1、4.3.2 对数的运算(人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标一、教学目标1.理解对数的运算性质，培养学生利用定义解决问题的能力和数学抽象素养.2.通过换底公式的推导，培养学生的逻辑推理能力；能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.运用运算性质进行简单的化简、求值与证明，借此培养学生的运算素养.二、教学重难点二、教学重难点重点：重点：理解对数运算的性质，换底公式；难点：难点：灵活应用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数三、教学过程三、教学过程（一）复习回顾（一）复习回顾 1.对数的意义：（1）指数幂运算的逆运算.1.对数的意义：（1）指数幂运算的逆运算.
2、（2）指数式与对数式互化及相关概念：（2）指数式与对数式互化及相关概念：=2.对数的性质:2.对数的性质:（1）真数大于零，即负数和零没有对数；）真数大于零，即负数和零没有对数；（2）=,=；（3）=,=【设计意图】温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养.（二）知识准备（二）知识准备指数的运算性质：指数的运算性质：nmnmaaa，nmnmaaa，mnnmaa)(【设计意图】通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.（三）问题探究（三）问题探究问题 1：问题 1：根据对数定
3、义，结合运算性质根据对数定义，结合运算性质 =+你可以做怎样的运算处理？你可以做怎样的运算处理？【探究探究】两边取对数：两边取对数：()=+=m+n设maM，naN，于是有nNmMaalog,log,m nMNa+=log(M N)=logM+logN-口诀：积的对数等于对数的和（让学生总结归纳）【设计意图】通过让学生编口诀加深对性质的理解和记忆，为下一步奠定基础.问题问题 2：类比结论，猜想类比结论，猜想=可以得到什么结论？尝试证明可以得到什么结论？尝试证明.【探究探究】nmanmaloglogaMN=log-log-口诀：商的对数等于对数的差问题问题 3：()=可以得到什么结论？可以得到什
4、么结论？【探究探究】由nmnMaloglognaaMmnnM得-口诀：真数的指数变系数（让学生总结归纳）【设计意图】通过问题探究培养学生数学思维品质和习惯，深化对指对关系的理解和互化的应用，进一步提高学生分析问题、理解问题和解决问题的能力；通过让学生编口诀加深对性质的记忆.【得到结论】对数的运算性质：如果0a，且1a时，M0，N0，那么：（1）log()aM N=；（积的对数等于两对数的和）（2）logaMN=；（商的对数等于两对数的差）（3）lognaM=；（Rn）（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）（四）例题解析（四）例题解析755211log 422lg 100.例、求下列格式的值（）（
5、）；（）【设计意图】通过简单的计算求值让学生学会直接用性质解决问题.【跟踪训练】1.log513log53 等于_；2.lg 25162lg 59lg 3281等于_.【设计意图】通过简单的计算求值让学生学会逆向使用性质解决问题，灵活掌握公式的应用.概念思辨概念思辨【设计意图】强调性质使用的前提条件，特别是对数中真数大于零是个易错点；正确使用性质.例 2、用 lnx,lny,lnz 表示 ln23.【跟踪训练】2.用lg,lg,lg表示下列各式:232(1)lg();(2)lg;(3)lg;(4)lg.xyxyxxyzzy zz【设计意图】熟练使用性质解决问题，并为引入换底公式做好铺垫.（五）
6、问题情景（五）问题情景【情景再现】在 4.2.1 的问题 1 中，求经过多少年 B 地景区的游客人次是 2001 年的 2 倍，就是计算 =log1.112 的值.现在能否求解？怎么办？数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数和自然对数表，通过查表即可求出任意正数的常用对数和自然对数.【设计意图】首尾呼应，解决开篇实际问题，引出本节的难点，探索解决方法.25log 225log 2【探究】【探究】由=log1.112 得1.11x=2 两边取以 e 为底的对数得：ln1.11 x=ln2根据性质（3）得：xln1.11=ln2，x=ln2ln1.11，即 log1.112=ln2ln1.11
7、利用计算器得：ln20.6931，ln1.110.1044，log1.112=ln2ln1.11 0.69310.10446.64 7由此可得，大约经过 7 年，B 地景区的游客人次就达到 2001 年的 2 倍，类似地，可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍，所需要的年数。问题问题 2：尝试用尝试用 logca、logcb 表示表示 logab（a、b、c0，a、c1）？）？【探究】【探究】设设 logab=x，则，则 ax=b，两边取以，两边取以 e 为底的对数得：为底的对数得：logcax=logcb根据性质（根据性质（3）得：）得：xlogca=logcb，x=，即，即 l
8、ogab=【设计意图】通过数学背景和实际应用让学生理解换底公式的必要性，提高学生学习和研究的兴趣，培养学生积极主动研究问题的能动性和能力.【得到结论】2.对数换底公式：对数换底公式：思考思考：logab 换成以换成以 a 为底的结果是什么？为底的结果是什么？log=loglog=1log【设计意图】学以致用，使用换底公式推导出对数运算中的另一个比较常见的性质，让学生体会自己推导公式的成就感.（六）例题解析（六）例题解析例 3、利用对数的换底公式化简下列各式23454839(1)loglog(2)log 3 log 4 log 5 log 2(3)(log 3log 3)(log 2log 2)
9、acca；【设计意图】学以致用，会用换底公式进行化简求值，此题训练学生对式子结构的认识和分析，取适当的底数.发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养.例 4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震 M 之间的关系为lg4.8 1.5EM.2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）?【设计意图】通过此理让学生感受到数学来源于生活应用于生活，培养学生的数学建模的核心素养.（七）课堂总
10、结（七）课堂总结1.对数的运算性质及应用；2.换底公式的证明及应用.【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.（八）课堂检测（八）课堂检测1计算：log153log62log155log63()A2B0C1D22计算 log92log43()A4 B2 C.12 D.143设 10a2，lg 3b，则 log26()A.ba B.aba Cab Dab4log816_.5计算：(1)log5352log573log57log51.8；(2)log2748log21212log2421.（九）课后作业（九）课后作业4.3.24.3.2对数的运
11、算对数的运算4.3.24.3.2对数的运算对数的运算1、对数的意义是什么、对数的意义是什么？指数幂运算的逆运算指数幂运算的逆运算指数式指数式对数式对数式真数真数底数底数=（a0,a1）复习回顾复习回顾复习回顾复习回顾1、对数的意义是什么、对数的意义是什么？（1）真数大于零真数大于零，即负数和零没有对数；，即负数和零没有对数；2、对数性质、对数性质知识准备知识准备指数的运算性质：指数的运算性质：问题探究一问题探究一=m+n那么那么m=log=logaMM，n=log=logaN N口诀：积的对数等于对数的和（正）；同底对数相加，底数不变，真数相乘（反）.【探究】问题探究一问题探究一口诀：商的对数
12、等于对数的差（正）；同底对数相减，底数不变，真数相除（反）.=【探究】问题探究一问题探究一口诀：真数的指数变系数【探究】1.对数运算性质：对数运算性质：得出结论得出结论简易口诀：简易口诀：“积的对数积的对数=对数的和对数的和”“商的对数商的对数=对数的差对数的差”“真数的指数变系数真数的指数变系数”例题解析例题解析解解:（1 1）（2 2）正用性质正用性质【跟踪训练跟踪训练1 1】逆用性质逆用性质2 2lg2lg2性质思辨性质思辨1.log2x22log2x.()2.loga(2)(3)loga(2)loga(3).()提示:(1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.3.lo
13、gaMlogaNloga(MN).()提示:公式应为logaMlogaNloga(MN)(a0且a1，M0，N0).例题解析例题解析【跟踪训练跟踪训练2 2】解：解：情景再现情景再现 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数和自然对数表，通过查数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数和自然对数表，通过查表即可求出任意正数的常用对数和自然对数；而现代人已经把这些对数表编表即可求出任意正数的常用对数和自然对数；而现代人已经把这些对数表编成了程序，通过计算器即可算出常用对数和自然对数成了程序，通过计算器即可算出常用对数和自然对数.N0！那我们的任务就是把所有的对数都转化成10、e为底！得得1.1
14、1x=2利用计算器得：利用计算器得：ln20.6931，ln1.110.1044【探究】情景再现情景再现能否推广呢？问题问题2：尝试用尝试用logca、logcb表示表示logab（a、b、c0，a、c11）？设设logab=x,则则ax=b问题探究二问题探究二【探究】（换底公式）（换底公式）2.2.对数换底公式：对数换底公式：得出结论得出结论（a、b、c0，a、c11）1.1.对数运算性质：对数运算性质：新知总结新知总结简易口诀：简易口诀：“积的对数积的对数=对数的和对数的和”“商的对数商的对数=对数的差对数的差”“真数的指数变系数真数的指数变系数”“底数的指数倒数变系数底数的指数倒数变系数
15、”2.2.对数换底公式：对数换底公式：（a、b、c0，a、c11）例题解析例题解析例例3.3.利用对数的换底公式化简下列各式利用对数的换底公式化简下列各式解:可做可做结论 2011 2011年年3 3月月1111日，日本东北部海域发生里氏日，日本东北部海域发生里氏9.09.0级地震，它所释放出来级地震，它所释放出来的能量是的能量是20082008年年5 5月月1212日我国汶川发生里氏日我国汶川发生里氏8.08.0级地震的多少倍（精确到级地震的多少倍（精确到1 1）？例例4.4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经
16、对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量所了解，例如，地震时释放出的能量E E（单位：焦耳）与地震里氏震级（单位：焦耳）与地震里氏震级M M之间之间的关系为的关系为例题解析例题解析解解:设设里氏里氏9.09.0级和里氏级和里氏8.08.0级地震的能量分别为级地震的能量分别为E E1 1和和E E2 2虽然里氏虽然里氏9.09.0级和里氏级和里氏8.08.0级地震仅相差级地震仅相差1 1级，但前者释放出的能量却是后者的约级，但前者释放出的能量却是后者的约3232倍。倍。利用计算工具可得，利用计算工具可得，1.1.对数运算性质：对数运算性质：2.2.对数换底公式：对数换底公式：（a、b、c0，a、c11）课堂小结课堂小结 谢谢！
