1、8.6.1 直线与直线垂直(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标一、教学目标1.理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角；2.掌握证明两条异面直线垂直的方法.3.使学生感受空间几何存在于身边，提高学生观察能力，提升数学空间想象能力。二、教学重难点二、教学重难点1.异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义.2.求异面直线所成的角.三、教学过程三、教学过程1.新课导入1.新课导入空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线。初中已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线。如图所示，在正方体 ABCD-ABCD中，直线 AC与直线 AB，直线
2、 AD与直线 AB 都是异面直线，直线 AC与直线 AD相对于直线 AB 的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢?【设计意图】理论是源于实际生活的，通过正方体直观感受异面直线的位置。2.新课讲授新课讲授2.1.探索新知探索新知（1）平面内两条相交直线形成四个角，其中不大于 90的角称为这两条直线所成的角（2）我们可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系已知两条异面直线啊 a,b,经过空间任一点 O 分别作直线 a/a，b/b，我们把直线 a与 b所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)【设计意图】引入新概念，通过异面直线的夹角来确定异面直线的位置。2.2.异面直线垂
3、直异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线 a 与直线 b 垂直，记作：ab【设计意图】通过展示异面直线的夹角的特殊位置，引入本节课重点两条异面直线垂直的概念。2.3.直线与直线垂直直线与直线垂直【设计意图】梳理出空间两条直线垂直的具体分类。2.4.角的取值范围角的取值范围2.4.1 异面直线所成角的取值范围范围：090 2.4.2 当两条直线 a,b 互相平行时，我们规定它们所成角为 0【设计意图】梳理出异面直线以及空间两条直线角的范围，以及说明特殊位置。3.初步应用，理解概念3.初步应用，理解概念 例 1 已知正方体 ABCD-ABCD，(1)
4、哪些棱所在的直线与直线 AA垂直？(2)求直线 BA 与 CC 所成的角的大小？(3)求直线 BA 与 AC 所成的角的大小？【设计意图】创设数学情境，通过正方体模型，指导学生学会快速判断两条直线是否垂直，以及学会求解简单异面直线夹角。例 2 在正方体 ABCD-A B C D，O 为底面 ABCD的中心求证：AO BD【设计意图】在形成异面直线的主管感受后，遵循从特殊到一般的思路，在实践活动中进行再认识，提升难度，设计思维梯度，指导学生学会如何判定较为复杂的两条直线异面垂直。练习 1 判断下列命题是否正确（1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直（）（2）垂直于
5、同一条直线的两直线平行（）练习 2 如图，在长方体 ABCD-ABCD的各条棱所在直线中（1）与直线 AB 垂直的直线有_条（2）与直线 AB 异面且垂直的直线有_条（3）与直线 AB 和 AD都垂直的直线有_条（4）与直线 AB 和 AD都垂直且相交的直线是_条练习 3 如图，在长方体 ABCD-ABCD中 AB=AD=23,AA=2.求（1）直线 BC 与 AC所成角的大小；（2）直线 AA和 BC所成角的大小；【设计意图】在解题中加深对概念的理解，形成解题的基本思路，掌握解题的基本技能。4.课堂小结课堂小结异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求(1)作：根据异面直线的定义，用平移法
6、（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。(2)证：证明作出的角就是要求的角(3)求：求角度(4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。5.课外作业（略）课外作业（略）8.6.18.6.1直线与直线垂直直线与直线垂直空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线初中已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线一、导入AABCDBCD如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是异面直线，直线AC与直线AD相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差
7、异呢?二、新课讲授1.异面直线所成角一、平面内两条相交直线形成四个角，其中不大于90的角称为这两条直线所成的角（或夹角）二、我们可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系1.异面直线所成角 ab已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a/a，b/b，我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2.异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线a与直线b垂直，记作：3.直线与直线垂直垂直相交垂直异面垂直4.角的取值范围一、异面直线所成角的取值范围范围：二、当两条直线a,b互相平行时，我们规定它们所成角为0例1已知正方体AB
8、CD-ABCD，(1)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？(2)求直线BA 与CC 所成的角的大小？(3)求直线BA 与AC所成的角的大小？例题精讲BADCABDC例题精讲例2在正方体ABCD-A B C D，O 为底面ABCD的中心求证：AO BDBADCABDCO O随堂练习练习1判断下列命题是否正确（1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直（）（2）垂直于同一条直线的两直线平行（）随堂练习练习2如图，在长方体ABCD-ABCD的各条棱所在直线中（1）与直线AB垂直的直线有_条（2）与直线AB异面且垂直的直线有_条（3）与直线AB和AD都垂直的直线有_条（4）与直线AB和AD都垂直且相交的直线是_条BADCABDC随堂测试练习3如图，在长方体ABCD-ABCD中AB=AD=23,AA=2.求（1）直线BC与AC所成角的大小；（2）直线AA和BC所成角的大小；BADCABDC课堂小结1.异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求(1)作：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。(2)证：证明作出的角就是要求的角(3)求：求角度(4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。
