 m xm m fxm xmxm 骣 -?-? 琪 桫 =-= + ，由 ( ) 0fx = 得 () 1 ,xmm m =-?+?， 1 ,xmm m 骣 琪?-+ 琪 桫 时， ( ) 0fx ， 1 ,xm m 骣 琪?+? 琪 桫 时， ( ) 0fx ， 即可得出单调区间； （）由（）知 ( ) fx的单调递增区间为 1 ,mm m 骣 琪 -+ 琪 桫 ，单调递减区间为 1 ,m m 骣 琪 -+? 琪 桫 不妨设 12 mxx-，由条件知 () (
24、) 11 22 ln x mmx ln xmmx += += ，即 1 2 1 2 mx mx xme xme += += ，构造函数 ( ) mx g xex=-， ( ) mx g xex=-与ym=图像两交点的横坐标为 1 x， 2 x，利用单调性只需证 ( )11 2lnm g xgx m 骣- 琪- 琪 桫 #网 构造函数利用单调性证明 点睛： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题， 涉及函数不等式的证明， 综合性强， 难度大， 属于难题 处 理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及 极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒
25、成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函 数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及 技巧比较多，需要多加体会 已知函数 ( )() 2 1ln 1f xxax=- +-， aR （）若函数 ( ) fx为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； （）若函数 ( ) fx存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx 【答案】 （1） 1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 （2）详见解析. 若4 80aD= -，即 1 2 a ，方程 2 220 xxa-+-=的两根为 1 11 2 2 a x - =， 2 11 2 2 a x +- =，
26、当 ()1 ,xx?时， ( ) 0fx ， 所以函数 ( ) fx 单调递增，不符合题意 综上，若函数 ( ) fx为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为 1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 （）因为函数 ( ) fx有两个极值点，所以 ( ) 0fx =在1x上有两个不等的实根， 即 2 220 xxa-+-=在1x有两个不等的实根 1 x， 2 x， 于是 1 0 2 a， 12 12 1, , 2 xx a x x += = 且满足 1 1 0, 2 x 骣 琪 琪 桫 ， 2 1 ,1 2 x 骣 琪 琪 桫 ， ( )()()()() ()() 2 11111121 111 22
27、2 1ln 1112ln 1 12 ln 1 fxxaxxxx xx xxx xxx -+-+- =-+-， 同理可得 () ()() 2 222 1 12ln 1 fx xxx x =-+-学# ( )( ) ()()()() 12 21112222222 21 2 ln 12ln 121 2 1ln2ln 1 fxfx xxxxxxxxxxx xx -=-+-=-+-， 已知函数 ( ) lnf xx a x= +与 ( ) 3 b g x x = -的图象在点( ) 1,1处有相同的切线 （）若函数 () 2yx n=+与 ( ) yf x=的图象有两个交点，求实数n的取值范围； （）
28、若函数 ( )( )( ) 32 22 mm F xxg xfx 骣 琪=-+- 琪 桫 有两个极值点 1 x， 2 x， 且 12 xx， 证明： ( )22 1F xx， 故01m 所以 2 11xm= +-，且 2 12x， 2 22 2mxx=-+， () 2 22 2222222 2 2 12ln12ln1 xx F xxxxxxx x -+ -+ =-+ =-， 令 ( ) 2ln1h ttt= -， 12t ， 则 ( ) 22 1 t ht tt - = -=， 由于12t ， ( ) 0h t ，故 ( ) h t在( ) 1,2上单调递减 故 ( )( ) 11 2ln1
29、10h th= -= 所以 ( )( )222 10F xxh x-+ =， 所以 ( )22 1F xx- 点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关 方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数 ( ) fx 解析式，再由题意构造函数 ( ) T x，将问题转化为求函数 ( ) T x的零点个数，利用导数求出函数 ( ) T x的最 值、单调区间，从而求出实数n的取值范围；在问题（）中，由（）可求出函数 ( ) F x的解析式，依 据导数与极值点的关系求出参数m的范围，并求出参数m与极值点 2 x的关系式，根据问题构造新的函数 ( ) h t，再用函数 ( ) h t的单调性证明不等式成立.网
