1、2.12.12.22.22.32.3投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法换面法换面法旋转法旋转法第第2 2章章 投影变换投影变换学习内容及学习重点学习内容及学习重点q 学习内容：学习内容：投影变换的目的投影变换的目的 投影变换的方法投影变换的方法q 学习重点：学习重点：投影变换问题的提出投影变换问题的提出 投影变换的方法投影变换的方法2.12.1 投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法一、投影变换问题的提出一、投影变换问题的提出求点到直线的距离的三种情况求点到直线的距离的三种情况 以图（以图（a a）情况为最方便（因为在投影图上可以直接反映它们）情况为最方便（因为在投影图上可以直接反映它
2、们之间的距离）。而后面两种情况，就需要用到一些辅助性的作图。之间的距离）。而后面两种情况，就需要用到一些辅助性的作图。一、投影变换问题的提出一、投影变换问题的提出 1.1.如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？2.2.如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？解决的方法：解决的方法：改变已知形体对投影面改变已知形体对投影面体系的相对位置，以达到简化定位问题和体系的相对位置，以达到简化定位问题和度量问题的解答。度量问题的解答。二、投影变换的方法二、投影变换的方法 两种变换方法：两种变换方法：1.1.换面法换面法 保持几何元素的位置不保持几何元素的位置不动，而动，而
3、建立新的直角投影面建立新的直角投影面体系体系。2.2.旋转法旋转法 保持原直角投影面体系保持原直角投影面体系不动，不动，将空间几何元素绕将空间几何元素绕某个选定的轴旋转某个选定的轴旋转 。学习内容及学习重点学习内容及学习重点q 学习内容：学习内容：基本原理基本原理 基本作图问题基本作图问题q 学习重点：学习重点：换面法的六个基本作图问题换面法的六个基本作图问题2.2 换面法2.2.1 2.2.1 新投影面选择原则新投影面选择原则VHAB a bab1.1.新投影面必须对空间形体处于新投影面必须对空间形体处于最有利的解题位置。最有利的解题位置。2.2.新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某一保留
4、的原投影面，以构某一保留的原投影面，以构 成一个相互垂直的两投影面的新体系。成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1b1X1X平行于新的投影面平行于新的投影面垂直于新的投影面垂直于新的投影面2.2.2 2.2.2 换面法的基本原理换面法的基本原理 1.1.点的一次变换点的一次变换 VHXX1Aaxa aa1 ax1V1（1）换换V 面面 原原H 面保持不变，面保持不变，以新以新的的V1 面替换原面替换原V 面面。VHXV1HX1 aa a1axax1.旧投影体系旧投影体系 X VHA点的两个投影：点的两个投影：a,a 新投影体系新投影体系V1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a,a1 2
5、.2.2 2.2.2 换面法的基本原理换面法的基本原理 旧投影体系旧投影体系 X VHA A点的两个投影：点的两个投影：a,a 新投影体系新投影体系VH1X1 A A点的两个投影：点的两个投影：a ,a1（2 2）换）换H H 面面 原原V V 面保持不面保持不变，变，以新的以新的H H1 1 面替换原面替换原H H 面面。VHH1Aaxa aX1a1ax1a aXVHa1X1VH1ax1X点的换面规律：点的换面规律：1)1)点的新投影和保留投影的点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴连线垂直于新投影轴；2)2)点的新投影点的新投影到新投影轴的距离到新投影轴的距离等于被替换的投等于被替换的投
6、影影到旧投影轴的距离到旧投影轴的距离 。新投影体系的建立新投影体系的建立先把先把V面换成平面面换成平面V1，V1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:V1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面H2，H2 V1，得到新投影体系，得到新投影体系:X2 V1 H22.2.2 2.2.2 换面法的基本原理换面法的基本原理 2.2.点的两次变换点的两次变换 AaVH a axXX1V1a 1ax1H2X2ax2a2按次序更换按次序更换 求新投影的作图方法求新投影的作图方法ax2 aaXVHa2X1HV1X2V1H2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .
7、2.2.2 2.2.2 换面法的基本原理换面法的基本原理 三、换面法的六个基本作图问题三、换面法的六个基本作图问题1.1.第一个问题第一个问题-把一般位置直线变换成平行线把一般位置直线变换成平行线作图方法：作图方法：（1 1）作新轴）作新轴O O1X X1abab；（2 2）作出两端点）作出两端点A A和和B B的新投影，得的新投影，得a a1 1 b b1 1。例题例题1：求直线：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。X1HV1空间分析空间分析：作图：作图：a babXVHa1b1X1与与abab平行。平行。.用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，A
8、B/V1。换换H H面行吗？面行吗？2.2.3 2.2.3 换面法的六个基本作图问题换面法的六个基本作图问题2.2.第二个问题第二个问题-把平行线变换成垂直线把平行线变换成垂直线 应该选择哪一个投影面进行变换，要看给出的直线位置而应该选择哪一个投影面进行变换，要看给出的直线位置而定。给出的是定。给出的是正平线正平线，则应变换，则应变换H H面面；给出的是；给出的是水平线水平线，则应，则应变换变换V V面面。2.2.3 2.2.3 换面法的六个基本作图问题换面法的六个基本作图问题3.3.第三个问题第三个问题-把一般位置直线变换成垂直线把一般位置直线变换成垂直线 综合第一和第二个问题，就得出把一般
9、位置直线变成综合第一和第二个问题，就得出把一般位置直线变成垂直线的方法，必须经过垂直线的方法，必须经过两次两次变换。变换。例题例题2：将一般位置直线：将一般位置直线AB变成投影面垂直线。变成投影面垂直线。空间分析：空间分析：X X2 2轴的位置？轴的位置？与与a1b1垂直垂直1.1.一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；2.2.二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。a1 b1 a b abXVHX1HV1V1H2X2作图步骤：作图步骤：1）作）作O1X1ab；2）求出新投影）求出新投影a1、b1；3）作）作O2X2a1b1；4
10、）求出）求出a2、b2 （a2与与b2重合）。重合）。a2(b2 ).4.4.第四个问题第四个问题-把一般位置平面变换成垂直面把一般位置平面变换成垂直面 一般位置直线变换成投影面一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？能否只垂直线，需经几次变换？能否只进行一次变换？进行一次变换？如果把平面内的一条直线变换成新投影面的如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线垂直线，那么该平面则变换成，那么该平面则变换成新投影面的新投影面的垂直面垂直面。空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条投影面平行线取一条投影面平行线，经，经一次换面后变换成新投影面的垂直线一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平
11、面变成新投影面的垂直面。，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？思考：思考：若变换若变换H H面，需在面内取什面，需在面内取什么位置直线？么位置直线？X c b bc cdHBCD a baVA d V1 1X1 1 c c1 1b1 1 a1 1(d1 1)5.5.第五个问题第五个问题-把垂直面变换成平行面把垂直面变换成平行面 这一变换，同第二个问题一这一变换，同第二个问题一样，要变换哪一个投影面要看给样，要变换哪一个投影面要看给出的平面的位置而定。给出的是出的平面的位置而定。给出的是正垂面正垂面，则只能变换，则只能变换H H面
12、面；给出；给出的是的是铅垂面铅垂面，则只能变换，则只能变换V V面面。把已知的正垂面把已知的正垂面ABCABC，变，变换成为平行面的方法：换成为平行面的方法：为简单起见，我们取新面为简单起见，我们取新面H H1 1重合于重合于ABCABC，在图上即引新轴，在图上即引新轴O O1 1X X1 1重合于重合于a ab bc c(线段），再作线段），再作出新投影出新投影 a a1 1b b1 1c c1 1，它必然反映，它必然反映实形。实形。6 6 第六个问题第六个问题-把一般位置平面变换成平行面把一般位置平面变换成平行面一次换面一次换面：把一般：把一般位置平面变换成新位置平面变换成新投影面的垂直面
13、；投影面的垂直面；二次换面二次换面：再变换：再变换成新投影面的平行成新投影面的平行面。面。作作 图：图：空间分析：空间分析：X X2 2轴的位置？轴的位置？平面的实形平面的实形做正平线做正平线XVHOabccbaeeO1H1VX1a1b1c1e1O2X2V2H1c2a2b2e2X2轴与其轴与其积聚投影平行积聚投影平行小结小结12换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给形体处于，使它与所给形体处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件，即必须，即必须使使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某
14、一原投面保持垂直关系，同时又有利，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，其规律是：，其规律是：（1 1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2 2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。影轴的距离。3 熟练掌握换面法的六个基本问题熟练掌握换面法的六个基本问题4学习内容及学习重点学习内容及学习重点q 学习内容：学习内容：基本原理基本原理 基本作图问题基本
15、作图问题q 学习重点：学习重点：点、直线、面的旋转点、直线、面的旋转 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题2.3 旋转法2.3.1 2.3.1 基本原理基本原理 当用旋转法改变已知形体和投影面的相对位置当用旋转法改变已知形体和投影面的相对位置时，投影面体系是不变的，而是把已知形体绕一固时，投影面体系是不变的，而是把已知形体绕一固定的轴线旋转。作为旋转轴的直线，通常是选择定的轴线旋转。作为旋转轴的直线，通常是选择垂垂直线直线或或平行线平行线。1.1.点绕铅垂线旋转点绕铅垂线旋转 设空间点绕一铅垂线旋转，则它运动轨迹是设空间点绕一铅垂线旋转，则它运动轨迹是一个圆周，此圆周为一水平圆，在
16、面的投影为一一个圆周，此圆周为一水平圆，在面的投影为一圆，在面上则成为一段平行于轴的直线。圆，在面上则成为一段平行于轴的直线。如右下图：给出点及铅垂线的两面投影，求作如右下图：给出点及铅垂线的两面投影，求作点绕此铅垂线向反时针方向（对面看）旋转点绕此铅垂线向反时针方向（对面看）旋转角后的新投角后的新投影。影。（1 1）以）以o o为圆心，以为圆心，以oaoa为半径，向为半径，向逆时针逆时针方向方向旋转旋转角，得角，得A A点的新点的新水平投影水平投影a a1 1。（2 2）过）过a a1 1向上引铅垂联向上引铅垂联系线，与过系线，与过a a 引出的平引出的平行于行于OXOX轴的直线相交，轴的直
17、线相交，得得A A点的新正面投影点的新正面投影a a 1 1。作法如下：作法如下：2.3.1 2.3.1 基本原理基本原理2.2.点绕正垂线旋转点绕正垂线旋转 设空间点绕一正垂线旋转，则它运动轨迹是一个圆周，此圆设空间点绕一正垂线旋转，则它运动轨迹是一个圆周，此圆周为一正平圆，在面的投影为一圆，在面上则成为一段平行于周为一正平圆，在面的投影为一圆，在面上则成为一段平行于轴的直线。轴的直线。如右下图：给出点及正垂线的两面投影，求作点绕此正垂如右下图：给出点及正垂线的两面投影，求作点绕此正垂线向线向顺时针顺时针方向（对面看）旋转方向（对面看）旋转角后的新投影。角后的新投影。作法如下：作法如下：（1
18、 1）以）以o o为圆心，以为圆心，以o o a a 为半为半径，向顺时针方向旋转径，向顺时针方向旋转角，角，得得A A点的新水平投影点的新水平投影a a 1 1。（2 2）过）过a a1 1 向下引铅垂联系线，向下引铅垂联系线，与过与过a a引出的平行于引出的平行于OXOX轴的直轴的直线相交，得线相交，得A A点的新正面投影点的新正面投影a a1 1。2.3.1 2.3.1 基本原理基本原理.直线和平面的旋转直线和平面的旋转 旋转直线可以简化旋转直线可以简化为旋转此直线上的两个为旋转此直线上的两个点，旋转平面可以简化点，旋转平面可以简化为旋转此平面上不属于为旋转此平面上不属于一条直线上的三个
19、点；一条直线上的三个点；但是必须遵守绕但是必须遵守绕同一条同一条轴、按同一方向、旋转轴、按同一方向、旋转同样大小的一个角度同样大小的一个角度（简言之（简言之同轴、同向、同轴、同向、同角同角）的原则。）的原则。只有这样才能使旋转的这些点，不改变它们本身之间的只有这样才能使旋转的这些点，不改变它们本身之间的相对位置。相对位置。直线绕铅垂线的旋转直线绕铅垂线的旋转平面绕正垂线的旋转平面绕正垂线的旋转2.3.1 2.3.1 基本原理基本原理2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题1.1.第一个问题第一个问题-把一般位置直线旋转成平行线把一般位置直线旋转成平行线把一般位置
20、直线把一般位置直线ABAB旋转成旋转成正平线：正平线：把一般位置直线旋转成正平线的分析把一般位置直线旋转成正平线的分析 把把ABAB旋转到旋转到ABVABV面面时，新水平投影时，新水平投影a a1 1b b1 1OXOX轴，此时旋转角为轴，此时旋转角为；新；新正面投影正面投影a a 1 1b b 1 1必反映必反映ABAB实实长，长，a a 1 1b b 1 1 与与OXOX轴的夹角轴的夹角必等于必等于ABAB与与H H面的倾角面的倾角。1.1.第一个问题第一个问题-把一般位置直线旋转成平行线把一般位置直线旋转成平行线（1 1）把一般位置直线）把一般位置直线ABAB旋旋转成正平线：转成正平线：
21、把把ABAB旋转成正平线旋转成正平线（2 2）把一般位置直线）把一般位置直线ABAB旋旋转成水平线：转成水平线：把把ABAB旋转成水平线旋转成水平线结论：为求结论：为求ABAB对对H H面的倾角面的倾角，应把，应把ABAB以铅垂线为轴旋转成正平线；以铅垂线为轴旋转成正平线；为求为求ABAB对对V V面的倾角面的倾角，应把，应把ABAB以正垂线为轴旋转成水平线；以正垂线为轴旋转成水平线；2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题2.2.第二个问题第二个问题-把平行线旋转成垂直线把平行线旋转成垂直线 选择旋转轴时应根据给出的直线的位置而定。选择旋转轴时应根据给出的直线
22、的位置而定。给出的给出的是正平线，应选择正垂线为轴，旋转后成为铅垂线；是正平线，应选择正垂线为轴，旋转后成为铅垂线；给出给出的是水平线，则应选择铅垂线为轴，旋转后成为正垂线；的是水平线，则应选择铅垂线为轴，旋转后成为正垂线；把正平线把正平线ABAB旋转成铅垂线旋转成铅垂线 在空间把正平在空间把正平线线ABAB旋转成铅垂线旋转成铅垂线A A1 1B B1 1（A A1 1重合于重合于A A）的情况。只有以正的情况。只有以正垂线为旋转轴，才垂线为旋转轴，才能把它变成铅垂线。能把它变成铅垂线。作法如右图作法如右图。2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题3.3.第三个
23、问题第三个问题-把一般位置直线旋转成垂直线把一般位置直线旋转成垂直线 如图给出一般位如图给出一般位置直线，要使它置直线，要使它变成垂直线，必须经变成垂直线，必须经过两次旋转。第一次过两次旋转。第一次旋转是取过点的铅旋转是取过点的铅垂线为轴，把旋垂线为轴，把旋转成正平线；第二次转成正平线；第二次旋转是取过旋转是取过1 1点的正点的正垂线为轴，把旋垂线为轴，把旋转成铅垂线；转成铅垂线；把一般位置直线把一般位置直线ABAB旋转成垂直线旋转成垂直线 综合第一和第二个问题，就得出把一般位置直线旋转综合第一和第二个问题，就得出把一般位置直线旋转成垂直线的作法。成垂直线的作法。2.3.2 2.3.2 旋转法
24、的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题4.4.第四个问题第四个问题-把一般位置平面旋转成垂直面把一般位置平面旋转成垂直面把一般位置平面旋转成正垂面把一般位置平面旋转成正垂面 把一般位置平面旋转成把一般位置平面旋转成正正垂面垂面，可归结为把平面内的一，可归结为把平面内的一条条水平线水平线旋转成为旋转成为正垂线正垂线。这。这种作图方法以表明在右图中。种作图方法以表明在右图中。同理，把一般位置平面旋同理，把一般位置平面旋转成转成铅垂面铅垂面，可归结为把平面，可归结为把平面内的一条内的一条正平线正平线旋转成为旋转成为铅垂铅垂线线。2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图
25、问题5.5.第五个问题第五个问题-把垂直面旋转成平行面把垂直面旋转成平行面把正垂面旋转成水平面把正垂面旋转成水平面 把把正垂面正垂面旋转成旋转成水平面水平面，只要把此平面绕一只要把此平面绕一正垂线正垂线为轴为轴旋转，直到平行旋转，直到平行H H面。这种作面。这种作图方法以表明在右图中。图方法以表明在右图中。同理，欲将同理，欲将铅垂面铅垂面旋转成旋转成正平面正平面，只要把此平面绕一，只要把此平面绕一铅铅垂线垂线为轴旋转，直到平行为轴旋转，直到平行V V面。面。2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作图问题旋转法的六个基本作图问题6.6.第六个问题第六个问题-把一般位置平面旋转成平行面把一般位置
26、平面旋转成平行面把一般位置平面旋转成水平面把一般位置平面旋转成水平面 综合第四和第五个问综合第四和第五个问题，就可得出把一般位置题，就可得出把一般位置平面旋转成平行面。平面旋转成平行面。给出一般位置平面，要给出一般位置平面，要把它变成水平面，必须经过把它变成水平面，必须经过两次旋转。第两次旋转。第一一次旋转是把次旋转是把平面以一平面以一铅垂线铅垂线为轴旋转成为轴旋转成正垂面正垂面，此时旋转角为，此时旋转角为1。第第二二次旋转是把平面以一次旋转是把平面以一正正垂线垂线为轴旋转成为轴旋转成水平面水平面，此，此时旋转角为时旋转角为2。作法如右图。作法如右图。2.3.2 2.3.2 旋转法的六个基本作
27、图问题旋转法的六个基本作图问题小结小结12点的旋转点的旋转 （2）当点绕）当点绕正垂线正垂线旋转时，点的旋转时，点的正面投影正面投影是作圆周运是作圆周运动，圆心就是此正垂线的正面投影；而动，圆心就是此正垂线的正面投影；而水平投影水平投影则作直线则作直线运动，此直线平行轴。运动，此直线平行轴。（1）当点绕）当点绕铅垂线铅垂线旋转时，点的旋转时，点的水平投影水平投影是作圆周运是作圆周运动，圆心就是此铅垂线的水平投影；而动，圆心就是此铅垂线的水平投影；而正面投影正面投影则作直线则作直线运动，此直线平行轴。运动，此直线平行轴。直线和平面的旋转直线和平面的旋转 旋转直线可以简化为旋转此直线上的两个点，旋转平面旋转直线可以简化为旋转此直线上的两个点，旋转平面可以简化为旋转此平面上不属于一条直线上的三个点；但是必可以简化为旋转此平面上不属于一条直线上的三个点；但是必须遵守绕须遵守绕同一条轴、按同一方向、旋转同样大小的一个角度同一条轴、按同一方向、旋转同样大小的一个角度（简言之（简言之同轴、同向、同角同轴、同向、同角）的原则。）的原则。
