1、 【题型综述题型综述】 参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种： （1）几何法： 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式， 通过解不等式解出参数的范围和最值. (2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确 定参数的取值范围； 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题
2、的关键是构造含参数的不等式，通过解不 等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.学* 【典例指引】典例指引】 类型一类型一 参数范围问题参数范围问题 例 1 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆 22 :1214600M xyxy及其上一点(2,4)A. （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x 上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于,B C两点，且BCOA,求直线l的方程； （3）设点( ,0)T t满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t
3、的取值范围。 【解析】圆 M 的标准方程为 22 6725xy，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,. （1）由圆心在直线 x=6 上，可设 0 6,Ny.因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 0 07y，于是圆 N 的半径为 0 y，从而 00 75yy，解得 0 1y . 因此，圆 N 的标准方程为 22 611xy. (2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为 40 2 20 . 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 2 675 . 55 mm d 因为 22 242 5,BCOA 而 2 22 , 2 BC MCd
4、 所以 2 5 255 5 m ，解得 m=5 或 m=-15. 故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. 所以 2 2 55463755,t 解得22 2122 21t . 因此，实数 t 的取值范围是22 21,22 21 . 类型二类型二 方程中参数范围问题方程中参数范围问题 例 2.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线:20l xy，抛物线 2 :y2(0)Cpx p （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
5、求证：线段 PQ 的中点坐标为(2,).pp； 求 p 的取值范围. 【解析】 （1）抛物线 2 :y2(0)Cpx p的焦点为(,0) 2 p 由点(,0) 2 p 在直线:20l xy上，得020 2 p ，即4.p 所以抛物线 C 的方程为 2 8 .yx 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12, yy 从而 2 (2 )4( 2)0ppb ，化简得20pb. 方程（*）的两根为 2 1,2 2ypppb ，从而 12 0 . 2 yy yp 因为 00 (x ,y )M在直线l上，所以 0 2.xp 因此，线段 PQ 的中点坐标为(2,).pp 因为M(2,).pp在
6、直线yxb 上 所以(2)bpp ，即22 .bp 由知20pb，于是2(22 )0pp，所以 4. 3 p 因此p的取值范围为 4 (0, ). 3 学 类型三类型三 斜率范围问题斜率范围问题 例 3 【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分） 设椭圆1 3 2 2 2 y a x （3a） 的右焦点为F， 右顶点为A， 已知 | 3 | 1 | 1 FA e OAOF ，其中O 为原点，e为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2） 设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ， 垂直于l的直线与l交于点M， 与y轴交于点H， 若HFBF ，且MOAMAO ，求直线的l斜率
7、的取值范围. 【解析】 （1）设( ,0)F c，由 113 | c OFOAFA ，即 113 () c caa ac ，可得 222 3acc，又 222 3acb，所以 2 1c ，因此 2 4a ，所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . 由（）知，)0 , 1 (F，设), 0( H yH，有), 1( H yFH，) 34 12 , 34 49 ( 22 2 k k k k BF.由HFBF ，得 0HFBF， 所 以0 34 12 34 49 22 2 k ky k k H ， 解 得 k k yH 12 49 2 . 因 此 直 线MH的 方 程 为 k k x k y 12
8、 491 2 . 设),( MM yxM， 由 方 程 组 )2( 12 491 2 xky k k x k y 消 去y， 解 得 ) 1(12 920 2 2 k k xM. 在MAO中 ， |MOMAMAOMOA，即 2222 )2( MMMM yxyx，化简得1 M x，即1 ) 1(12 920 2 2 k k ，解 得 4 6 k或 4 6 k. 所以，直线l的斜率的取值范围为), 4 6 4 6 ,(. 类型四类型四 离心率的范围问题离心率的范围问题 例 4.【2016 高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆 2 2 2 1 x y a （a1）. （I）求直线 y=
9、kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示） ； （II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围. 【解析】 （1）设直线1ykx被椭圆截得的线段为，由 2 2 2 1 1 ykx x y a 得 2222 120a kxa kx， 故 1 0 x ， 2 2 22 2 1 a k x a k 因此 2 22 12 22 2 11 1 a k kxxk a k 由于 12 kk， 1 k， 2 0k 得 222222 1212 120kkaak k， 因此 22 22 12 11 1112aa kk ， 因为式关于 1 k， 2 k的方程有解
10、的充要条件是 22 121aa，所以2a 因此，任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a， 由 2 1ca e aa 得，所求离心率的取值范围为 2 0 2 e 【扩展链接】【扩展链接】 1.1.若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过 1 F的直线l 的倾斜角为，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 11 , coscos bb AFBF acac ； 2 cos ab AB ac 若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过F 的直线l 的
11、倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 , coscos bb AFBF acac ； 2 2 cos ab AB ac 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 2 2 sin ab AB ac （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 2.2.过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 左焦点的焦点弦为AB,则)(2 21 xxeaAB；过右焦 点的弦)(2 21 xxeaAB.学* 3. 抛物线)0(2 2 ppxy与直线y kxb相交于 112
12、2 ,A x yB xy 且该直线与y轴交于点 3 0,Cy ，则有 123 111 yyy . 4.设AB为过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 . 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp . 12 , 21 cos21 cos pppp AFxBFx . 12 2 2 ; sin p ABxxp . 112 |FAFBP ； . 2 3 4 OA OBp ； . 2 11 sin 222sin AOBF p SOA OBAOBOF h ； 【新题展示】新题展示】 1 【2019 陕西第二次质检】已知、为椭圆
13、（）的左右焦点，点为其上一点， 且 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线交椭圆 于 、 两点，且原点 在以线段为直径的圆的外部，试求 的取值范围 【思路引导】 （1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。 （2）设出 A、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于 k 的 不等式，解不等式即可得 k 的取值范围。 【解析】 （1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为： （2）设，由，得 ， 由韦达定理得：， 由 得或 又因为原点 在线段为直径的圆外部，则， ， 即， 综上所述：实数 的取值范围为 2 【2019 江苏南通基地学
14、 3 月联考】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的 离心率为，且左焦点 F1 到左准线的距离为 4 （1）求椭圆 的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线 l1：与椭圆 相交于 A，B 两点，直线 l2 与 l1 平行，且与椭圆 相 切于点 M（O，M 位于直线 l1 的两侧） 记 MAB， OAB 的面积分别为 S1，S2，若，求实数 的 取值范围 【思路引导】 （1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程； （2）设，根据可知， ，又 与原点距离为 ，即，可把 化简为：，根据 与椭圆相切，联立可得 ，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出 的范围 【解析】 （1）因为椭圆 的离
15、心率为，所以 又椭圆 的左焦点到左准线的距离为 所以 所以， 所以椭圆 的方程为 （2）因为原点与直线的距离为 所以，即 设直线 由得 因为直线 与椭圆 相切 所以 整理得 因为直线 与直线 之间的距离 所以， 所以 又 因为，所以 又位于直线 的两侧，所以同号，所以 所以 故实数 的取值范围为 3 【2019 湖北恩施 2 月质检】在直角坐标系中，椭圆 的方程为，左右焦点分别 为， 为短轴的一个端点，且的面积为设过原点的直线 与椭圆 交于两点， 为椭圆 上异于的一点，且直线，的斜率都存在， （1）求的值； （2） 设 为椭圆 上位于 轴上方的一点， 且轴， 、 为曲线 上不同于 的两点， 且
16、， 设直线与 轴交于点，求 的取值范围 【思路引导】 （1）设点 A（x1，y1） 、P（x2，y2） ，则 B（-x1，-y1） ，将点 A、P 的坐标代入椭圆 C 的方程，得出两个等 式，将两等式相减，结合直线 PA、PB 的斜率之积，得出= ，再利用 RF1F2的面积为，得出 bc， 联立两个方程，可求出 a、b 的值； （2）设直线 QM 的斜率为 k，结合已知条件得出直线 QN 的斜率为-k，将直线 QM 的方程与椭圆方程联立， 求出点 M 的横坐标，利用-k 代替 k 得出点 N 的横坐标，然后利用斜率公式得出直线 MN 的斜率为 ，于是 得出直线 MN 的方程为 y x+d，将直
17、线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，由 0 并结合点 Q 在直线 MN 的上方可得出 d 的取值范围 【解析】 （1）解：设，则， 进一步得， 两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以，即， 设， 因为，所以， 由的面积为得，即， 即，所以，； （2）设直线的斜率为 ， 因为，所以，关于直线对称， 所以直线的斜率为， 算得， 所以直线的方程是， 设， 由消去 得， 所以，所以， 将上式中的 换成得， 所以 ， 所以直线的方程是， 代入椭圆方程得， 所以，所以， 又因为在 点下方，所以，所以 4 【2019 江苏扬州一模】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为 ，左、右顶点 分别为 、 ，线
18、段的长为 4点 在椭圆上且位于第一象限，过点 ， 分别作，直线 ， 交于点 （1）若点 的横坐标为-1，求点 的坐标； （2）直线 与椭圆的另一交点为 ，且，求 的取值范围 【思路引导】 (1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点 的坐标，利用点 的横坐标为，求出，进而可求出点 的坐标；(2 )联立消去 ，整理得 ，求得由，可得 ，结 合即可求出 的取值范围 【解析】 （1）设直线的斜率为 ， 由题意得， 所以， 所以椭圆的方程为 因为点 在椭圆上，且位于第一象限， 所以，直线的方程为 因为， 所以， 所以直线的方程为 联立，解得， 即 因为，所以， 则直
19、线的方程为 因为，所以 则直线的方程为 联立，解得， 即 因为点 的横坐标为-1， 所以，解得 因为， 所以将代入可得点 的坐标为 （2）设，又直线的方程为 联立消去 ，整理得， 所以， 解得 因为， 所以 因为，所以 5 【2019 河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是，过点做斜率为 的直线 ， 椭圆 与直线 交于两点，当直线 垂直于 轴时 （）求椭圆 的方程； （）当 变化时，在 轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出 的取值 范围，若不存在说明理由 【思路引导】 （）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为有根据题意得到椭圆过点，将 坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程 （
20、）假设存在点，使得是以为底的等腰 三角形，则点为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识 求得线段的中点 的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可 求出 的取值范围 【解析】 （）因为椭圆的离心率为，所以，整理得 故椭圆的方程为 由已知得椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的 方程为 （）由题意得直线 的方程为 由消去 整理得， 其中 设，的中点 则， 所以 ， 点 C 的坐标为 假设在 轴存在点，使得是以为底的等腰三角形， 则点为线段的垂直平分线与 x 轴的交点 当时，则过点 且与 垂直的直线方程 ， 令，则得 若，则，
21、若，则， 当时，则有 综上可得 所以存在点满足条件，且 m 的取值范围是 6 【2019 辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 求椭圆 C 的方程； 点为椭圆 C 上一动点， 连接 ， 设的角平分线 PM 交椭圆 C 的长轴于点， 求实数 m 的取值范围 【思路引导】 (1)由题意分别确定 a，b 的值求解椭圆方程即可； (2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数 m的取值范围即可 【解析】 1 由于，将代入椭圆方程 ，得， 由题意知，即 又， 故椭圆 C 的方程为； 2 设 ， 当时， 当时，直线
22、的斜率不存在，易知或 若，则直线的方程为 由题意得， ， 若，同理可得 当时， 设直线，的方程分别为， 由题意知， ， ，且， ， 即 ，且， 整理得， 故且 综合可得 当时，同理可得 综上所述，m的取值范围是 7 【2019 广东惠州三调】已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点、 ，线段的中点记为 ，且线段的垂直平分线 过定点，求 的取值范围。 【思路引导】 （1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得 c，再利用椭圆过点求得 、 ，从而求出椭圆方程。 （2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由 得到 k 与 m 的不等关系，再由
23、AG 直线与 直线垂直，斜 率乘积为-1，得到 k 与 m 的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定 k 的取值范围。 【解析】 （1） 解法 1抛物线的焦点为 F（-1，0） ， 依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为， 又椭圆过点，由椭圆的定义知， ，又， 椭圆的方程为 （1） 解法 2抛物线的焦点为 F（-1，0） ， 依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为， 又椭圆过点， 解得， 椭圆的方程为 （1） 解法 3抛物线的焦点为 F（-1，0） ， 依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为， 又椭圆过点， ， 可解得， 椭圆的方程为 （2） 解法 1由消去 整理得 ， 直线与椭圆交于不同的两点， ，整理
24、得 设，线段的中点 A， 则， ， 点 A 的坐标为， 直线 AG 的斜率为， 又直线 AG 和直线 MN 垂直， ， 将上式代入式，可得， 整理得，解得 实数 的取值范围为 （2） 解法 2设 则 两式相减得 即 点 满足方程 又直线且过点 点 也满足方程 联立解得，即 点 在椭圆内部 的取值范围为 8 【2019 陕西彬州一模】已知椭圆经过点，离心率为 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，经过点 的动直线 与椭圆 交于两点，记和的面积分 别为和，求的最大值 【思路引导】 （1）由题意，列出方程组，求的，即可得到椭圆的标准方程； （2）由（1） ，设直线 的方
25、程为，联立方程组，利用根和系数的关系，得到，利 用基本不等式，即可求解。 【解析】 （1）由题意得：，解得：， 所以椭圆 的标准方程为 （2）由（1）得，可设直线 的方程为 联立 得 ，得， 设 当时，显然 当时， 当且仅当，即时取等号 综合得：时，的最大值为 【同步训练】同步训练】 1已知椭圆的右焦点为 ，离心率为 . （1）若，求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段 的中点，若坐标原点 在以为直径的圆 上，且，求 的取值范围. 【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为. (2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 集 合 韦 达 定 理 和 平
26、面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得 ， 结 合 离 心 率 的 范 围 可 知则的 取 值 范 围 是 . 【详细解析】 （1）由题意得，. 又因为，. 所以椭圆的方程为. （2）由 得 . 设.所以， 2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列. (1)求顶点 的轨迹方程； (2) 设顶点 A 的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围 【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨 迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情
27、况即可求 出 的取值范围.学% 【详细解析】 （1）由题知 得 ，即 （定值） 由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点） ， 且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 顶点 的轨迹方程为 （2）由 消去整理得, ，整理得： . 令 ，则 . 设 的中点 ，则 . i)当 时，由题知， ii)当 时，直线 方程为 ， 3.已知 A，B，C 是椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）上的三点，其中点 A 的坐标为(2，0)，BC 过椭圆的 中心，且 0，|2| (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点(0， t)的直线 l(斜率存在)与椭圆 C 交于 P， Q 两点
28、， 设 D 为椭圆 C 与 y 轴负半轴的交点， 且|， 求实数 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）根据点的坐标求出 a，然后根据0,2AB BCBCAC求出 b,即可求出椭圆方程。 （2） 根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设 1122 ,P x yQ xy运用违达定理运算，求出 t 的取 值范围。 【详细解析】 （1）由 A 的坐标为(23，0)，所以2 3a ， 0,2AB BCBCAC，知 OC=AC,所以 C(3, 3),代入椭圆方程，得 b=2,所以椭圆标准方程： 22 1 124 xy 。 （2）显然，当直线 k=0,时满足DPDQ，此时-2t2, 当直线0k 时，
29、设直线方程：y=kx+t,由 22 1 124 ykxt xy 消去y整理得， 222 3163120kxkxt 设 1122 ,P x yQ xy， PQ中 点 00 ,M xy， D(0,-2), 则 1212 22 612 3131 k xxx x kk ， 2 22 64 31 3120ktkt ， 化 简 得 22 4 12tk， 得 12 0 2 3 231 xxk x k ， 00 2 1 3 t ykxt k ，所以1 DMPQ kk ，代入 2 2 2 31 1 3 31 t k k kt k ,化简得 2 1 31tk ，代入 22 4 12tk，即04t ，所以14t 综
30、上所述， t 2,4 4.已知椭圆 1 C的方程是 2 2 1 4 x y，双曲线 2 C的左右焦点分别为 1 C的左右顶点，而 2 C的左右顶点分别是 1 C的左右焦点. （1）求双曲线 2 C的方程； （2） 若直线:2l ykx与双曲线 2 C恒有两个不同的交点， 且l与 2 C的两个交点A和B 满足6OA OB， 求 2 k的取值范围. 【思路点拨】 （1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有 a=3，c=2， b=1即可得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，消去 y，得到 x 的方程，运用韦达定理和判别式大于 0，再由向量的数 量积的坐标运算，
31、化简和整理得到 k 的不等式，解出求它们的交集即可学% 【详细解析】 （1）椭圆 C1的方程为 2 2 1 4 x y的左、右焦点为（3，0） ， （3，0） ， 则 C2的左、右顶点为（3，0） ， （3，0） ，C1的左、右顶点为（2，0） ， （2，0） ，则 C2的左、右焦 点为（2，0） ， （2，0） 则双曲线的 a=3，c=2，b=1 即有双曲线 C2的方程为： 2 2 1 3 x y； 5.已知椭圆 ：（）的短轴长为 2，离心率是 . （1）求椭圆 的方程； （2）点，轨迹 上的点 ， 满足，求实数 的取值范围. 【思路点拨】 （1）由已知即可以解得 a,b,c 的值； （2）
32、先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在 时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，化简得，结 合解得，从而解出的取值范围. 【详细解析】（1）由已知 ，设 的方程为 （2）过的直线若斜率不存在，则 或 3. 设直线斜率 存在， 则 由（2）（4）解得，代入（3）式得 化简得 由（1）解得代入上式右端得 解得 综上实数 的取值范围是. 6.已知点 为圆上一动点，轴于点 ，若动点 满足 （其中 为非零常 数）学 （1）求动点 的轨迹方程； （2）若 是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为 8 的正方形，当时，得到动点 的轨迹为曲线 ，过点的直线 与曲线 相交于两点，当线段的中点落在正方形
33、内（包括边界）时，求直线 斜 率的取值范围. 【思路点拨】(1)由相关点法得到 Q 点轨迹； （2）求出线段中点坐标，点 在正方形 内（包括边界）的条 件是即，解出来即可； 【详细解析】 （）设动点，则，且， 又，得， 代入得动点 的轨迹方程为 （）当时，动点 的轨迹曲线 为 直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为，代入， 得， 由， 解得， 设，线段的中点， 则 7.已知曲线 C 上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2 （1）求曲线 C 的方程 （2）过点 F 且斜率为 K 的直线 L 交曲线 C 于 A、B 两点，交圆 F：于 M、N 两点（A、M 两点相邻）
34、若 ，当 时，求 K 的取值范围 【思路点拨】 （1）由动点 P（x，y）到 F（0，1）的距离比到直线 y=3 的距离小 2，可得动点 P（x，y） 到 F（0，1）的距离等于它到直线 y=3 的距离，利用抛物线的定义，即可求动点 P 的轨迹 W 的方程； （2）由题意知，直线 l 方程为 y=kx+1，代入抛物线得 x24kx4=0，利用条件，结合韦达定理，可得 4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求 k 的取值范围； 【详细解析】 （1）由题意，动点 P（x，y）到 F（0，1）的距离比到直线 y=3 的距离小 2， 动点 P（x，y）到 F（0，1）的距离等于它到直线 y=1 的距离
35、， 动点 P 的轨迹是以 F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为 x2=4y； （2）依题意设直线 l 的方程为 y=kx+1，代入 x2=4y，得 x24kx4=0，=（4k）2+160， 设 A（x1，y1），B（x2，y2） ，则 x1+x2=4k，x1x2=4， ， （x2，y2）=（x1x2，y1y2）， ， ， 即 4k2+2= ， ， ， 函数 f（x）=x+ 在 单调单调递减， 4k2+22， ， k 的取值范围是， 8.如图，椭圆 C：=1（ab0）的右顶点为 A（2，0） ，左、右焦点分别为 F1、F2，过点 A 且斜率 为的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于另一个点 B
36、，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P 且斜率大于的直线与椭圆交于 M，N 两点（|PM|PN|） ，若 SPAM：SPBN=，求实数 的取值范围 【思路点拨】 （1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆 C 的方程 （2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到设 MN 方程：y=kx1，M（x1，y1） ， N（x2，y2） ，联立方程，利用韦达定理，求出，解出 ，将椭圆方程，然后求解实数 的取值范围 【详细解析】 （1）因为 BF1x 轴，得到点， 所以，所以椭圆 C 的方程是 （2）因为， 所以由（）可知 P（
37、0，1） ，设 MN 方程：y=kx1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立方程得： （4k2+3）x28kx8=0即得（*） 又，有， 将代入（*）可得： 因为，有， 则且 2 综上所述，实数 的取值范围为 9.如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 A、B，左右焦点分别为 F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线 y=kx+m （k0） 交椭圆于 C、 D 两点， 与线段 F1F2及椭圆短轴分别交于 M、 N 两点 （M、 N 不重合） ， 且|CM|=|DN| （1）求椭圆 E 的离心率； （2）若 m0，设直线 AD、BC 的斜率分别为 k1、k2，求的取值范围 【思路点拨
38、】 （1）由，求出 a，c，然后求解椭圆的离心率 （2） 设 D （x1， y1） ， C （x2， y2） 通过， 结合0 推出 m24k2+1， 利用韦达定理|CM|=|DN| 求 出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可 【详细解析】 （1）由，可知即椭圆方程为. （2 分） 离心率为（4 分） （2）设 D（x1，y1） ，C（x2，y2）易知 （5 分） 由消去 y 整理得： （1+4k2）x2+8kmx+4m24=0， 由04k2m2+10 即 m24k2+1，（6 分） 且|CM|=|DN|即可知，即，解得 （8 分） 10.在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆右焦点 F
39、的直线 x+y2=0 交 C 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设过点 F 的直线 l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 D，E 两点，若在线段 OF 上存在点 M（t，0） ，使 得MDE=MED，求 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用平方差法，结合，设 P（x0，y0） ，推出 a2=3b2， 结合 c=2 然后求解椭圆 C 的方程 （2） 设线段 DE的中点为H， 说明MHDE， 设直线 l的方程为 y=k （x2） ， 代入椭圆C 的方程为， 设 D（x3，y3） ，E（x4，y
40、4） ，利用韦达定理求出 H 的坐标，通过 kMHkl=1，求解即可 【详细解析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， 相减得，由题意知， 设 P（x0，y0） ，因为 P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为，所以，即， 所以可以解得 a2=3b2，即 a2=3（a2c2） ，即，又因为 c=2，a2=6， 所以椭圆 C 的方程为 （2）设线段 DE 的中点为 H，因为MDE=MED，所以 MHDE， 设直线 l 的方程为 y=k（x2） ，代入椭圆 C 的方程为， 得（3k2+1）x212k2x+12k26=0， 设 D（x3，y3） ，E（x4，y4） ，则 则，即，
41、 由已知得 kMHkl=1，整理得， 因为 k20，所以， 所以 t 的取值范围是 11.已知椭圆 C：（ab0） 的左右焦点分别为 F1， F2， 离心率为， 点 A 在椭圆 C 上， |AF1|=2， F1AF2=60 ，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的 取值范围；若不存在，说明理由 【思路点拨】 （1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程 （2）存在这样的点 M 符合题意设 P（x1，y1） ，
42、Q（x2，y2） ，N（x0，y0） ，设直线 PQ 的方程为 y=k（x 1） ，邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MNPQ，转化求解 m 的范围 【详细解析】 （1）由得 a=2c，|AF1|=2，|AF2|=2a2， 由余弦定理得， 解得 c=1，a=2，b2=a2c2=3， 所以椭圆 C 的方程为 （2）存在这样的点 M 符合题意 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，N（x0，y0） ， 由 F2（1，0） ，设直线 PQ 的方程为 y=k（x1） ， 由得（4k2+3）x28k2x+4k212=0， 由韦达定理得，故，
43、 又点 N 在直线 PQ 上，所以 因为 MNPQ，所以，整理得， 所以存在实数 m，且 m 的取值范围为学* 12.已知椭圆 E：mx2+y2=1（m0） （1）若椭圆 E 的右焦点坐标为，求 m 的值； （2）由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形若以 B（0，1）为直角顶点的椭圆 E 的内 接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围 【思路点拨】 （1）化椭圆 E 的方程为标准形式，通过焦点在 x 轴上，求出 a，然后求解 m 即可 （2）设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA，BC，设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，BA 与 BC 不与坐标轴平
44、行， 且 kBAkBC=10， 设直线 BA 的方程为 y=kx+1 （k0） ， 则直线 BC 的方程为， 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可 【详细解析】 （1）椭圆 E 的方程可以写成，焦点在 x 轴上，所以， b2=1，求得（4 分） （2）设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA，BC，设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） 显然 BA 与 BC 不与坐标轴平行，且 kBAkBC=10可设直线 BA 的方程为 y=kx+1（k0） ，则直线 BC 的方程为， 由消去 y 得到（m+k2）x2+2kx=0，所以 求得 同理可求 ， 所以实数 m 的取值范围是（14 分）
