1、6.2.1 排排列列一一、教教学学目目标标1.理解排列、排列数的概念.2.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.3.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力.二二、教教学学重重难难点点1、教教学学重重点点排列的概念，用列举法、树状图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式.2、教教学学难难点点对排列要完成的“一件事”的理解，对“一定顺序”的理解.三三、教教学学过过程程1、新新课课导导入入在上节课的学习中我们发现，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析
2、两个具体的问题.2、探探索索新新知知问题 1 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？此时，要完成的一件事是“选出 2 名同学参加活动，1 名参加上午的活动，另 1 名参下午的活动”，可以分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种选法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的 2 人中去选，有 2 种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为326.这 6 种不同的选法如图所示.如果把上面问题中被取出的对象
3、叫做元素，那么问题可叙述为：从 3 个不同的元素a b c，中任意取出 2 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab ac ba bc ca cb，不同的排列方法种数为326.问题 2 从 1，2，3，4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，从 1，2，3，4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4种方法；第 2 步
4、，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法.根据分步乘法计数原理，从 1，2，3，4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为43224.因而共可得到 24 个不同的三位数，如图所示.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，4
5、21，423，431，432.同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素a b c d，中任意取出 3 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc，cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb，.不同的排列方法种数为43224.上述问题 1，2 的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？问题 1 和问题 2 都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.一般地，从n个不同元素中取出()m
6、 mn个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题 1 中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列，“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题 2 中，123 与 134 的元素不完全相同，它们是不同的排列；123 与 132 虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.例 1判断下列“事情”是否为排列：（1）5 人站成一排照相；（2）从全班 40 名同学中挑选 4 人；（3）将 3
7、 本不同的书分发给 3 个人.（4）从某 10 人中选取 4 人参加 4100m 接力赛；前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.我们把从n个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.例如，前面问题 1 是求从 3 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，表示为23A.已经算得233 2A6.问题 2 是求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，表示为34A.已经算得344 3 24A2.思考:你能否得出2nA的意义和2nA的值？4、小结作业、小结作业小结：本节课学习了排列、排列数的概念.作业：完成本节课课后
8、习题.四、板书设计四、板书设计6.2.1 排列1.排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出()m mn个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.3.排列数的概念：我们把从n个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.4.全排列的概念：特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列6.2.16.2.16.2.16.2.1排列排列排列排列 若完成一件事情可以有若完成一件事情可以有n n类类
9、方案，在方案，在第一类第一类方案中有方案中有m m1 1种不同的方法，在种不同的方法，在第二类第二类中有中有m m2 2种不同的方法种不同的方法,在在第第n n类类方案中有方案中有m mn n种不同的方法，那么完成这件事情有种不同的方法，那么完成这件事情有:N=mN=m1 1+m+m2 2+m+m3 3+m+m4 4+m+mn n种不同的方法种不同的方法若完成一件事情需要若完成一件事情需要n n个个步骤步骤，在，在第一步第一步中有中有m m1 1种不同种不同的方法，在的方法，在第二步第二步中有中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在在第第n n步步方法中方法中有有m mn n种不同的方法
10、，那么完成这件事情有：种不同的方法，那么完成这件事情有：N=mN=m1 1mm2 2mm3 3mm4 4 m mn n种不同的方法种不同的方法分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理课前回顾课前回顾课前回顾课前回顾创境设问创境设问创境设问创境设问探究：探究：在在6.16.1节的例节的例8 8中我们看到，用分步乘法计数原理中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐。解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐。能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？能否对这一类计数问题给
11、出一种简捷的方法呢？问问题题1 1 1 1 从从甲甲、乙乙、丙丙3 3名名同同学学中中选选出出2 2名名参参加加某某天天的的一一项项活活动动，其其中中1 1名名同同学学参参加加上上午午的的活活动动，另另1 1名名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑种种 种种种种甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙分析分析：树形图：树形图：相应的排列：相应的排列：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙种种 种种 种种种种 问题问题问题问题2 2 2 2 从、这四个数字中，取出从、这四个数字中，取出3 3个数
12、个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？分析：分析：树形图：树形图：互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑答：答：ab,ba,ac,ca,bc,cb ab,ba,ac,ca,bc,cb 共有共有6 6个排列，这里面个排列，这里面的每一种排序，比如：的每一种排序，比如：abab叫做一个排列，叫做一个排列，baba是是另一个排列。另外，排列的个数为另一个排列。另外，排列的个数为6 6，即排列数，即排列数为为6 6，我们注意到这，我们注意到这6 6个排列是从个排列是从3 3个不同元素中个不同元素中任取任取2 2个不同元素进行排列得到的，所以我们把个不同元
13、素进行排列得到的，所以我们把这个排列的个数记作：这个排列的个数记作：从从3 3个不同的元素个不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2个，按照一定的个，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。问题问题1 1改述为：改述为：互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑【排列排列】一般地说，从一般地说，从 n n 个个不同不同元素中，任取元素中，任取 m(mn)m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n n 个不同个不同元素中取出元素中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列.排列的特征：排列的特征：
14、（1 1）排列包括两个方面：）排列包括两个方面：（2 2）两个排列相同的充要条件）两个排列相同的充要条件：元素相同，且排列顺序相同元素相同，且排列顺序相同取出元素取出元素按一定顺序排列按一定顺序排列互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑当当m=nm=n时，叫做时，叫做n n个元素的一个个元素的一个全排列全排列.例例1 1 判断下列判断下列“事情事情”是否为排列：是否为排列：是是是是是是否否（2 2）从全班）从全班4040名同学中挑选名同学中挑选4 4人；人；（4 4）从某）从某1010人中选取人中选取4 4人参加人参加4100m4100m接力赛；接力赛；（3 3）将）将3 3本不同的书分发给本不同的
15、书分发给3 3个人个人.（1 1）5 5人站成一排照相；人站成一排照相；内化迁移内化迁移内化迁移内化迁移【排列数】【排列数】从从 n n 个个不同不同元素中，任取元素中，任取 m(mn)m(mn)个元素的所个元素的所有不同有不同排列的个数排列的个数，叫做从，叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的个元素的排列数排列数.排列与排列数的区别：排列与排列数的区别：排排 列：是有序的元素列列：是有序的元素列，不是数不是数 排列数：排列数：排列的个数，排列的个数，是数是数 mn互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑记作：记作：问题问题2 2中中:问题问题1 1中中:思考思考:你能否得出你能否得出 的意义和的意义和 的值？的值？排列数为排列数为 3 32=6 2=6 种种排列数为排列数为 4 43 32=24 2=24 种种互动解疑互动解疑互动解疑互动解疑2n2n感谢聆听感谢聆听感谢聆听感谢聆听
