1、 【题型综述题型综述】 导数研究方程导数研究方程的根的根或不等式的解集或不等式的解集 利用导数探讨方程0)()(mgxf解的存在性， 通常可将方程转化为)()(mgxf， 通过确 认函数)(xf或)(mg的值域，从而确定参数或变量的范围； 类似的，对于不等式)0(0)()(mgxf，也可仿效此法 来源来源:163文库 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 2 1 x f x x （1）若关于x的方程 30 x f xm在1,x上有解，求实数m的最大值； （2）是否存在 0 0 x ，使得 0 0 3xf x成立？若存在，求出 0 x，若不存在，说明理由； 【思路引导】 （1）方程在1,x上
2、有解，等价于 3xf xm有解，只需求 3xf x 的最大值即可； （2）假设 存在 0 0 x ，可推导出矛盾，即可证明不存在来源:Z。X。X。K 例 2已知函数 lnf xbx x的最大值为 1 e ， 2 2g xxax的图象关于y轴对称 ()求实数, a b的值；来源:Z*xx*k .Com ()设 F xg xf x，是否存在区间,1,m n ，使得函数 F x在区间,m n上的值域为 2 ,2k mk n ？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由 【思路引导】 () 由题意得 ln1fxx ， 可得 f x在 1 0, e 上单调递增， 在 1 , e 上单调递减， 可得
3、 f x的 最大值为 11 fb ee ，可得0b 。由 2 2g xxax的图象关于y轴对称，可得0a 。 ()由题 知 2 ln2F xxx x，则 2ln1Fxxx，从而可得 Fx在1,上递增。假设存在区间 ,1,m n ， 使 得 函 数 F x在,m n上 的 值 域 是2 ,2k mk n ， 则 2 2 22 22 F mmmlnmk m F nnnlnnk n ，将问题转化为关于x的方程 2 ln22xx xk x在区间 1,上是否存在两个不相等实根的问题，即 2 ln2 2 xx x k x 在区间1,上是否存在两个不相等实 根，令 2 ln2 2 xx x h x x ，1
4、,x，可得 h x在区间1,上单调递增，不存在两个不等实根。 问题转化为关于x的方程 2 ln22xx xk x在区间1,上是否存在两个不相等实根， 即方程 2 ln2 2 xx x k x 在区间1,上是否存在两个不相等实根， 令 2 ln2 2 xx x h x x ， 1,x， 则 2 2 342ln 2 xxx h x x , 设 p x , 1,x 则 2122 230 xx pxx xx ， 1,x， 故 p x在1,上递增，学 (2)由(1)可得函数的定义域为 R， 且函数为奇函数， 进而求出 的值域， 从而可求出的最小值， 因此可将函数， 若对任意的， 总存在（ 为自然对数的底
5、数） ， 使得 的问题转化为在上成立的问题，用导数的方法研究函数的单调性和最值即可求 出结果. 【解析】 (2)由(1)知的定义域为 R，且 ，所以函数为奇函数， 时，当且仅当时，取等号； 故函数的值域为，从而，依题意有， 函数的定义域为， 当时，函数在区间上单调的证，其最小值为, 符合题意； 5 【2019 江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR) （1）当 ab1 时，求的单调增区间； （2）当 a0 时，若函数恰有两个不同的零点，求 的值； （3）当 a0 时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数 b 的取值范围 【思路引导】 （1）当 ab1 时，求得函数的导数
6、，即可求解函数的单调区间； （2）法一：求得，令，得或，由函数 f（x）有两个不同的零点，求得 的 方程，即可求解； 法二：由得，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的 零点。 （3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使 有解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。 【解析】 （1）当 ab1 时， 令，解得或 所以 f（x）的单调增区间是和 （2）法一：，令，得或， 因为函数 f（x）有两个不同的零点，所以或， 当时，得 a0，不合题意，舍去： 当时，代入得 即，所以. （3）当时，因为，所以 设，则， 当时，因为，所以在上递增，
7、且， 所以在上，不合题意： 当时，令，得， 所以在递增，在递减， 所以， 要使有解，首先要满足，解得. 又因为， 要使的解集（m,n）中只有一个整数，则 即解得. 【同步训练】【同步训练】 1 设函数 lnf xxax， 2 x x g x e ， 已知曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线20 xy 平行 （1）求a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程 f xg x在,1k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不 存在，请说明理由 【思路引导】 （1）求出 f x的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得1a ； （2）求出 f x、 g x的导数和单调区
8、间，最值，由零点存在定理，即可判断存在 k=1 又 22 44 23ln2ln81 10h ee ， 所以存在 0 1,2x ，使 0 0h x 因为 21 ln1 x x x h xx xe ，所以当1,2x时， 1 10h x e ，当2,x时， 0h x ，学 (2)讨论函数 f x在1,e上的单调性; (3)若存在1,ex,使得 0f x 成立,求实数a的取值范围 【思路引导】 (1)求出切线的斜率， 10 f ，即可得出切线方程；(2) 21 , xax fxx x 1,e，分2a 、 222eaea、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分2a 、222eaea、三种情况 讨
9、论函 数的单调性并求出最值,则易得结论 当2a 时, f x因为在1,e上单调增, f x所以的最小值为 11,12faa 所以 当22ea时, f x在1, 2 a 上单调减,在,e 2 a 上单调增, f x所以的最小值为 2 lnln1 24224 aaaaa faaa 来源:Z,X,X,K 因为 3e 22e01,11. 2242 aa aln 所以学& ln10,22e. 224 aaa faa 所以所以 当2ea 时, f x在1,e上单调减, f x所以的最小值为 2 ee2 efaa,学&来源:Z_xx_k.Com 2 e2e 2ee0,2e e 1 afa 因为所以所以，综上
10、, 1a 7已知 1 ln a f xxa x x ，其中Ra （1）求函数 f x的极大值点； （2）当 1 ,11 e, e a 时，若在 1 ,e e 上至少存在一点 0 x，使 0 e 1f x成立，求a的取 值范围 【思路引导】 （1）求导，对a进行10 01 1111 1aaaa ，四类讨论，得到极大值的情况； （2）在 1 ,e e 上至少存在一点 0 x，使 0 e 1f x成立，等价于当 1 ,e e x 时， maxe 1f x，结合（1）的单调 性情况，求 maxf x，得到a的取值范围 8已知函数 lnf xxa x（0a ） （1）若1a ，求 f x的极值； （2）
11、若存在 0 1xe ，使得 0 0 1 0 a f x x 成立，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）问 题转化为0 min f xg x（ ） （ ）， (1xe ， ）成立，设 1a h xf xg xxalnx x （ ） （ ） （ ），根据函数 的单调性求出 a 的范围即可 试题解析： （2）存在 0 1xe ，使得 0 0 1 0 a f x x 成立， 等价于 1 min0 a f x x ， （ 1xe ，）成立 设 11 ln aa h xf xxa x xx 则 2 11xxa h
12、 x x 令 0h x，解得： 1x （舍） ，1xa ； 当1ae， h x在1 e，递减 2 min 1h xh eeeaa 令 min0h x，解得： 2 1 1 e a e 学& 当1ae时， h x在11a，递减，在1ae ，递增 min 11 ln122h xhaaa 与 min0h x矛盾 综上， 2 1 1 e a e 9已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）若关于 的方程有实数根，求实数 的取值范围 【思路引导】 （1）函数求导，从而得单调区间； （2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有 零点时参数的范围 （2）由题得， 依题意，方程有实数根，
13、 即函数存在零点 又 令，得 当时， 即函数在区间上单调递减， 而， 所以函数存在零点； 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 10已知函数 2 1 ln,f xxaxg xxb x ，且直线 1 2 y 是函数 f x的一条切线 （1）求a的值； （2）对任意的 1 1,xe ，都存在 2 1,4x ，使得 12 f xg x，求b的取值范围； （3）
14、已知方程 f xcx有两个根 1212 ,()x x xx，若 12 20g xxc，求证: 0b 【思路引导】 （1）对函数 f x求导， 2 112 2 ax fxax xx ，设直线 1 2 y 与函数 f x相切与点 2 0000 ,ln(0)xxaxx，根据导数的几何意义可得， 2 0 0 2 00 21 0 1 2 ax x lnxax ，解得 0 1 1 2 x a ，求出 1 2 a ； （2）对任意的 1 1,x e，都存在 2 1,4x ，使得 12 f xg x，只需要 1 f x的值域是 2 g x值域 的子集，利用导数的方法分别求 1 f x、 2 g x的值域，即可
15、求出b的取 值范围； （3）根据题意得 22 11 f xcx f xcx ,两式相减得， 2121 21 lnln 2 xxxx c xx ，所以 1 2112 2112 1 122 2 1 2 lnln2ln 1 x xxxx b xxxx x xxx x ，令 1 2 x t x ，则0,1t，则 21 1 2ln 1 t b xxt t ，令 1 2ln,0,1 1 t h ttt t ，对 h t求导，判断 h t的单调，证明0b (2) 由（1）得 2 1 ln 2 f xxx，所以 2 11 x fxx xx ，当(1x， e时， 0f x ，所以 f x在1, e 上 单 调
16、递 减 ， 所 以 当(1x， e时 ， minf xf e 1 22 e ， 2 22 min 111 1,1 2 x f xfgx xx ，当1,4x时， 0gx ，所以 g x在1,4上单 调递增，所以当1,4x时， minmax 17 12,4 4 g xgb g xgb，依题意得 11 , 222 e 17 2, 4 bb ，所以 1 2 22 17 1 42 e b b ，解得 193 422 e b (3) 依 题 意 得 22 11 f xcx f xcx , 两 式 相 减 得 22 212121 1 lnln 2 xxxxc xx， 所 以 2121 21 lnln 2 xxxx c xx ，方程 12 20g xxc可转化为
