1、 【题型综述题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论 先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数( )1 lnf xaxx=-()a R （）讨论函数( )f x在定义域内的极值点的个数； （）若函数( )f x在1x=处取得极值，对x?(0,)+?，( )2f xbx?恒成立， 求实数b的取值范围； （）当 2 0 xye -，即( )0g x ， ( )g x在(1,)e-+?上单调递增，即 ln(1)ln(1) xy ee
2、 xy + ， 当1xye -时，有 ln(1) ln(1) x y x e y - + + 例 2已知函数 ( ) 2 1 (0) 2 fxaxxc a=+?.若函数 ( ) fx满足下列条件： ( ) 10f -=；对一切实数x，不等式 ( ) 2 11 22 fxx?恒成立. ()求函数 ( ) fx的表达式； ()若(0,1)x对 1,1x?， 1,1a?恒成立，求实数 ( 1,xe的取值范围； ()求证： ( )( )( ) * 1112 () 122 n nN fff nn +鬃 ? + . ()证明：因为 ( ) 22 21(1) 44 nnn f n + =，所以 ( ) 2
3、14 (1)f nn = + 要证不等式 ( )( )( ) * 1112 () 122 n nN fff nn +鬃 ? + 成立， 即证 222 111 23(1)24 n nn . 因为 2 1111 (1)(1)(2)12nnnnn ， (2)详见解析. (2)证明 12 2xxe+， 即证 12 2 xx a +， ()1121 21 2121 222121 xx2 xx lnxlnx axx(xx0) xxxxlnxlnx lna lna =- - =+ =- 即证， ()21 2121 21 2 xx lnxlnx(xx0) xx - - + 即证，构造函数 ( ) () 2 x
4、 1 h xlnx(x1), x 1 - =- + 求导判断单调性求出 函数的最值，即可证明不等式成立. （II）由题意及（I）可知，即证 12 2 xx, a + () () 1121 21 2121 222121 21 2121 21 xx2 xx lnxlnx xx(xx0), xxxxlnxlnx 2 xx xx(xx0) xx lna a lna lnln =- - =+ =- - - + 即证 即证 ( ) () ( ) () () () ( ) () ()( )( ) () 2 22 2 x 1x 114 (1),h0, x 1x x 1x x 1 2 x 12 x 1 1,10
5、,(1), x 1x 1 h xlnxxx h xlnxh xhlnxx - =-=-= + + - + 设则 在上单增 2 1 x x1,. x =令则原不等式成立 例 4已知函数 ( ) 2 2ln axb fxx x - =-的图象在1x=处的切线过点( ) 0,22a-， ,Ra b. （1）若 8 5 ab+=，求函数 ( ) fx的极值点； （2）设 ()1212 ,x xxx是函数 ( ) fx的两个极值点，若 1 1 1 e x，证明： ()( )21 1fxfx-.（提示 2 e7.40） 【思路引导】 （1）求导 ( ) 2 2 2axx b fx x -+ =，则 ( )
6、 12fa b =+ -.又 ( ) 1fa b=-，曲线 ( ) yf x=在1x=处的切线 过点( ) 0,22a-利用斜率相等 () 22 2 1 0 aba a b - =+ - - ，可得ab=，又 8 5 ab+=，可得 4 5 ab=，则 ( ) 2 2520fxxx=-+ = ，可得函数 ( ) fx的极值点 （2） 由题 12 ,x x是方程 ( ) 2 2 2 0 axxa fx x -+ =的两个根， 则 12 1x x =， 1 2 121 22 1 x a xxx = + ， 由 1 1 1 e x， 0a， ( )1 fx是函数 ( ) fx的极大值， ( )2 f
7、x是函数 ( ) fx的极小值，要证 ()( )21 1fxfx-，只需 ( )( )12 1f xf x-，计算整理可得 ( )( )12 f xf x-= 2 2 1 1 2 1 11 4ln 12 x x x 骣 - 琪 - 琪 + 桫 ，令 2 1 tx=，则 2 1 1 e t 解得1a，由 ( ) 0am解得01a. （I）求函数 ( ) fx的单调区间； （II）若函数 ( ) fx既有极大值，又有极小值 ，求实数a的取值范围及所有极值之和； （ III ） 在 （ II ） 的 条 件 下 ， 记 12 ,x x分 别 为 函 数 ( ) fx的 极 大 值 点 和 极 小 值
8、 点 ， 求 证 ： ( )( )12 12 22 fxfxxx f 骣+ + 琪 琪 桫 . 【思路引导】 （1）利用导数并结合实数a的不同取值求解单调区间； （2）由（1）可知当 1 0 2 a时函数 ( ) fx有极值， 此时 ( )( )12 f xf x+= () () ()() 12 12 1112 1212 2 111 lnlnln 1111 x xxx a xa xax x xxxx 骣骣 - 琪琪 +=+ 琪琪 + 桫桫 ，再根据根与系数 的关系求解； （3）将问题转化为证明当 1 0 2 a时， 1 ln1210aa a 骣 琪 -+- 琪 桫 成立的问题，变形得即证 11
9、11 ln12ln1110 aaaa 骣骣骣 琪琪琪-+=-+ 由 ( )( ) 12 00.fxg xxxx ，即可得 综上所述， 当 1 2 a 时， ( ) fx的单调递增区间为( ) 0,+?，无单调递减区间； 当 1 0 2 a时， ( ) fx的单调递增区间为 11 2 0, aa a 骣 - 琪 琪 桫 ， 11 2 , aa a 骣- +- 琪 +? 琪 桫 ，单调递减区间 11 211 2 ,. aaaa aa 骣- -+- 琪 琪 桫 ,fxxa .所以函数 ( ) fx在( ) 0,a上单调 递减，在( ) , a +?上单调递增.当 ( ) min ln1xa fxa
10、轾 =+ 臌 .当ln10a+ ?，即 1 0a e 时， ( ) () 32 3ln247 x fxxxxx e-+-+. 【思路引导】 （1） ( ) fx在区间( ) ,5a a+有最大值，即是 ( ) fx在区间( ) ,5a a+有极大值，求出 ( ) fx，求出极大值 点 0 x ， 令 0 5axa+ ， 从 而 可 得 结 果 ； （ 2 ） ( ) () 32 3ln247 x fxxxxx e-+-+等 价 于 () 23 313ln7 x xxexx-+-+，只需证明 ()() 23 min max 313ln7 x xxexx 轾- +- -+ 犏 臌 即可. 试题解析
11、： （1）f(x)（x2x2）ex， 当 x，比较 ( )( ) f mf n mn - - 与 22 2n mn+ 的大小.来源:Z_xx_k.Com 【答案】 （1） ( ) h x的单调增区间是( ) 0,1，单调递减区间是( ) 1,+?； （2） ( )( ) 22 2f mf nn mnmn - -+ 【思路引导】 （1）由 ( ) 10h=，得2a=， ( )( ) 2 2 12 ln,0, xx h xxxx xhx x + - =-+= ，所以 ( ) h x的单调增区间是 () 0,1，单调递减区间是( ) 1,+?。 （2）由0mn，所以 22 2mnmn+，即 22 2
12、1n mnm - ， 就证明了 ( )( ) 22 2f mf nn mnmn - -+ ， 而只需证明 ( )( )() 0,m f nf mnm 轾 - 臌 ，求导可解。 ( )( ) 0,0mnnmff -+ . 【点睛】本题第二问是关于多元变量不等式成立问题，我们常用的方法是其中一个做变量，其余做参量， 如本题以 m 为变量，所以构造函数 ( )( )( )(), 0 xm fxf mxmxf 轾 =- 臌 ，当然以 n 为变量也可以。 另外还有常用的方法就是，当多个变量以整体形式出现时，我们也常用换元的方法，如经常 2 1 x t x =等。这 样多个变量就变成了一个变量问题。 10
13、函数 ( )() 2 ln 1f xxmx=+ (1)讨论 ( ) fx的单调性； (2)若函数 ( ) fx有两个极值点 12 xx、，且 12 xx-+ 【思路引导】 (1) ( ) 2 22 1 xxm fx x + = + ， 分类讨论， 研究 ( ) fx 的符号情况， 进而得到函数的单调区间;(2) 设函数 ( ) fx 有两个极值点 12 xx、，且 12 xx-+成立， 只需证 ()() ()() 2 22222 24 1ln 111 2ln20 xxxxx-+-+-对 2 1 0 2 x-恒 成立.设 ( )()() ()() 2 1 24 1ln 111 2ln2 (0)
14、2 xxx xxxxj=-+-+-，研究其最值即可. 1) 当 1 11 2 1 22 m x - =-?即 1 21 22 m- ，即0m时， 2 1xx- 时， ( ) 0g x ，即 ( ) 0fx 时， ( ) 0g x ，即 ( ) 0fx 2) 当 1 11 21 1 222 m x - - =-时，即 1 21 0 22 m- ，即 1 0 2 m时 12 xxx时， ( ) 0g x ，即 ( ) 0fx 1 1xx- 时， ( ) 0g x ，即 ( ) 0fx 综上:0m时， ( ) fx在 11 2 1 22 m 骣 - 琪 -+ 琪 桫 ，上单减，在 11 2 22 m
15、 骣 - 琪 -+? 琪 桫 ，上单增； 1 0 2 m时 ， ( ) fx在 11 211 2 2222 mm 骣 - 琪 -+ 琪 桫 ，上 单 减 ， 在 11 2 1 22 m 骣 - 琪 - 琪 桫 ，和 11 2 22 m 骣 - 琪 -+? 琪 桫 ，上单增; 1 2 m时， ( ) fx在( ) 1-+?，上单增 (2)若函数 ( ) fx有两个极值点 12 xx、，且 12 xx 则必是 1 0 2 m，则 1 21 0 22 m- ，则 12 1 10 2 xx- -， ( )()() 4 4 1 2ln 1lnxxx e j=-+ 当 1 0 2 x-， () ln 10
16、 x+ 故 ( ) 0 xj ，故 ( ) xj在 1 0 2 骣 琪 - 琪 桫 ，上单增 故 ( )( ) 111111 24ln1 2ln20 242222 xjj 骣骣 琪琪-= ?创-?= 琪琪 桫桫 ()() ()() 2 22222 24 1ln 111 2ln20 xxxxx-+-+-对 2 1 0 2 x-+ 11已知函数 ( ) 1 x e fx x - =. （）判断函数 ( ) fx的单调性； （）求证： ()() 2 ln1ln1 x exxx+?+. 【答案】 （） ( ) fx在( ) ,0-?和( ) 0,+?上都是增函数； （）证明见解析 【思路引导】 （1）
17、先对题设条件中函数解析式进行求导 ( ) ()() 22 1 11 xx x exe xe fx xx ?- + = - =，再构造函数 ( ) () 11 x g xxe=-+对所求得的导函数 ( ) fx 的值的符号进行判定；（2） 先构造函数 ( )() ln1h xxx= -+， 再对其求导得到 ( ) 1 1 11 x hx xx+ = -= + ，求出导函数的零点，得到最小值为 0，从而证得 () ln1xx?；然 后借助函数 ( ) 1 x e fx x - =的单调性，分0 x、10 x- 时， () ln10 xx?， ( ) fx在( ) 0,+?上是增函数， ( )()(
18、) ln1fxfx?，即 () 1 ln1 x ex xx - + ，( )() 2 1 ln1 x exx-+?. 当10 x- ?， ( ) fx在( ) ,0-?上是增函数， 12已知函数 ( ) () 1 ln, 1 a x fxxaR x - =-? + (1)若2x=是函数 ( ) fx的极值点，求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1f处的切线方程； (2)若函数 ( ) fx在( ) 0,+?上为单调增函数，求a的取值范围； (3)设,m n为正实数，且mn，求证： lnln2 mnmn mn -+ 时， 1 22ax x -?，求得右边函数的最小值，即可得到a范围；
19、 （3）运用分析法证明，要证 lnln2 mnmn mn -+ - ， 只需证 11 2 ln mm nn m n -+ + ，设 ( ) () 21 ln 1 x h xx x - =- + ，求出导数判断单调性，运用 单调递增，即可得证. （3）要证，只需证， 即证 21 ln. 1 m mn m n n 骣 ? 琪 桫 + 只需证 21 ln0. 1 m mn m n n 骣 ? 琪 桫 - + 设 ( ) () 21 ln 1 x h xx x - =- + ，由（2）知 ( ) h x在( ) 1,+?上是单调函数，又1 m n ，来源:ZXXK 所以 ( ) 10 m hh n 骣 琪= 琪 桫 ，即 21 ln0 1 m mn m n n 骣 ? 琪 桫 - + 成立，所以 lnln2 mnmn mn -+ - .
