1、 【题型综述题型综述】 用导数研究函数的单调性用导数研究函数的单调性 （1）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域D求导 ( ) fx解不等式 ( ) fx 0 得解集P求DP，得函数的单调递增 （减）区间 一般地，函数( )f x在某个区间可导， ( ) fx0( )f x在这个区间是增函数 一般地，函 数( )f x在某个区间可导， ( ) fx0( )f x在这个区间是减函数 （2）单调性的应用（已知函数单调性） 一般地，函数( )f x在某个区间可导，( )f x在这个区间是增(减)函数 ( ) fx( )0。 常用思想方法：来源:ZXXK 函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零
2、恒成立 ，而函数在某区间上单调递减，说明导数小 于或等于零恒成立 【典例指【典例指引】引】 例 1已知函数 2 21lnf xaxaxx， Ra 若曲线 yf x在点 1,1f处的切线经过点2,11，求实数a的值； 若函数 f x在区间2,3上单调，求实数a的取值范围来源:Z+X+X+K 【思路引导】 （1）根据题意，对函数f x（ ）求导，由导数的几何意义分析可得曲线yf x （ ） 在点11f（，（）处的切线 方程，代入点211（ ，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（2 3 ， ）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答 案； 若函数 f x在区间2,3
3、上单调递增，则210yax 在2,3恒成立， 410 610 a a ，得 1 4 a ； （2） 根据函数在区间上单调递增， 可转化成 ， 对恒成立， 将参数 a 分离， 转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实 数 a的范围 【新题展示新题展示】 1 【2019 贵州遵义联考】已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）当时，利用函数的导数，求得函数的单调区间，由此求得函数的极值. （2）依题意可知函数在区间上的导函数为非正数，列不等式后利用分离常数法，求解出 的取值范 围. 【解析】
4、（1）当时， ， ， 由解得，由解得， 故当时，的单调递增；当时，单调递减， 当时，函数取得极大值，无极小值. 2 【2019 陕西西安市期末】已知函数 （1）求的极值； （2）若函数在定义域内为增函数，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单 调区间，进一步求得极值 （2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数 ，利用基本不等式求 得最值可得答案 【解析】 (2)， 由题意可知恒成立，即 时，当且仅当时等号成立，故，则 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 2 lnf xxaxaR （1）若 yf
5、x的图像在2x 处的切线与x轴平行，求 f x的极值； （2）若函数 1g xf xx在0,内单调递增，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求出 fx，由 1 240 2 fa求得 1 8 a ，研究函数的单调性，即可求得 f x的极值； （2） 化 简 2 ln1g xxaxx， 可 得 2 21 0 axx gxx x ， 对 求 实 数a分 三 种 情 况 000aaa，讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数 g x在0,内是否单调递增即可 得结果 （2） 2 ln1g xxaxx，则 1 21gxax x 2 21 0 axx x x 设 2 21h xaxx， 当0a 时，
6、 1x gx x ，当01x时， 0gx，当1x 时， 0gx，所以 g x在0,1 内单调递增，在1,内单调递减，不满足条件； 当0a 时， 2 21h xaxx是开口向下的抛物线，方程 2 210axx 有两个实根，设较大实根为 0 x当 0 xx时，有 0h x ，即 0gx，所以 g x在 0, x 内单调递减，故不符合条件； 当0a 时，由 0gx可得 2 210h xaxx 在0,内恒成立， 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法求解的 5己知函数 2 x x f x e ， 1 h xx x （I）求函数 0 xf xh x在，上零点的个数； （II）设
7、 2 11 | | 22 g xf xh xf xh xcx ，若函数 g x在0,上是增函数，求实数 c的取值范围 【思路引导】 （1）先求得 2 21 1 ex xx x x ， 2x 时， 0 x恒成立，可证明02x时， 0 x， 可得 x在0,上单调递减，根据零点定理可得结果； （2）化简 g x为分段函数 2 0 2 2 0 1 ,0, , ex xcxxx x x cxxx ，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实 数c的取值范围 （II）由（）知：当 0 0,xx时， x0，当 0, xx时， x0 当0 x 时， 2 11 22 g xf xh x
8、f xh xcx = 2 0 2 2 0 1 ,0, , ex xcxxx x x cxxx 求导，得 0 2 0 1 12,0, 2 2,. ex cxxx x gx xx cx xx 由于函数 g x在0,上是增函数， 故 0gx在 0 0,x， 0, x 上恒成立 当 0, xx时， 2 2 ex xx cx 0 在 0, x 上恒成立， 即 2 2 ex x c 在 0, x 上恒成立， 记 2 ex x u x ， 0 xx，则 3 ex x ux ， ， 所以， u x在 0,3 x上单调递减，在3,上单调递增， u x min= u x极小值= 3u 3 1 e ， 故“ 2 2
9、 ex x c 在 0, x 上恒成立”，只需 min2cu x 3 1 e ，即 3 1 2e c 6已知函数 32 ,1,1f xxaxbxcyf xPf且曲线在点处的切线方程为 y=3x+1 (1) 若函数 2f xx 在处有极值，求 f x的表达式； (2) 若函数 yf x在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 【思路引导】 已知函数在某点处的切线方程，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值即为切线的斜率，曲线与切 线都经过切点，函数的极值点处的导数值为零，列方程组求出, ,a b c； 函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立，求出b的范围 【点睛】已知曲线在某
10、点处的切线方程，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值即为切线的斜率， 曲线与切线都经过切点，函数的极值点处的导数值为零，列方程组求出, ,a b c； 函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立 ，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或 等于零恒成立来源:Z&xx&k.Com 7已知函数 （1）若函数的图象在处的切线斜率为 1，求实数 的值； （2）若函数在上是减函数，求实数 的取值范围 【思路引导】 （1）先求得，由导数的几何意义得，即可得实数 的值； （2）根据函数的单调性与导数 的关系可得在上恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，利用 导数求出函数在上的最小值，即可得出结论
11、 试题解析： （1），由已知，解得&网 (2)由 ， 得， 由已知函数为上的单调减函数， 则， 在上 恒 成 立 ， 即在上 恒 成 立 ， 即在上 恒 成 立 ，令在上 ，在上为减函数，&网 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题 应用导数的几 何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切 点, 设出切点利用求解 8 （本题 15分）已知函数 2 1 ln , 2 f xxa x aR （I）若 yf x在2x 处的切线方程为y
12、xb，求, a b的值； （II）若 f x在1,上为增函数，求a得取值范围 【思路引导】 （1）利用导数的几何意义布列所求量的方程组即可； （2）因为 f x在1,上为增函数，所以 0 a fxx x 在1,上恒成立，变量分离求最值即可 点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度： （1）已知切点求切线方程； （2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；来源:163文库 （3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围 9已知函数 3 1f xxaxaR （I）讨论函数 f x的单调性； （）若函数 f x在区间1,1上单调递减,求实数a的取值范围 【思路引导】 ()首先对函数求导，然后分别
13、讨论0a 和0a 两种情况即可；()结合(I)的结论，得到 1,1, 33 aa ,据此可得3a 10已知函数 2 cossin , 3 f xxxax aR （1）求曲线 yf x在点, 22 f 处的切线方程； （2）若函数 f x在R上单调递增，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； （2）函数 f x在R上单调 递增， 可得 0fx 在R上恒成立， 即 2 33 coscos0 45 xax在R上恒成立， 令cos11xtt ， 可得 2 4350tat在11t 上恒成立，可令 2 435g ttat，由10g 且 10
14、g，解不等 式即可得到所求范围 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题求曲线切线 方程的一般步骤是： （1）求出 yf x在 0 xx处的导数，即 yf x在点P 00 ,xf x出的切线斜 率（当曲线 yf x在P处的切线与y轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 0 xx） ； （2）由点斜式 求得切线方程 00 yyfxxx 11已知函数 2 12f xaxx (0)a （）若 f x在2,上单调递减，求a的取值范围； （）讨论 f x的单调性来源: 【思路引导】 （） 0fx由题可得在2,上恒成立，转化 为 2 1 58 a xx ，构造 2
15、1 58 g x xx ， 2,x，求最值即可 （） 2 11 221 22 fxax xax x = 2 581 22 axax x ，分 11 0 44 aa 和讨论可得单 调区间 试题解析： （） f x定义域为2, 2 11 221 22 fxax xax x = 2 581 22 axax x ，来源:ZXXK 因为0a ，所以 2 64200aa，因此方程 2 5810axax 有两个根， 2 1 86420 10 aaa x a ， 2 2 86420 10 aaa x a ， 2 2 8642084 2 10105 aaaa x aa ， 当 2 1 86420 2 10 aa
16、a x a ，即 1 0 4 a时，&网 当x变化时， fx、 f x变化如下表 x 2 2 2,x 2 x 2, x 来源: fx 0 f x 来源:Z_X_X_K 由上表知： f x在 2 86420 2, 10 aaa a 上单调递增，在 2 86420 , 10 aaa a 上单调递减， 当 2 1 86420 2 10 aaa x a 即 1 4 a 时 当x变化时， fx、 f x变化如下表 x 2 1 2,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x fx 0 0 f x 来源:Z#xx#k.Com 12已知函数 2 1 2 ln121 2 f xaxaxaxa x （1）当1a
17、 时，判断 f x的单调性； （2）若 f x在0,上为单调增函数，求实数a 的取值范围 【思路引导】 （1）当1a 时，对函数求导后因式分解，根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间 （2）当1a 时，可判断函数导数恒为非负数，函数递增符合题意当01a和0a 时，利用函数的二阶导数判断出 不符合题意故1a 点睛：本题主要考查导数与单调性的求解，考查利用导数解决已知函数在某个区间上递增求参数的取值范 围，考查分类讨论的数学思想方法第一问已知a的值，利用导数求函数的单调区间，其基本步骤是：求 函数导数、对导数进行通分因式分解、画出导函数图像、画出原函数图像，最后根据图像来研究题目所求 的问题第二问由于一阶导数无法解决问题，故考虑用二阶导数来解决
