1、 【题型综述题型综述】 利用导数解决不等式恒成立利用导数解决不等式恒成立问题的策略：问题的策略： 利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点： （）利用常见结论，如：， () ln1xx+，等； （）利用同题上一问结论或既得结论 【典例指引】【典例指引】 例 1已知 2 17 ( )ln , ( )(0) 22 f xx g xxmxm，直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切，且与函数 ( )f x的图像的切点的横坐标为 1 （I）求直线l的方程及 m 的值； （II）若( )(1)( )()h xf xg x其中g(x)是g(x)的导函数，求函数( )h x的最大值 （II
2、I）当0ba时，求证：()(2 ) . 2 ba f abfa a 当x=0时，( )h x取最大值，其最大值为2 （III）()(2 )ln()ln2lnln(1). 22 abba f abfaaba aa 0,0, 1 0. 22 Qbaaba ba a 证明，当( 1,0)x 时，ln(1),ln(1). 22 baba xx aa ()(2 ). 2 ba f abfa a &网 例 2设函数 ( )() ln1f xax=+， ( ) 1 x g xe=-，其中aR，2.718e=为自然对数的底数 （）当0 x时， ( )( ) fxg x恒成立，求a的取值范围； （）求证： 10
3、 10952000 10001791 e两种情形分类讨论进行分析求解： （2）借助（1）的结论， 当1a=时， () 1 ln1 x ex +对0 x恒成立， 再令 1 10 x =，得到 1 10 1095 1 ln1.1 1.095 1000 e +? 即 10 1095 1000 e ； 又由()知， 当1a时， 则 ( ) H x在 )0 0 x，递减， 在( )0 x +?，递增， 则 ( )( )0 00H xH=， 即 () 0 0 1ln10 x eax- -+， 即 0 1 10 x =， 则 1 10 12000 1 1.1ln1.11791 e? - ，故有 10 109
4、52000 10001791 e两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问 时，充分借助（1）的结论及当1a=时， () 1 ln1 x ex +对0 x恒成立，令 1 10 x =，得到 1 10 1095 1 ln1.1 1.095 1000 e +? 即 10 1095 1000 e ； 进而由()知，当1a时，则 ( ) H x在 )0 0 x，递减，在 ()0 x +?，递增，则 ( )( )0 00H xH=，即 () 0 0 1ln10 x eax- -+，即 0 1 10 x =，则 1 10 12000 1 1.1ln1.11791 e? - ，故有 10 1095200
5、0 10001791 e从而使得问题巧妙获 证&网 例 3设 （l）若对一切恒成立，求 的最大值； （2）是否存在正整数 ，使得对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值； 若不存在，请说明理由 【思路引导】 （1）即在时，从而求的参数 的范围，所以函数 ，所 以 （2）由（1）可知当时，即，取，得， 即累加可证到所以 （2）设， 来源:Z&xx&k.Com 则，令得 在时，递减；在时，递增 最小值为，故， 取， 得，即&网 累加得 故存在正整数，使得 当时，取，有，不符合故&网 【新题展示新题展示】 1 【2019 安徽安庆上学期期末】 （1）已知函数，求函数在时的值域； （2）函数有两个不
6、同的极值点 ， 求实数 的取值范围； 证明：. （本题中可以参与的不等式：，） 【思路引导】 (1)首先可对函数进行求导，然后分析函数在 上的单调性并求出最值，最后即可求 出函数在上的值域； (2)首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”， 再根据(1)中所给出的函 数性质即可得出结果； 可利用分析法进行证明。 【解析】 由条件有两个不同的极值点 ， 知： ，于是有 所以，即 要证成立，只需证明 只需证 只需证 只需证 只需证，令， 只需证，而题中已给出该不等式成立. 即证。 2 【2019 河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中， . （1）求的取值范围； （2）若
7、，求的最大值. 【思路引导】 （1）求出 ,方程有两个不等的正根， （其中）.由韦达定理 可得，,由此可得 ， 由二次函数的性质可得结果； （2） 设， 则 ，求出,利用导数研究函数的单调 性，利用单调性求出最值，从而可得结果. 【解析】 ，, 故的取值范围是：. 记，则 ， 在上单调递减， 故的最大值是：. 3 【2019 湖南益阳上学期期末】已知函数. （1）当时，比较与的大小； （2）若有两个极值点，求证：. 【思路引导】 (1),可得，可得故在时为增函数，可得结 论； （2），可得在上有两个零点.当时， ，在上为增函数，不可能有两个零点， 故.此时， 即， 整理得， 即. 可得，故要证
8、成立，只需证，即证 ，不妨设，即证.令，原不等式化为 . 由 （ 1 ） 得 当时 ，. 故 只 需 证， 化 为 ，故原式得证. 【解析】 （2），. 则在上有两个零点. 令，即在上有两个零点，. 当时，在上为增函数，不可能有两个零点， 故.此时，即，整理得，即. . 故要证成立， 只需证，即证， 4 【2019 广东韶关 1 月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）. （1）证明：当时，；当时，. （2）是否存在最大的整数 ，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由. 【思路引导】 (1)直接作差，构建新函数研究最值即可；同样作差构建函数，研究最值即可； (2
9、)由题意可得，变量分离研究最值即可. 来源:163文库 【解析】 令， 当时，故在区间上为减函数， 当时，故在区间上为增函数， 因此，故. 令，因此为增函数 当时，故. 故为增函数， 又， 因此在区间上有唯一的零点，记它为 ， 在上单调递减，在上单调递增， 故，因此，其中 由（1）可知恒成立，且当时，成立 故 当且仅当时等号成立. 因此. 又 因此，即存在最大的整数 28，使得在其定义域上是增函数. 5 【2019 天津部分区期末】已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求 的取值范围； （3） 设函数，是函数的导函数， 若存在两个极
10、值点 ， ， 且满足， 求实数 的取值范围 【思路引导】 （）当时， （1），可得 （1）利用点斜式即可得出 切线方程 （），不等式，化为：令在 上恒成立， （1）可得在上恒成立，化为：即可得出 （） 根据可得和关于 x 的函数表达式， 根据存在两个极值点 ， ， 可得=0 在 上有两个不等实数根 ， 因此，得出 a 的取值范围并根据 ， 满足，代入简 化，利用导数研究其单调性即可得出结果 【解析】 （）设函数， 存在两个极值点 ， ， 在上有两个不等实数根 ， 因此，且， 解得 ， ，满足， 化为： 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( ) x f xe=， ( ) 2 2 a g xx
11、x=-， （其中aR，e为自然对数的底数， 2.71828e=） （1）令 ( )( )( ) h xf xgx=+ ，若 ( ) 0h x 对任意的xR恒成立，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，设m为整数，且对于任意正整数n， 1 n n i i m n = 骣 琪 琪 桫 ，求m的最小值 【思路引导】 （1）由 ( ) 0h x 对任意的xR恒成立，即 ( )min 0h x，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即 可得到实数a的值； （2）由（1）知e10 x x- ?，即1exx+?，令 k x n = -（ * nN，0,1,2,1kn=-） 则01e k n k n - -
12、?，所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 ， 令0,1, 2,1kn=-，求和后利用放 缩法可得 1 ( )2 n n i i n = ，从而可得m的最小值所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 （2）由（1）知e10 x x-?，即1exx+?， 令 k x n = -（ * nN，0,1,2,1kn=-）则01e k n k n - -?，所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 ， 所以 ()() 1221 1 121 ( )eeee1 nnnn n nnn
13、 i inn nnnnn - = 骣骣骣骣 - 琪琪琪琪=+?+?+?+ 琪琪琪琪 桫桫桫桫 11 1 e1e1 12 1 e1 ee 1e 1 n- - - = + - ，所以 1 ( )2 n n i i n = 琪琪琪 桫桫桫 ，所以m的最小值 为2&网 2设函数 ( )() x f xeax a aR=-+? （1）当1a=时，求 ( ) fx的单调区间； （2）若 ( ) fx的图象与x轴交于 ()()12 ,0 ,0A xB x两点，且 12 xx， ( ) ,2xR f xa纬，证明： ()() * 111 1ln1 23 nnN n +? 【思路引导】 （1）当1a=时，求出
14、( ) fx，由 ( ) 0fx 可得增区间，由 ( ) 0fx ，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得 () lnln0faaa a a=-+ 即 () ln1xx+， 1 x n =， * nN得 11 ln n nn 骣+ 琪，得lnxa= 即 () 111 1ln1 23 n n +&网 3已知函数 ( ) 2 1 ln 2 fxxa x=- （1）若函数 ( ) fx有两个不同的零点，求实数a的取值范围； （2）当1x时， ( ) 0fx 恒成立的a的取值范围，并证明 2 2 ln2 ln3 ln4ln 4 nn n + - + () * 2,nnN澄 【思路引导】 (1) 函数
15、 ( ) fx有两个不同的零点，等价于 1 2a = ( ) 2 ln x g x x =在（0，+）上有两实根，利用导数研究函 数 ( ) g x的单调性，结合函数图象即可得结果； （2）结合(1)可得lnx 2 1 4 x，令xk=， 2,3,4.kn= 1234 ln,ln2,ln3,ln4.ln 22222 n kkn1）最大值，再利用导数研究函数 ( ) 2 ln 1 x x h x x = - 单调性：单调递减，最后根据 洛 必 达 法 则 求 最 大 值 ， 即 得 实 数a的 取 值 范 围 (3) 先 根 据 和 的 关 系 转 化 为 对 应 项 的 关 系 ： 2 214
16、 ln 2141 nn nn + - ，再利用（2）的结论 () 2 1 ln1 2 x xx?，令 21 21 n x n + = - ，则代入放缩得证 方法二： （先找必要条件） 注意到1x=时，恰有 ( )( ) 0f xg x-= 令 ( )( )( )() ln 1 1 x x F xfxg xa x x =-=- + 则 ( ) ()() ()() 22 ln11ln1 ln 11 xxx xxx Fxaa xx +-+ + =-=- + ( ) 0F x?在 ) 1,+?恒成立的必要条件为 ( ) 10F 即 21 0, 42 aa&网 （3）不妨设 () ln 21 n Sn=
17、+为 n a前n项和，则 21 ln 21 n n a n + = - 要证原不等式，只需证 2 214 ln 2141 nn nn + - 而由（2）知：当 1 2 a =时恒有 ( )( ) f xg x 即 () 2 1 ln1 2 x xx?当且仅当1x=时取等号 取 21 1 21 n x n + = - ，则 2 2121121 ln1 2121221 nnn nnn 轾 骣 + 犏 琪? 琪 犏 - 桫 臌 即 () 2 212118 ln 21212 21 nnn nn n + - - 即 () 2 21421 ln 2121 21 nnn nn n +- -+ - 即 2 2
18、14 ln 2141 nn nn + - 成立，从而原不等式获证&网 点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式， 便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质 很难研究，就不要使用分离参数法 5已知函数， （）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值； （）当时，恒成立，求整数 的最大值； （）证明： 【思路引导】 ()求出与，由且 解方程组可求的值； （）恒成立等价于 恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不
19、恒成立，进而可得结果； （） ）由， 令，即，即，令 ，各式相加即可得结果 （）由，令， 即，即 由此可知，当时， 当时， 当时， 当时， 综上： 来源:Z。X。X。K 即&网 6已知函数 ( ) ln1 x x fx e + =（e是自然对数的底数） ， ( ) 1lnh xxx x= - （1）求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1Af处的切线方程； （2）求 ( ) h x的单调区间； （3）设 ( )( ) g xxfx= ，其中 ( ) fx 为 ( ) fx的导函数，证明：对任意0 x， ( ) 2 1g xe-， ( ) 2 g x1 e- +等价于 () x2 1
20、xxlnxe1 e-时恒成立，由（2）知， 当 2 xe-=时， ( ) h x的最大值 () 22 h e1 e - = +，即证 （ ） 证 明 ： 因 为 ( )( ) g xxfx= ， 所 以 ( ) x 1xx l n x gx, x0 e - =， ( ) 2 g x1 e- +等 价 于 () x2 1 xxlnxe1 e-时恒成立， 由（）知，当 2 xe-=时， ( ) h x的最大值 () 22 h e1 e - = +， 故 2 1 xxlnx1 e-?，&网来源:Z_X_X_K 因为x0时 x e1， 所以 () 2x2 1 xxlnx1 ee1 e - -?， (
21、) 2 g x1 e- 琪琪琪 犏+ 桫桫桫臌 【思路引导】 （）代入1b=时，求得 ( ) fx ，求得切线的斜率，即可求解切线的方程； （）求得 ( ) fx 的表达式， 分 1 2 b 和 1 0 2 b 和0b时， ( ) g x的图象恒在 ( ) fx的图象上方； （3）证明： () () 2 * 222 ln2ln3ln21 ,2 2341 nnn nNn nn - +纬 + 来源:ZXXK 【思路引导】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）1a=时， 1 ln2f xxx x =-（ ）， 1 1g xx x =-（ ），设 ( )( )(
22、 ) ln1F xf xg xxx=-=-+，求出函数的导数，利用 导数性质推导出 ( )( ) f xg x，得函数单调递增， ( ) 0fx 或 ( ) ah x或 ( )min ahx即可，利用导数知识结合单调性求出 ( )max hx或 ( )min hx即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式 9已知函数 ( ) ln1f xaxx=- （1）若函数( )f x在区间 ) 1 +?，上递增，求实数a的取值范围； （2）求证： ()() * 111 ln21 231 nnN n + +? + 【思路引导】 ( ) 1对函数求导，可知其导数在 ) 1,+?大于0，利用分离变量转化为函数
23、求恒成立问题，可得a的取值范 围； ( )2利用( )1中结论可得ln1xx -，则有 11 ln n nn + ，利用累加和裂项可证不等式 所以 1 1 ln1 1 + ， 2 11 ln 22 + ， ， 所以 1 12 13 111 11111 lnlnlnlnln1 1231231 nn nnnn + + + + + ， 即 ()() 111 ln21. 231 nnN n + +，e2.7) (1)若函数 ( ) fx在 ) 1, +上为增函数，求实数a的取值范 围； (2)当1a=时，求函数 ( ) fx在 1 ,2 2 轾 犏 犏 臌 上的最大值和最小值；来源:ZXXK (3)当
24、1a=时，求证：对于任意大于 1 的正整数n，都有 111 ln 23 n n + 【思路引导】 （1）先求出函数 ( ) fx的导数 ( ) fx，由题意可知：当1x时， ( ) 0fx 恒成立，解出a的取值范围即 可； （2）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论； （3）利用（2）的结论，只要 令1, 1 n ax n = - ，利用放缩法证明即可 ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有唯一的极小值点，也是最小值点， ( )( ) min 10f xf= 又因为 1 1 ln2 2 f 骣 琪= - 琪 桫 ， ( ) 1 2ln2 2 f=+， ( ) 3 13
25、lneln16 22ln2 222 ff 骣 - 琪 -=-= 琪 桫 3 eln160-， ( ) 1 20 2 ff 骣 琪- 琪 桫 所以 ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有的最大值是 1 1 ln2 2 f 骣 琪= - 琪 桫 综上所述， ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有的最大值是1 ln2-，最小值是 0 11已知函数 ( ) ln.f xxkx k=-+ ()若 ( ) 0fx 有唯一解，求实数k的值； （）证明：当1a时， ( )() 2 1. x x fxkxkeax+-，构造函数 () 2 210 x exxx=-+ -?，利用 单调性，极值求其最小值，证
26、明其大于零即可 当0k ，且 1 0,x k 纟 棼 时， ( )( ) 0,fxf x 单调递增；当 1 ,x k 骣 琪? 琪 桫 时， ( )( ) 0,fxf x 琪 桫 ，则 ( )( ) 1 10, k ggk k = - =, 当01k时， ( ) 0gx 时，故 ( ) g k单调递增， 所以 ( )( ) 10g kg?，故令 1 ln10fkk k 骣 琪=-= 琪 桫 ,解得1k =， 此时 ( ) fx有唯一的一个最大值为 ( ) 1f，且 ( ) 10f=，故 ( ) 0fx 的解集是1，符合题意；来源: 综上，可得1k = （）要证当1a时， ( )() 1, x
27、x fxkxkeax+-, 即证 2 ln10 x exx x- 由（）得，当1k =时， ( ) 0f x ,即ln1xx?，又0 x，从而 () ln1x xx x?, 故只需证 2 210 x exx-+ -，当0 x时成立； 令 ( )() 2 210 x h xexxx=-+ -?，则 ( ) 41 x h xex= -+, 令 ( )( ) F xh x= ，则 ( ) 4 x Fxe =-，令 ( ) 0Fx =，得2ln2x= 因为 ( ) Fx 单调递增，所以当 ( 0,2ln2x时， ( )( )( ) 0,0,FxF xF x 单调递减，即 ( ) h x 单调递 减，当
28、 () 2ln2,x?时， ( )( ) 0,FxFx 单调递增，即 ( ) h x 单调递增， 且 ()( )( ) 2 ln45 8ln2 0,02 0,28 10hhhe= -=- + , 由零点存在定理，可知 ()()12 0,2ln2 ,2ln2,2xx$?，使得 ()() 12 0hxhx =， 故当 1 0 xx时， ( )( ) 0,h xh x 单调递增；当 12 xxx时， ( )( ) 0,h xh x , 故当0 x时，所以 ( ) 0h x ,原不等式成立 点评： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题， 涉及函数不等式的证明， 综合性强， 难度大， 属于难题 处 理导
29、数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及 极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函 数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及 技巧比较多，需要多加体会 12 已知函数 ( ) ln 1 ax fxx x =- + （）若函数 ( ) fx有极值，求实数a的取值范围； 来源:163文库 （）当 ( ) fx有两个极值点（记为 1 x和 2 x）时，求证： ( )()( )12 1 1 x fxfxfxx x + 轾 +匙-+ 臌 【思路引导】 （
30、）由已知得 x0，且有 ( ) () () () 2 22 211 11 xa xa fx x xx x +-+ =-= + ， ，由此利用导数性质能求出当函数 f （x）存在极值时，实数 a 的取值范围是 a4 （）x1，x2是 x2+（2-a）x+1=0 的两个解，从而 x1x2=1，欲证原不等式成立，只需证明 f（x）-lnxf（x） -x+1 成立，即证 lnx-x+10 成立，由此利用构造法和导数性质能证来源: （） 1 x， 2 x是 ( ) fx的两个极值点，故满足方程 ( ) 0fx = 即 1 x， 2 x是 () 2 210 xa x+-+ =的两个解， 12 1x x =
31、 ( )() 12 1212 12 lnln 11 axax fxfxxx xx +=-+- + () ()1212 12 1212 2 ln 1 ax xxx x xa x xxx + =-=- + 而在 ( ) ln 1 ax fxx x =- + 中， ( ) 1 ln x afxx x + 轾 -=?臌 欲证原不等式成立，只需证明 ( )( ) 11 ln1 xx fxxfxx xx + 轾轾 ?匙-+ 臌臌 0 x，只需证明 ( )( ) ln1f xxf xx-?+成立 即证ln10 xx-+ ?成立 令 ( ) ln1g xxx=-+，则 ( ) 11 1 x gx xx - =-= 当 () 0,1x时， ( ) 0gx ，函数 ( ) g x在( ) 0,1上单调递增； 当 () 1,x?时， ( ) 0gx 时，求出函数 ( ) fx 的最大值，要使 ( ) 22fxa?在( ) 0,+?上恒成立，只 需 ( )max 22af x-? ，从而求出a 的范围 方法 2： () 0,x?， ( ) 22fxa?等价于 ln2 1 x a x + + 令 ( ) l n2 1 x g x x + = + ， 则 ( ) () 2 1 l n1 1 x x gx x - = +
