1、5.4.3 正切函数的图像与性质(人教 A 高中数学必修第一册第五章)一、教学目标一、教学目标1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性2.教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。三、教学过程三、教学过程 1.创设情境，引发思考 1.创设情境，引发思考【类比联想情境】【类比联想情境】三角函数包含正弦函数、余弦函数、正
2、切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.【预设的答案】取点作图法，单位圆法，计算机演算法。【设计意图】创设数学情境，让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.2.提出问题，引发思考，小组讨论 2.提出问题，引发思考，小组讨论【活动预设】阅读课本正切函数该小节的内容，思考并完成以下问题1.正切函数图像是怎样的？2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性 质？【预设的答案】取点作图法；定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性【设计意图】学生独立完成，以小组为单
3、位，组内可商量，最终选出代表回答问题。3.新知探究，教师讲授3.新知探究，教师讲授1.1 正切函数，且图象：1.2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域：zkkx2 值域：R（-，+）最值：无最值 渐近线：x=2+k(k Z)周期性：最小正周期是 奇偶性:奇函数单调性：增区间,22kkkz 图像特征：无对称轴，对称中心：k2,0 k Z【设计意图】在学生进行小组讨论之后，教师引导学生去探究出新的知识内容。4.初步应用，理解概念4.初步应用，理解概念例 1 函数82tanxy的周期为多少？一般地，函数0tanxy的周期是什么？【预设的答案】T2T；【设计意图】会求正切函数的周期例 2 比较下
4、列两组数的大小：Rxxy tanzkkx2（1）7tan89tan；（2）5tan87tan；【预设的答案】（1）（2）【设计意图】比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较例 3 求满足下列条件的 x 的取值范围.（1）3tan1-x（2）1tanx（3）1tanx【预设的答案】（1）Zkkxkx,34（2）Zkkxkx,24（3）Zkkxkx,42【设计意图】利用函数图像，已知值域求定义域例 4（1）求函数32tanxy的周期、定义域、单调区间；（2）解不等式：132tanx 【预设的答案】（1）周期2T；定义域Zkkxx,122；单
5、调增区间：Zkkk，122125-2（2）Zkkxkx,122242 【设计意图】解题技巧：（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数 yAtan(x)(A0，0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：第一步：写出基本函数 ytan x 的相应单调区间、定义域及对称中心；第二步：将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于 x 的不等式例 5 求下列函数的值域（1）2,01-6-2sinxxy，（2）xxysinsin2（3）xxy22tan1tan1（4）xxy22cos21cos22【预设的答案】（1）-2,1 (2)241-，（3）(-1,0 (4)，2
6、0-【设计意图】利用单调性，换元法求值域5.归纳小结，文化渗透5.归纳小结，文化渗透思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？1.画正切曲线掌握“三点描图法”（哪三点？）.2.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.3.研究正切函数问题时,一般先考察函数在区间,22kkkz的情形,再拓展到整个定义域.4.正切曲线与 x 轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.【设计意图】（1）梳理本节课对于正切函数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀
7、登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性.四、课外作业四、课外作业5.4.35.4.3正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象先了解一点性质先了解一点性质：1.定义域定义域:2.值域值域:3.周期性周期性:4.奇偶性奇偶性:一、一、正切函数的图象正切函数的图象奇函数奇函数一、一、正切函数的图象正切函数的图象性质与图像性质与图像交叉研究交叉研究二、正切函数的性质：二、正切函数的性质：1.定义域，值域定义域，值域:2.周期性周期性:3.奇偶性奇偶性:奇函数奇函数4.单调性：单调性：5.渐近线渐近线 ：6.对称中心对称中心 ：7.对称轴：对称轴：无无正弦曲线、余弦曲线有吗？正弦曲线、余弦曲线有吗？正弦
8、曲线、余弦曲线有吗？正弦曲线、余弦曲线有吗？正弦曲线、余弦曲线有吗？正弦曲线、余弦曲线有吗？对称中心对称中心对称轴对称轴正弦曲线正弦曲线余弦曲线余弦曲线例例1 1.函数函数 的周期为多少？的周期为多少？一般地，函数一般地，函数 的周期是什么？的周期是什么？例例2.2.比较下列两组数的大小比较下列两组数的大小.提示：函数提示：函数 在区间在区间 上单调递增。上单调递增。例例3 3 求满足下列条件的求满足下列条件的x x的取值范围的取值范围.答案：答案：例例4 4（1 1）求求函函数数 的的周周期期、定定义义域域、单单调调区间；区间；（2 2）解不等式：）解不等式：.（1）周期：）周期：定义域：定
9、义域：单调增区间：单调增区间：（2）解集是：）解集是：答案：答案：2.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成数支相同形状的曲线组成,且关于点且关于点 对称对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记忆正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.4.正切曲线与正切曲线与 x轴的交点及轴的交点及 渐近线渐近线,是确定图象形是确定图象形状、位置的关键要素状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点作图时一般先找出这些点和线和线,再画正切曲线再画正切曲线.小结小结 3.研究正切函数问题时研究正切函数问题时,一般先考察函数在区间一般先考察函数在区间 的情形的情形,再拓展到整个定义域再拓展到整个定义域.1.画正切曲线掌握画正切曲线掌握“三点描图法三点描图法”（哪三点？）（哪三点？）.作业作业 正切函数的图象与性质正切函数的图象与性质
