1、2.4.1 圆的标准方程(人教 A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章第四节)一、教学目标一、教学目标1根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，掌握待定系数法、几何性质法求出圆的标准方程；2会判断任意点与圆的位置关系；3体会形与数的转化，培养学生的直观想象和数学运算能力二、教学重难点二、教学重难点1掌握圆的标准方程的建立与应用；2根据不同的已知条件，求圆的标准方程三、教学过程三、教学过程1提出问题，形象概括提出问题，形象概括问题问题 1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？【预设的答案】平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，称
2、为圆；其中，定点称为圆心，定长称为半径设圆心为点A，半径为r，则圆A就是以下点的集合：M MAr【设计意图】开门见山，引出课题“圆”这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程，并引导学生用符号化的集合语言表示圆2探究问题，生成新知探究问题，生成新知问题问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？【预设的答案】设圆心A的坐标为,a b，半径为r，,M x y为圆A上任意一点，则根据两点间的距离公式有22xaybr，两边平方得到222xaybr(1)显然，若点
3、,M x y在圆A上，则点M的坐标就满足方程(1)；反过来，若点M的坐标满足方程(1)，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在圆A上如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆问题问题 3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？【预设的答案】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小我们把方程(1)称为圆心为,A a b，半径为r 的圆的标准方程【设计意图】问题 2 和问题 3 是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段第二阶段是基于逻辑的抽
4、象，通过问题 2 和问题 3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程3典例分析，深化理解典例分析，深化理解问题问题 4：例例 1（1）判断下列方程是否为圆的方程：2224xy；2221()xym mR（2）求圆心为2,3A，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点125,7,2,1MM是否在这个圆上（3）点0,Mx y 在圆222xyr内的条件是什么？在圆222xyr外的条件又是什么？【预设的答案】解：（1）是圆心为2,0、半径为 2 的圆的方程；当0m 时，不是圆的方程；当0m 时，是圆心为0,1、半径为|m 的圆的方程
5、（2）圆心为2,3A，半径为 5 的圆的标准方程是222325xy把点15,7M的坐标代入方程成立，即点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在圆上；把点22,1M的坐标代入方程不成立，即点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在圆上（3）根据圆的定义，点0M 在圆222xyr内的条件是点0M 到圆心0,0的距离小于半径r，即222xyr；点0M 在圆222xyr外的条件是点0M 到圆心0,0的距离大于半径r，即222xyr【设计意图】例 1（1）的设计有两个目的，一是加深学生对圆的方程结构特点的认识，二是已知圆的标准方程能获取圆心坐标和半径大小；方程需要考虑m是否为 0，考察学生思维的严
6、密性（2）是课本上的例 1，目的是引出（3），让学生学会判断点与圆的位置关系这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想问题问题 5：例例 2写出下列各圆的标准方程：（1）圆心为3,4C，半径是 5；（2）圆心为8,3C，且经过点5,1M；（3）以线段AB为直径的圆，其中5,1,7,3AB；（4）ABC的外接圆，其中5,1,7,3,2,8ABC【预设的答案】解：（1）22345xy；（2）解法解法 1（几何法）（几何法）：设圆C的半径为r，则22853 15
7、r ，所以圆C的标准方程是228325xy解法解法 2（代数法）（代数法）：设圆C的标准方程是22283xyr,将点5,1M 的坐标代入方程得225r，所以圆C的标准方程是228325xy（3）设圆的半径为r，则222571 32 5r，即5r；圆心为5,1,7,3AB中点，即6,1，所以该圆的标准方程是22615xy（4）解法解法 1（几何法）（几何法）：设ABC的外接圆的圆心为M，则点M是线段,AB BC CA的垂直平分线的交点由线段AB中点6,1及直线AB斜率1 3257ABk 知线段AB的垂直平分线为1162yx；同理可得线段BC的垂直平分线为11922yx 联立116,211922y
8、xyx 解得2,3xy，即圆心M坐标为2,3而半径22|521 35rMA，所以ABC的外接圆的标准方程是222325xy解法解法 2（代数法）（代数法）：设ABC的外接圆的标准方程为222xaybr，将5,1,7,3,2,8ABC三点坐标分别代入方程，联立解出参数,a b r的值此处略，详见课本 P83 例 2 解法【设计意图】例 2 为已知圆的相关条件，求圆的标准方程通过例 2 的练习，帮助学生理解圆的标准方程由两个要素（圆心坐标、半径大小）确定，由浅入深，符合学生的认知规律(1)直接给出圆心和半径，(2)需要求出半径，(3)、(4)需要间接求出圆心及半径，层层递进，渗透两种求法，为例 3
9、 做铺垫问题问题 6：例例 3已知圆心为C的圆经过1,1,2,2AB两点，且圆心C在直线:10l xy 上，求此圆的标准方程【预设的答案】解：解法解法 1（几何法）（几何法）：此处略，详见课本 P84-85 例 3 解法解法解法 2（代数法）（代数法）：设圆C的标准方程为222xaybr，将1,1,2,2AB两点坐标分别代入得到两个方程，再将圆心坐标,a b代入直线l的方程可得第三个方程联立三个方程解出参数,a b r的值【设计意图】例 3 在例 2 的基础上增加了难度，设计的目的是使学生明确求圆的标准方程关键是求出圆心坐标和半径，主要有两种方法：几何法：借助圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半
10、径大小；代数法（待定系数法）：设含有参数,a b r的圆的标准方程，建立关于,a b r的方程组，解出参数，求出圆的标准方程一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质做转化较为简捷四、课外作业四、课外作业（完成课本 P85 练习题 3、4）练习练习 3已知124,9,6,3PP两点，求以线段12PP为直径的圆的标准方程，并判断点6,9,3,3,5,3MNQ在圆上、圆内，还是在圆外练习练习 4已知AOB的三个顶点分别是点4,0,0,0,0,3AOB，求AOB的外接圆的标准方程2.4.12.4.1圆的标准方程圆的标准方程在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)如何直接求出圆的两要素如何直接求出圆的两要素圆心、半径？圆心、半径？圆心坐标由题设可知圆心坐标由题设可知半径大小由点到点的距离公式可求得半径大小由点到点的距离公式可求得从方程的角度考虑？从方程的角度考虑？(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)课后作后作业
