1、 - 1 - 高二年级 20172018 学年度 上学期期中考试 数学（文）学科 考试说明 ： 1.考试时间为 120分钟，满分 150分，选择题涂卡。 2.考试完毕交答题卡。 第卷 一 、 选择题 （本题包括 12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 5分 ， 共 60分） 1已知椭圆的标准方程 22 110yx ?，则椭圆的焦点坐标为（ ） A ( 10,0) ， ( 10,0)? B.(0, 10) ， (0, 10)? C (0,3) ， (0, 3)? D (3,0) ， ( 3,0)? 2 双曲线 2x2-y2=8的实轴长是（ ） A. 2 B. 22 C. 4 D. 42 3
2、已知双曲线 222: 1( 0 )4xyCbb? ? ?的焦点到渐近线的距离为 4，则双曲线 C 的虚轴长为（ ） A. 4 B. 8 C. 45 D. 25 4 抛物 线 y=a x2的准线方程为 y=2，则实数 a的值为 A. 18 B. 18 C. 8 D. 8 5从一批产品中取出三件，设 A=“ 三件产品全不是次品 ” ， B=“ 三件产品全是次品 ” ， C=“ 三件产品不全是次品 ” ，则下列结论正确的是（ ） A. A与 C互斥 B. B与 C互斥 C. 任两个均互斥 D. 任两个均不互斥 6 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 ? ?,xy B
3、. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D. 甲、乙两个模型的 2R 分别约为 0.98和 0.80，则模型乙的拟合效果更好 7 设经过点 ? ?2,1? 的等轴双曲线的焦点为 12,FF，此双曲线上一点 N 满足 1 2NF NF? ，则12NFF? 的面积为（ ） - 2 - A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 8 已知椭圆 ， 是椭圆的右焦点， 为左顶点，点 在椭圆 上， 轴，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9 已知直线 l 过点 ? ?3, 2P ? 且与椭圆 22:120 1
4、6xyC ?相交于 ,AB两点，则使得点 P 为弦 AB中点的直线斜率为（ ） A 35? B 65? C 65 D 35 10 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A. 916 B. 12 C. 716 D. 38 11 方程 114 22 ? tytx 表示的曲线为 C，给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ） 若曲线 C为椭圆，则 1 t 4；若曲线 C为双曲线，则 t 1或 t 4； 曲线 C不可能是圆；若曲线 C表示焦点在 x轴上的椭圆，则 251 ?t 。 A 1 B 2 C
5、3 D 4 12 已知椭圆 221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?与圆 2 2 22 :C x y b?，若在椭圆 1C 上存在点 P，过P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A, B使得 2BPA ?，则椭圆 1C 的离心率的取值范围是（ ） A 3 ,1)2 B 23 , 22 C 2 ,1)2 D 1 ,1)2 二 、 填空 题 （本题包括 4个小题，每小题 5分 ， 共 20分） 13 抛物线 2 6yx? 的焦点坐标为 _ 14 已知直线 交椭圆 于 、 两点，椭圆的右焦点为 点，则 的周长为_ - 3 - 15 一动圆与两圆 (x+2)2+y2=1,(x-2)2+
6、y2=4 都 外 切 , 则动圆圆心的轨迹方程为_. 16 已知 l 为双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的一条渐近线， l 与圆 ? ?2 22x c y a? ? ?（其中 2 2 2c a b?）相交于 ,AB两点，若 AB a? ，则 C 的离心率为 _ 第卷 三 、 解答题 （本题包括 6个小 题 ，共 70分） 17（本小题满分 10分） 在 ABC? 中， 5BC? ， 3AC? ， sin 2sinCA? . （ 1）求 AB 的值； （ 2）求 sin2A . 18 （本小题满分 12分） 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调
7、查得到这款手机上市时间（第 周）和市场占有率（ ）的几组相关数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 0.03 0.06 0.1 0.14 0.17 （ ）根据表中的数据，求出 y关于 x的线性回归方程 ； （ ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过 （最后结果精确到整数） . 参考公式： 1221? n iii niix y nxybx nx? ， ?a y bx? 19（本题满分 12 分） 已知数列 ?na 是等差数列， 256, 18aa?；数列 ?nb 的前 n项和是 nT ，且 1 12nnTb? （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 求
8、证：数列 ?nb 是等比数列； （ 3） 记 n n nc a b?，求 ?nc 的前 n项和 nS - 4 - 20 （本题满分 12 分） 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了 70 人，从女生中随机抽取了 50 人，男生中喜欢数学课程的占 ，女生中喜欢数学课程的占 ，得到如下列联表 . 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女生 合计 （ 1）请将列联表补充完整；试判断能否有 90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关； （ 2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取 6人，现从 6 人中随机抽取2 人，求抽取的学生
9、中至少有 1名是女生的概率 . 附： ，其中 . 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. （本题满分 12分） 已知抛物线 C： 2 2 ( 0)y px p?过点 A （ 1 , -2） . （ 1）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程 . （ 2）是否存在平行于 OA（ O为坐标原点）的直线 L，使得直线 L与抛物线 C有公共点，且直线 OA与 L的距离等于 55 ？若存在，求直线 L的方程；若不存在，说明理由 . 22 （本题满分 12分）已知椭圆 2
10、2: 1( a b 0 )xyC ab? ? ? ?的离心率为 63 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 523 . （）求椭圆 C 的标准方程； - 5 - （）已知动直线 ( 1)y k x?与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 . 若线段 AB 中点的横坐标为 12? ，求斜率 k 的值； 已知点 7( ,0)3M? ，求证： MAMB? 为定值 . - 6 - 高二年级 20172018学年度上学期期中考 试 答案 16 CCBABD 712 DACCBC 13 3,02?14 20 15 4154122 yx ? =1(x0) 16 72 【解析】 由题意可知，双曲线的
11、一条渐近线方程为： bx+ay=0， 圆 (x?c)2+y2=a2的圆心 (c,0)，半径为： a， l 为双曲线 C: 22 1( 0 , 0xy abab? ? ? ? ）的一条渐近线 , l 与圆 (x?c)2+y2=a2(其中 c2=a2+b2)相交于 A， B两点，若 |AB|=a， 可得 2 2 222 2bc a aab? ? ?,可得 2243ba? ， 4(c2?a2)=3a2，解得 72ce a? . 17【解】（ 1）由正弦定理可得 2AB BC?25 （ 2）由余弦定理可得 25cos 5A? ， 2 5s in 1 c o s 5AA? ? ?. 4s in 2 2
12、s in c o s 5A A A? 18 解：（）由题中的数据可知： _ 0.1y? ， _ 3x? 所以 y关于 x的线性回归方程： （）由（）知， ，解得 ， 所以自上市起经过 12 个周，该款旗舰机型市场占有率能超过 - 7 - 19【解析】（ 1）设 ?na 的公差为 d ， 2 6a? ， 5 18a? ， 1164 18adad? ?， ?1 分 1 2, 4ad? ? 2分 2 4 ( 1) 4 2na n n? ? ? ? ? ? 3分 （ 2）当 1n? 时， 11bT? ，由111 12Tb?，得1 23b? ? 4分 当 2n? 时， 11 2nnTb?，1111 2n
13、nTb?， 111= ( ) 2n n n nT T b b?，即11 ()2n n nb b b? ? 6分 11=3nnbb? ?nb 是以 23 为首项， 13 为公比的等比数列 ? 7分 （ 3）由（ 2）可知： 12 1 1( ) 2 ( )3 3 3nnnb ? ? ? ? ? 8分 212 2na a a n? ? ? ? 12 11 ( )3 nnb b b? ? ? ? ?由分组求和法，可得 2 12 1 ( )3 nnSn? ? ? 12分 20 【解析】 （） 列联表补充如下： 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女 生 合计 由题意得 ， ，没有 的把握认为喜欢数
14、学课程与否与性别有关 （）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是 ，则抽取男生 人，抽取女生人 - 8 - 记抽取的女生为 ，抽取的男生为 ，从中随机抽取 名学生共有 种情况： 其中至少有 名是女生的事件为：有 种情况记 “ 抽取的学生中至少有 名是女生 ” 为事件 ，则 21.（ 1）将 ? ?12?， 代入 2 2y px? ，得 ? ?22 2 1p? ? ? ， 2p?， 故所求的抛物线方程为 2 4yx? ，其准线方程为 1x? . （ 2）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 2y x t? ? ，由 2 42yxy x t? ? ? ?得 2 2 2 0y y t? ? ? .因为
15、直线 l 与抛物线 C有公共点，所以 480t?22-4 1（ -2t） =4 8 0t? ? ? ，解得 12t? .另一方面，由直线 OA 与直线 l 的距离等于 55 可得 5 ,155t t? ? ? ?.由于111 , , 1 , ,22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 21yx? ? . 22 解： ( )因为 22 1(a b 0 )xyab? ? ? ?满足 2 2 2 6, 3ca b c a? ? ?， 1 5 2223bc? ? ? .解得 2255, 3ab?，则椭圆方程为 221553xy?.（） (1）将 (x
16、 1)yk?代入 221553xy?中得 2 2 2 2(1 3 k ) x 6 3 5 0k x k? ? ? ? ? 4 2 2 23 6 4 ( 3 k 1 ) ( 3 k 5 ) 4 8 k 2 0 0k? ? ? ? ? ? ? ?且 212 2631kxx k? ? ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 12? ，所以 22613 1 2kk? ?，解得 33k? - 9 - （ 2）由（ 1）知， 221 2 1 26 3 5,3 1 3 1kkx x x x ? ? ? ?所以1 1 2 2 1 2 1 27 7 7 7( x , y ) ( x , y ) ( x ) ( x ) y3 3 3 3M A M B y? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 277( x ) ( x ) k ( x 1 ) ( x 1 )33? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 27 4 9( 1 k ) x ( k ) ( x x )39xk? ? ? ? ? ? ? 222 2 23 5 7 6 4 9( 1 ) ( k ) ( )3 1 3 3 1 9kkkk? ? ? ? ? ? ? 94949)13 6)(37(13
