1、6.3.1 二项式定理(人教 A 版普通高中教科书数学选择性必修第三册第六章)一、教学内容一、教学内容二项式定理.二、教学目标二、教学目标1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.三、教学重点与难点三、教学重点与难点重点：重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：难点：利用计数原理分析二
2、项式的展开式.四、教学过程设计四、教学过程设计1、问题探究、问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的(+)展开式的问题。问题 1：我们知道(+)2=a2+2ab+b2,(+)3=3+32+32+3（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出(+)4的展开式吗？（3）进一步地，你能写出(+)的展开式吗？我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，(+)2=(+)(+)=(+)+(+)=+=2+2b+2可以看到，(+)2是 2 个(+)相乘，只要从一个(+)中选一项（选或），再从另一个(+)中选一项（选 或
3、），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(+)2的展开式共有12 12=22项，而且每一项都是2（=0,1,2）的形式.我们来分析一下形如2的同类项的个数.当=0 时，2=2，这是由 2 个(+)中都不选得到的，因此，2出现的次数相当于从 2 个(+)中取 0 个（即都取）的组合数02，即2只有 1 个；当=1 时，2=，这是由 1 个(+)中选，另一个(+)中选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从 2 个(+)中取 1 个 的组合数12，即只有 2 个；当=2 时，2=2，这是由 2 个(+)中选 得到的，因此，2出现的次数相当于从 2
4、个(+)中取 2个 的组合数22，即2只有 1 个；由上述分析可以得到(+)2=022+12+222问题 2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出(+)3，(+)4的展开式吗？类似地，用同样的方法可知(a+b)3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b41二项式定理(ab)n_(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_(k0,1,2，n)叫做二项式系数C0 nanC1 nan1bC2 nan2
5、b2Ck nankbkCn nbnn1；Ck n2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作 Tk1_.k1；Ck nankbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有 n+1 项,而不是 n 项.(2)二项式系数都是kn(k=0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于 2n,即0n+1n+2n+nn=2n.(4)在排列方式上,按照字母 a 的降幂排列,从第一项起,次数由 n 次逐项减少 1 次直到 0 次,同时字母 b 按升幂排列,次数由 0 次逐项增加 1 次直到 n 次.2、典例解析、典例解析例 1.求 +
6、16的展开式.解：根据二项式定理+16=(+1)6=066+1651+2642+3633+4624+5615+666=6+64+152+20+152+64+61.(a+b)n的二项展开式有 n+1 项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于 n.(2)字母 a 按降幂排列,从第一项起,次数由 n 逐项减 1 直到 0;字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到 n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.例 2.（1）求(1+2)7的展开式的第 4 项的系数；（2）求 216的展开式中2的系数.解
7、：(1+2x)7的展开式的第 4 项是T3+1=C37 173 (2)3 =C37 23 3=35 8 3=280 3因此,展开式第 4 项的系数是 280.（2）216 的展开式的通项是Ck6(212)6k(12)k=Ck626k6k2k2=Ck626k3k根据题意，得 3 k=2，k=1，因此，2的系数是（1）25 C16=192.二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数C(k0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第 k+1 项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如
8、,在(1+2x)7的展开式中,第 4 项是 T4=C3717-3(2x)3,其二项式系数是C37=35,而第 4 项的系数是C3723=280.五、课堂小结五、课堂小结1.二项式定理；2.运用通项公式求指定项或指定项的系数.六、课后作业六、课后作业1、课本 P31 练习 1,2,3，4,5（做在课本上）2、课本 P34 习题 6.3 4、5 6.3.16.3.1 二项式定理二项式定理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理;2.掌握二项式定理及其二项式展开式的通项公式;3.能解决与二项式定理有关的简单问题.4.核心素养:数学抽象、数学运算。一、回顾旧知组合数公式:二、探究新知1.我们知道(1).
9、观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律?？思考:(a+b)n=?2.二项展开式定理每个都不取b的情况有1种,即Cn0,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2 种,则an-2b2前的系数为Cn2.恰有k个取b的情况有Cnk 种,则an-kbk前的系数为Cnk.恰有n个取b的情况有Cnn 种,则bn前的系数为Cnn 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式2.二项展开式 .二项展开式共有二项展开式共有n+1n+1项项.各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止如 例1.解:例1.1.
10、(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.例2.(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;第4项的二项式系数，例2.(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;解:(1).(1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3(2x)3 =35 23 x3 =280 x3所以第4项的系数是280.例2.(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;解:注意:1).注意对二项式定理的灵活应用.2).注意区别二项式系数与项的系数的概念.二项式系数：Cnr 项的系数：二项式系数与数字系数的积 3).求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开.1.二项式定理：2.通项：3.二项式系数：第(k+1)项4.特殊地：注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以x=1得三.课堂小结：1、课本P31 练习1，2，3，4，5（做在课本上）2、课本P34 习题6.3 4，5四.课后作业：
