1、8.5.1 直线与直线平行(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标一、教学目标1.理解基本事实 4，会用基本事实 4 证明线线平行；2.掌握等角定理及其证明方法，能用等角定理求角度。二、教学重难点二、教学重难点1.基本事实四，等角定理2.利用基本事实 4 证明线线平行三、教学过程三、教学过程1.情境引入1.情境引入1.1 创设情境，引发思考1.1 创设情境，引发思考【实际情境】【实际情境】在长方体1111ABCDABC D 中，1111,BBAA DDAA，那么1BB 与1DD平行吗？观察你所在的教室，你能找到实例吗？实际生活中还有没有这样的实例呢？问题 1：问题 1：在
2、平面中平行线具有传递性，这个性质在空间中是否仍然成立？【预设的答案】仍然成立【设计意图】本节课的内容就是平面图形中的两个结论推广到空间图形中，平面图形的性质不一定能全部推广立体图形，一般来说，要把平面图形的结论推广到空间，要经过证明.问题 2问题 2：在平面内，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否还成立呢？【活动预设】引导学生从已知到未知，由平面上的问题思考空间中的问题。1.2 探究典例，形成概念1.2 探究典例，形成概念【平行直线】基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。可以用符号语言表示为，若,a b b c，则a c基本事实 4 表述
3、的性质通常称为空间中平行线的传递性。【设计意图】创设数学情境，生活中的实例，让学生体会到平行关系在空间中也具有传递性，从而很自然的得出基本事实 4。.【等角定理】当空间中的两个角的对应边分别平行时，两个角有如图所示的两种位置关系对于图（1）可以构造两个三角形，通过三角形全等来证明教师讲授教师讲授：如下图，分别在BAC和B A C的两边上截取,AD AE和,A D A E，使得,ADA D AEA E，连接,AA DD EE DE D EADA D且ADA D四边形ADD A是平行四边形，AADD且AADD同理可证AAEE且AAEE四边形DD E E是平行四边形DED EADEA D E BAC
4、B A C【设计意图】证明空间中的等角定理，培养学生数学思维的严谨性.【等角定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补特别说明：若两个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等；如果两边分别平行，且一边方向相同，另一边方向相反，则这两个角互补。1.3 具体感知，理性分析1.3 具体感知，理性分析例 1、例 1、已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，,E F G H分别是,AB BC CD DA的中点，连接,EF FG GH HE，求证四边形EFGH是一个平行四边形。思考：在例 1 中，如果再加上ACBD，那么四边形EFGH是什么图形？【设计意图】基本事实 4 的
5、一个简单应用，考察学生的空间想象能力和空间中平行线传递性的理解.练习练习 如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形，090,BADFABBCAD 且1,2BCAD BEFA，且12BEFA，,G H分别为,FA FD的中点。（1）证明：四边形 BCHG 是平行四边形。（2）C，D，F，E 四点是否共面？为什么？2.初步应用，理解概念2.初步应用，理解概念1 下列结论中正确的是（）在空间中，若两条直线不平行，则它们一定相交；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条也相交；空间中有四条直线,a b c d，若,a b cd，且ad，那么b
6、c。A B C DA B C D【预设的答案】B【设计意图】通过概念辨析，进一步理解空间中直线的位置关系2 如图，在三棱锥PABC中，,E F G H I J分别是线段,PA PB PC AB BC CA的中点，则下列说法正确的是（）.APHBGB IECPC FHGJDGIGH【预设的答案】C【设计意图】（1）进一步加深对基本事实 4 的理解；（2）会判断平面外一点和平面内一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。3已知,ABPQ BCQR，030ABC，则PQR（）00.30.30.0000或15015030 或120ABCD【预设的答案】B【设计意图】在解题中加深对等角定理的理解，
7、形成解题的基本思路.4如图所示，在长方体1AC中，11AC 与11B D交于点O，,E F分别是11,BO C O的中点，则长方体各棱中与EF平行的有（）A三条 B四条 C五条 D六条【预设的答案】B【设计意图】强调空间中平行线的传递性的应用。.3.归纳小结，文化渗透3.归纳小结，文化渗透本节课的重点内容：基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。可以用符号语言表示为，若,a b b c，则a c 等角定理 如果空间中的两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。作用：判断两个角相等或互补。【设计意图】（1）梳理本节课的两个重点内容，理解平面图形的有关结论推广到空间图形，必须经过证明；
8、（2）求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实 4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点（3）求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似（4）证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质(2)利用平行四边形的性质(3)利用平行线分线段成比例定理(4)利用基本事实 4.（5）进行数学文化渗透，进一步体会数学逻辑的严谨性以及数学在实际生活中的应用.四、课外作业四、课外作业1 如图，三棱柱111ABCABC中，M，N，P分别为1AA，1BB，1CC的中点.求证：1MC N
9、APB.2长方体1111ABCDABC D中，,E F分别为棱11,AA CC的中点.（1）求证：1/D EBF；（2）求证：111B BFAED.3已知棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 CD、AD 的中点.求证：（1）四边形11MNAC是梯形；（2）DNMD1A1C1.解答：1 证明：因为N，P分别是1BB，1CC的中点，所以11/,BNC P BNC P，所以四边形1BPC N为平行四边形，所以1/C NBP.同理可证1/C MAP，又1MC N与APB方向相同，所以1MC NAPB.2证明：（1）如图，取1BB的中点M，连接1,EM C M.在矩形11A
10、BB A中，易得11/EMAB，11EMAB因为1111/ABC D，1111ABC D，所以11/EMC D，11EMC D所以四边形11EMC D为平行四边形，所以11/D EMC.在矩形11BCC B中，易得1/MBC F，1MBC F.所以四边形1MBFC为平行四边形，所以1/BFMC，所以1/D EBF.（2）因为1/D EBF，11/BBEA，又1B BF与11AED的对应边方向相同，所以111B BFAED.3（1）连接AC，因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以/MNAC，12MNAC，又因为11/AACC且11AACC，所以四边形11AAC C为平行四边形，所以11/ACA
11、C，且11ACAC，所以11/MNAC且1112MNAC，所以四边形11MNAC是梯形.（2）由（1）知11/NMAC，又根据正方体的性质可知，11/NDAD，且DNM与111D AC的方向相同，所以根据等角定理可得111DNMD AC.（第一课时）（第一课时）8.5.1 8.5.1 直线与直线平行直线与直线平行学习目标 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，BB1/AA1，DD1/AA1，那么，那么BB1与与DD1 平行吗？观察你所在的教室，平行吗？观察你所在的教室，你能找到相似的实例吗？你能找到相似的实例吗？A1B1C1D1ABCD情境引入基本事基本事实4：平行于同一条直：平
12、行于同一条直线的两条直的两条直线互相平行。互相平行。用符号用符号语言表示如下：言表示如下：已知已知a、b、c三条直三条直线，若，若ac，且，且bc，则ababc基本事基本事实4 表述的性表述的性质通常叫做空通常叫做空间平行平行线的的传递性性平行直线 例例1.已知已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点，连结的中点，连结EF，FG，GH，HE，求，求证证EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。ABCDEFGH EH是是ABD的中位的中位线 EH BD且且EH=1/2 BD同理，同理，FG
13、 BD且且FG=1/2 BDEH FG且且EH=FG证明：明：连结BD思考：在例思考：在例2中，如果再加上中，如果再加上ACBD，那么四，那么四边形形EFGH是什么是什么图形？形？四四边形形EFGH是一个平行四是一个平行四边形形213思思考考：在在平平面面内内，如如果果一一个个角角的的两两边边与与另另一一个个角角的的两两边边分分别别对对应应平平行行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？在空间中，这一结论是否仍然成立呢？等角定理当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种
14、位置置.空间中如果两个角的两边分别空间中如果两个角的两边分别对应平行对应平行，那么这两个角，那么这两个角相等或互补相等或互补.BCABCA空间中如果两个角的两边分别空间中如果两个角的两边分别对应平行对应平行，且，且方向相同方向相同，那么这两个角，那么这两个角相等相等.等角定理当堂达标BCBB五、归纳总结五、归纳总结五、归纳总结五、归纳总结一基本事实41.平行于同一条直线的两条直线 这一性质通常叫做平行线的 性符号表示：bc(ab)ac 平行平行传递传递相等相等互互补补注意：平面图形的有关结论推广到空间图形不一定成立，要经过严格的证明注意：平面图形的有关结论推广到空间图形不一定成立，要经过严格的证明课堂小结1.求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似3.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质(2)利用平行四边形的性质(3)利用平行线分线段成比例定理(4)利用基本事实4.课后作业
