1、一、连续函数的局部性质0 xf 在在点点若若函函数数所谓连续函数局部性质就是指:连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某 号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保0|()|()|1.f xf x0|,xx 当当时时0|()()|1,f xf x故|f(x)|的一个明确的上界.0fx因为在连续，因为在连续，存在存在所以对所以对,1 证,0 1,取取这这个个特特定定的的值值注意:我们在证明有界性时,0,“对对于于任任意意的的”这这样样可可求求得得而不是用术语0().fU x在在某某邻邻域域上上有有界界连连续续，在在点点若若函函数数0 xf定理4.2
2、（局部有界性）则),0)()(rxfrxf或或00(,),xxx当时 有当时 有,0 存在存在000|()()|(),f xf xf xr 000()()0),rf xf xrr 或或的的正正数数存存在在0,fx若若函函数数在在点点连连续续 且且定理4.3（局部保号性）,)0)(0)(00 xfxf或或则对任意一个满足 000,fxfxr 因因为为在在连连续续 所所以以对对正正数数证000,(,),xxx 当当时时(2)()(),f xg x(1)()(),f xg x.2)(0 xfr 注 在具体应用保号性时,我们经常取.0)(rxf 于是证得(),()f xg x若若函函数数定理4.4（连
3、续函数的四则运算）则则函函数数连连续续均均在在点点,0 x0(4)()/(),()0f xg xg x(3)()(),f xg x 0.x在在点点也也是是连连续续的的此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得01()nnP xaa xa x也是连续函数.我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上 y=cy=x到,具体过程请读者自行给出.的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数 0101()()nnmmaa xa xP xQ xbb xb x 同理,有理函数(分母不为零)同样是连续函数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下00,().uf x 连连续续0().g f xx则复合函数在点
4、连续则复合函数在点连续0()g uu在在点点0()f xx若若函函数数在在点点连连续续，定理4.5是不变的.,01 存在存在01|,uu 当当时时 有有0|()()|,g ug u 证,0 因此对于任意的因此对于任意的0(),g uu由由于于在在点点连连续续01(),0,f xx 又又因因为为在在点点连连续续故故对对上上述述00,|,xx 存存在在当当时时有有001|()()|,f xf xuu 00|()()|()()|,g f xg f xg ug u 于是0().g f xx这这就就证证明明了了在在点点连连续续 对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定000(1)lim(),lim(
5、),uuxxg uAf xu由由不不一一定定有有请大家仔细观察定理4.5 的证明,看看此时究竟哪0lim().xxg f xA理的认识.里通不过.).(lim()()(lim000 xfgugxfgxxxx )*(应用定理4.5,就得到所0().f xx使使得得在在点点连连续续(*)式相应的结论仍旧是成立的.,)(lim,)()2(000uxfuugxx 连续连续在在若若则有00lim()xxf xu 若将若将改为 需要的结论.,)(lim0uxfx 0)(limuxfx,)(lim0uxfx 或或事实上,只要补充定义（或者重新定义）00()f xu 上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?
6、请读者作.0)1(limsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx 求求例122sin(1)()sin,(1)xg uu ux可可视视为为的的复复解合，所以出进一步的讨论.例2.sin2lim0 xxx求求解()1,g uuu因因为为在在连连续续 所所以以.112)sin2(limsin2lim10 xxxxxx例3.)11sin(limxxx 求求解1lim(1)e,sine,xxuux因因为为在在点点连连续续所以.esin)11sin(lim xxx 均有使得对一切存在,0DxDx),)()()()(00 xfxfxfxf ,.a b 上上的的整整体体性性质质
7、证证明明将将在在第第七七章章里里给给出出.,上连续上连续在闭区间在闭区间设设baf在本节中将研究 f 在二、闭区间上连续函数的性质定义1().f xD设设为为定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数若()(),f xD则则称称在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 称称为为最最大大 小小 值值0()()().f xf xD称称为为在在 上上的的最最大大 小小 值值点,的最大值不存在,最小值为零.注意:xxy 既无最大值,又无最小值.22yx sin(,)在在上上定理4.6（最大、最小值定理）()f x若若函函数数在在闭闭区区,a b间上连续，间上连续，(),.f xa b则则在在上上有
8、有最最大大、最最小小值值xysgn 例如,符号函数的最大值为1,最小值为-1;xysin 正弦函数正弦函数的最大值为1,最小值为-1;函数(其上确界为1,下确界为-1)这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的推论)(,)(xfbaxf则则上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数.,上有界上有界在在ba(0,1).在在上上无无界界()f x函函数数有有最最大大、最最小小这是因为由定理4.6 可知,值,从而有上界与下界,于是 f(x)在a,b 上是有1(),(0,1)f xxx函函数数虽然也是连续函数,但是内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.界的.这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理4
9、.7（介值性定理）,)(baxf在闭区间在闭区间设函数设函数()()()(),f af bf bf a间间的的任任一一数数或或.)(0 xf.)()(bfaf 且且()()f af b 若若 是是介介于于与与之之上连续,使使得得,),(0bax 则(至少)存在一点质有着根本的区别.从几何上看,当连续曲线 从水平直线()yf x y 的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点.()yf xyxo)(af)(bf ab0 x 推论（根的存在性定理）,)(上连续上连续在在若若baxf0)(0 xf应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要则至少存在一点,0)()(bfaf,0 x使下面用确界定理来
10、证明上述推论,大家要注意学习证明了推论,也就完成了定理4.7 证明.确界定理的使用方法.(E为图中x 轴上的红.0)(,|xfbaxxE 证 不妨设 ()0,()0,f af b并设xyOab零点.证明如下：的最大值就是函数的线部分)从几何上看,E因为,aE 所以,E 又 E 是有界的,故由确我们来否定下面两种情形:1.00()0.f xaxb若若，则则有有由 f(x)在点 是0 x连续的,根据保号性,存在00(),xb使当使当.0)(xf.0bxa 界定理,Exsup0 存在，显然),00 xxx时，仍有时，仍有00()0,22f xxE特特别别是是使使得得这这就就与与0sup.xE相相矛矛
11、盾盾2.00()0.f xaxb若若，则则有有同样根据保号性,0101,.xxxxE 1()0,.f x从从而而也也导导致致矛矛盾盾同时由 x0 sup E,对上述,存在 1,x 使使得得0000(),(,xaxxx当当时时，()0.f x 排除了上面两种情形后,就推得.0)(0 xf由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下.,),(Mmbaf下面再举一些应用介值性定理的例题.设 在 上连续,那么它的最大值 M 与最,ba()f x结论:小值 m 存在,并且0.nxr 使得使得证 先证存在性：,lim.nxnx 因因为为 为为正正整整数数 所所以以由极限的保号.1rxn()nf xx 又因为
12、函数在又因为函数在1,x性知,存在性知,存在使01(0,),xx.0rxn 使得00nxxr这这个个我我们们记记为为(读作 r 的 n 次算术根).例30,rn 若若为为正正整整数数，则存在唯一的正数,0 x,)()0(1xfrf 且且连续，10,x 上上所以存在所以存在)(1221 nnnnnnxyxxyyxyxy,0()0,)nf xx 在在上上我们只需证明严格递增,0,x yxy使使有有即可.事实上，).()(yfxf 即000,().xa bf xx存存在在使使例4 .,),(,babafbaf 上连续，上连续，在在设设求证:再证唯一性:,)()(xxfxF .0)()()()(bbf
13、aafbFaF则则(),().af af bb现现设设作辅助函数作辅助函数证.)(,)(bbfafa 由条件知由条件知.则结论成立则结论成立()(),af abf b若若或或(),f xa b因因在在上上连连续续(),.F xa b故故在在上上也也连连续续.)(00 xxf),(0bax 由由介介值值性性定定理理，存存在在0()0F x 使使，即任意的实数 r,f(x)=r 至多有有限个解.证明：证00(,),().xa bf xx只只要要证证在在点点连连续续 对对任任意意0,由由条条件件 方方程程 )()(0 xfxf )()(0 xfxf与的解至多为有限个.例5 设 在区间(,)a b内满
14、足介值性,并且对于()f x 在 内连续.),(ba()f x1.12,nxxx设设这这有有限限个个解解为为记记10200min|,|,|,nxxxxxx 0|,xx 当当时时0|()()|.f xf x 由介值性条件不难证明：.0 显然显然xyO )(0 xf )(0 xf0 x1 nxnx)()(0 xf 0 x 0 x 0|,xx 当当时时0|()()|,f xf x 0().f xx在在点点连连续续即2.如果解为空集,任意取,0 0(;)(,),U xa b 证 不妨设 f(x)严格增,那么)(,)(bfaf就是反上连续,且与 f(x)有相同的单调性.)(1xf 定理4.8 若函数 f
15、(x)在a b,上严格单调且连续,1()(),()yfxf af b 在在f bf a(),()或或则反函数三、反函数的连续性函数的定义域.)(1yfx 1()(),()xfyf af b 在在上上严严格格增增1.(证明见定理1.2).2.1()(),().xfyf af b 在在上上连连续续(如图所示).0bxa 则则),()(0bfyaf ,)(010yfx 令令,0y对对于于任任意意Oxyab()f a()f b0 x0y每一对应1y2y0 x 0 x 任给取m in2001,y y y y 对应),()()(21111yfyfyf .)()(0101 yfyyf即即时，时，当当)()(
16、2001yyyyy 请读者类似地证明该函数在端点的连续性.1()(),()xfyf af b 在在这就说明了上连续.,)(,)(0201 xfyxfy,0,min1002 yyyy 令令设设,00bxxa 对于任意的正数且严格增.关于其它的反三角函数,cotarc,arctan,arccosxyxyxy 均可得到在定义域内连续的结论.例6()sin22f xx由由于于在在，上上连连续续且且严严格格增增，因此它的反函数arcsin 1,1yx 在在上也是连续严格增.例7()0)nyxn 由由于于为为正正整整数数 在在，上上连续且严在上亦为连续且nxy1 格增,那么其反函数),0在本节中，我们将介
17、绍一致连续性这个及其重要12|()()|,f xf x 只要就有12|,xx 四、一致连续性任意的正数0 0 ,使得对任意,存在1,2,x xI 定义2.设 为定义在区间I上的函数,如果对于()f x则称 在区间I上一致连续.()f x的概念.首先来看两个例题.例8 ()1,).f xx 证明在上一致连续证明在上一致连续证有有因为对任意的因为对任意的,),1,21 xx|,|12211221xxxxxxxx 0,所以对任意的正数只要取当所以对任意的正数只要取当12|xx 时时，1221|,xxxx 1).x 所所以以在在，上上一一致致连连续续证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f(x)在区例
18、9 1(0,1).yx 证明在内不一致连续证明在内不一致连续1212,|,xxIxx 虽虽然然但仍有.|)()(|021 xfxf1,(0,1)yxx现在来验证函数现在来验证函数确实不是一致连续的.00,()存在对任意正数无论多么小，存在对任意正数无论多么小，总有间I上不一致连续的定义：),21(1 ，对对任任意意正正数数取取1212,|,2xxxx 令令虽虽.111112 xx但但1(0,1).yx 这这就就说说明明在在内内不不一一致致连连续续1x2x1xyO试问,函数 在区间I上一致连续与 在区()f x()f x间I上连续的区别究竟在哪里？仅与 有关.01(0,1),yxx比比如如在在连
19、连续续 对于任意正数,所得1)yx 已已证证得得在在，上上一一致致连连续续.这这是是由由于于答:(1)首先,对于,0 如果 在区间 I上连续，()f x0 x 有有关关,那么,不仅与 有关,而且还与所讨论的点).,(0 x 即即而 在区间I上一致连续.那么()f x,2,2min020 xx 0 x,它它与与都都有有在例8中显然关.0,.x 与无关与无关),(0 x 有有时时当当,|0 xx.|)()(|0 xfxf 过程中有一个正下界(当然00(,)xx 若若在在的的变变化化(2)函数 f(x)在每一点 连续,Ix 0,0 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间I上就一致连续了.这
20、个下界只与 有关,而与x0无关),则此时 f(x)在上连续,则,baf 在在,ba上一致连续.这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数,连例10 设区间1的右端点为1c,区间2的左端定理4.9（一致连续性定理）若函数 f 在闭区间上一致连续,)(xf则则在区间21 上也一致连续.,2cc 并且并且证明：若)(xf分别在21,点也为续和一致连续是等价的.连续，所以分别存在 使得 ,0,021 当121121,|,x xxx 时时12|()()|,f xf x 当122122,|x xxx 时时,12|()()|.f xf x,0,min21 取取则对于任意的,2121xx 证 对任意的,0 因为)
21、(xf在21,上一致121221.,.情情形形或或x xx x此时自然有12|()()|.f xf x 有以下两种情形：12|,xx 当当时时11222.,.xx情形情形注意到1212,|,|,cxcxc 1212|()()|()()|()()|f xf xf xf cf xf c可得.2 综上，证得)(xf在区间21 上一致连续.注 例10的条件”“21c 是重要的.比如 32,021,1)(xxxf在区间2,1与区间3,2(上分别一致连续,但在区间 1,3 上不连续,当然也不一致连续.例11 设),)(axf在在上连续,并且.)(limAxfx 证明),)(axf在在上一致连续.证 因为Axfx)(lim,所以对任意的正数,0 存在有有时，时，当当XxxaX 21,21|()()|.f xf x 又1,)(Xaxf在在上连续,故由定理4.9可知 f(x),1a X 在在上一致连续.因此对上述，存在正数,)1(使对任意,1,21 Xaxx只要|21xx,必有12|()()|.f xf x 现对任何1212,),|,x xaxx 讨论如下.121.,1,x xa X情形自然有情形自然有12|()()|;f xf x 情形2.注意到,1 所以若情形1 不成立,必然有,21XxXx .),)(,上上一一致致连连续续在在证证得得综综上上 axf于是12|()()|.f xf x
