1、1.4.2 充要条件(人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第一章)一、教学目标一、教学目标1.掌握充要条件的定义；2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；3.理解数学定义与充要条件的关系.二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：充要条件的相关概念.2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.三、教学过程三、教学过程1.复习回顾复习回顾问题问题 1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？答 1:设 a,b,c 分别是ABC 的三条边，且 a b c.勾股定理：如果ABC 为直角三角形，那么 a2+b2=c2.在勾股定理中：“ABC 为直角三角形”是“a2
2、+b2=c2”的_充分_条件;“a2+b2=c2”是“ABC 为直角三角形”的_必要_条件.问题问题 2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？答 2:设 a,b,c 分别是ABC 的三条边，且 a b c.勾股定理的逆定理：如果 a2+b2=c2，那么ABC 为直角三角形.在勾股定理的逆定理中：“ABC 为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_必要_条件;“a2+b2=c2”是“ABC 为直角三角形”的_充分_条件.问题问题 3:勾股定理及其逆定理有何关系？答 3:勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.【教师讲授】将命题“若 p，则 q”中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命题“
3、若q，则 p”，称这个命题为原命题的逆命题.【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。2.数学建构数学建构思考思考 1：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则 ac0，q:x0，y0；(4)p:x=1 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，q:a+b+c=0(a 0)【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念
4、的理解，学会判断 p 是否为 q 的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对 p 不是 q 的充要条件的题，具体分析出 p 与 q 的关系.【探究】【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”(1)“四边形的两组对角分别相等”；(2)“四边形的两组对边分别相等”；(3)“四边形的一组对边平行且相等”；(4)“四边形的对角线互相平分”思考思考 3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他 4
5、个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。给出思考 3 让学生课后去研究，从而引发学生对充要条件与数学定义之间关系的更深入的思考.【例【例 4】已知：O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d求证：d=r 是直线 l 与O 相切的充要条件.【设计意图】本题为一道证明题，要证明 p 是 q 的充要条件.在证明前先要引导学生分析，充要条件需要从“充分性”和“必要性”两方面进行证明，同时还要引导学生发现本题中的描述与前面例子的区别与练习，即“q 的充要条件是 p”实际上就是说“p 是 q 的充要条件”.另外，前例中侧重对
6、充要条件的理解，考查学生是否掌握了判断充要条件的基本方法，而本题侧重证明，因此更注重数学知识本身的考查.5.课堂小结课堂小结(1)充要条件的定义(2)充要条件与数学定义的关系【设计意图】通过 2 个问题，回顾总结本节课所学的知识.6.当堂检测当堂检测完成课本 22 页的练习 1,2,3.1.下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？(1)p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；(2)p:O 内两条弦相等，q:O 内两条弦所对的圆周角相等；(3)p:AB 是空集，q:A 与 B 之一为空集2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.3.证明：如图，梯形 ABCD 为
7、等腰梯形的充要条件为 AC=BD.【设计意图】通过当堂检测，对本节课学生所学的知识进行检查，掌握学生的学习情况与教学效果.1.4.2 1.4.2 充要条件充要条件我们初中学过的勾股定理内容是什么？我们初中学过的勾股定理内容是什么？复习回顾1勾股定理：勾股定理：如果ABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.在在勾股定理勾股定理中：中：“ABC为直角三角形为直角三角形”是是“a2+b2=c2”的的_条件条件;“a2+b2=c2”是是“ABC为直角三角形为直角三角形”的的_条件条件.充分充分设a,b,c分别是ABC的三条边，且a b c.必要必要我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？我们初中学过
8、的勾股定理的逆定理内容是什么？勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2.，那么ABC为直角三角形.在在勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理中：中：“ABC为直角三角形为直角三角形”是是“a2+b2=c2”的的_条件条件;“a2+b2=c2”是是“ABC为直角三角形为直角三角形”的的_条件条件.必要必要设a,b,c分别是ABC的三条边，且a b c.充分充分复习回顾1勾股定理及其逆定理有何关系？勾股定理及其逆定理有何关系？勾股定理：勾股定理：如果ABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2.，那么ABC为直角三角形.“若p，则q”
9、“若q，则p”互为逆命题.1.将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.2.原命题与逆命题都是真命题.复习回顾1下列下列“若若p，则q”形式的命形式的命题中，哪些命中，哪些命题与它与它们的逆命的逆命题都是真命都是真命题？数学建构2思考思考1(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac0；(4)若AB是空集，则A与B均是空集 下列下列“若若p，则q”形式的命形式的命题中，哪些命中，哪些命
10、题与它与它们的逆命的逆命题都是真命都是真命题？数学建构2思考思考1(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(4)若AB是空集，则A与B均是空集(1)p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等q:两个三角形全等(4)p:AB是空集q:A与B均是空集数学建构2充要条件如果如果“若若p，则，则q”和它的逆命题和它的逆命题“若若q，则，则p”均是真命题，即均是真命题，即既有既有p q，又有，又有q p，就记作，就记作p q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件判断判
11、断(2)(3)中原命中原命题与逆命与逆命题的真假的真假.数学建构2思考思考2(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac0；p:两个三角形全等q:两个三角形 的周长相等 p:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根q:ac0，q:x0，y0；(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a 0)例3知识应用4下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；例3知识应用4p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件下列各题中，哪些p
12、是q的充要条件？(2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；例3知识应用4p是是q的充要条件的充要条件下列各题中，哪些p是q的充要条件？(3)p:xy0，q:x0，y0；例3知识应用4p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件下列各题中，哪些p是q的充要条件？(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a 0)例3知识应用4p是是q的充要条件的充要条件你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？探究知识应用4定义：“四边形的两组对边分别平行”“四边形的两组对角分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的对角线互相平分”
13、根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义你能你能给出出“三角形全等三角形全等”或或“三角形相似三角形相似”的其他形式的定的其他形式的定义吗？思考思考3四边形是平行四边形四边形是平行四边形已知：O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d求证：d=r是直线 l与 O相切的充要条件.例4知识应用4分析：设p：d=r ，q：直线l与O相切要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可.证明：(1)充分性(pq)：如图，作OPl 于点P,OPQl在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ在RtOPQ中，OQOP=r所以，除点P外直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有
14、一个公共点P所以直线l与O相切 则OP=d,若d=r,则点P在O上直线直线l和圆有唯一公共点和圆有唯一公共点已知：O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d求证：d=r是直线 l与 O相切的充要条件.例4知识应用4分析：设p：d=r ，q：直线l与O相切要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可.证明：若直线l与 O相切，OPQl不妨设切点为P，则OPl因此，d=OP=r由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O相切的充要条件(2)必要性(qp)直线直线l和圆有唯一公共点和圆有唯一公共点1.充要条件的定义充要条件的定义课堂小结52.充要条件与数学定义的关系充要条件与数学定
15、义的关系充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充要条件充要条件根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习1.下列各题中，哪些下列各题中，哪些p是是q的充要条件？的充要条件？(1)p:三角形为等腰三角形，三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；三角形存在两角相等；(2)p:O内两条弦相等，内两条弦相等，q:O内两条弦所对的圆周角相等；内两条弦所对的圆周角相等；(3)p:AB是空集，是空集，q:A与与B之一为空集之一为空集p是是
16、q的充要条件的充要条件ABCDp不是不是q的充要条件的充要条件p不是不是q的充要条件的充要条件思考思考:(2)(3)中中p是是q的什么条件？的什么条件？当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习2.分别写出分别写出“两个三角形全等两个三角形全等”和和“两个三角形相似两个三角形相似”的几个充要条件的几个充要条件.“两个三角形的三边相等”“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”两个三角形全等两个三角形全等“两个三角形的三边成比例”“两个三角形的其中两角相等”“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”两个三角形相似两个三角形相似当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习3.证明：如图，梯形证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为为等腰梯形的充要条件为AC=BD.分析：设分析：设p：AC=BD.充分性:AC=BD梯形梯形ABCD为等腰梯形为等腰梯形.AB=CD q：梯形梯形ABCD为等腰梯形为等腰梯形.必要性:梯形梯形ABCD为等腰梯形为等腰梯形 AC=BD.
