1、7.2.2 7.2.2 复数的乘、除运算复数的乘、除运算一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题1.11.1 复数复数z1=2+3i，z2=1-2i如何进行加减法运算如何进行加减法运算？问题问题1.2 1.2 复数的加减法运算法则复数的加减法运算法则是怎样的是怎样的？(1)复数的加复数的加减减法运算法则是法运算法则是一种规定，一种规定，与实数加减法法则保持一致与实数加减法法则保持一致；(2)两个复数的和与差仍然是一个复数两个复数的和与差仍然是一个复数，对于复数的加减法可以推广到多个复数相加或相减的情形对于复数的加减法可以推广到多个复数相加或相减的情形。z1+z2=(2+3i)+(1-2i)=
2、(2+1)+(3-2)i=3+iz1-z2=(2+3i)-(1-2i)=(2-1)+(3+2)i=1+5i一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题2 2 复数复数的的乘法运算乘法运算是如何实现的呢是如何实现的呢？我们我们规定规定，复数的乘法法则如下：，复数的乘法法则如下：设设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i.即即 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i按照多项式乘法展开将i2=-1代入化简成复数
3、的代数形式试一试：试一试：一一.复数的乘法运算复数的乘法运算跟踪练习跟踪练习（1）计算复数的乘积运算：）计算复数的乘积运算：（2）计算多项式的乘积运算：）计算多项式的乘积运算：（1 1）复数的乘法运算法则也是一种规定，）复数的乘法运算法则也是一种规定，两个复数相乘，类似于两个多项式两个复数相乘，类似于两个多项式相乘；相乘；乘法运算乘法运算法则再理解：法则再理解：（3）计算计算 ，它的计算结果是复数吗？，它的计算结果是复数吗？一一.复数的乘法运算复数的乘法运算跟踪练习跟踪练习 （2 2）两个复数的积仍然是一个复数；）两个复数的积仍然是一个复数；乘法运算乘法运算法则再理解：法则再理解：（4）计算计
4、算 ，它的计算结果与，它的计算结果与 相等吗？相等吗？（3 3）复数的乘法运算满足交换律。）复数的乘法运算满足交换律。一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题3 3 复数复数的的乘法运算乘法运算满足哪些满足哪些运算律运算律？对任意对任意z1,z2,z3 C,C,有有 z1z2=z2z1 (z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 对任意两个复数对任意两个复数z1=a+bi，z2=c+di：z2z1=(c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =ac+bci+adi-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i z1z2=z2z1(交换律交换律)(结合律
5、结合律)(乘法对加法分配律乘法对加法分配律)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i(满足交换律满足交换律)一一.复数的乘法运算复数的乘法运算典型例题典型例题22 完成下列复数的乘积运算：完成下列复数的乘积运算：例例2 2 计算计算:(1)(2+3i)(2-3i):(1)(2+3i)(2-3i)；法法2 2:(1)(2+3i)(2-3i)(1)(2+3i)(2-3i)=13=13；=4-(-9)=4-(-9)=2=22 2-(3i)-(3i)2 2解解:(1)(2+3i)(2-3i)(1)(2+3i)(
6、2-3i)=4-6i+6i-9i=4-6i+6i-9i2 2=4-9i=4-9i2 2=13=13；=4-(-9)=4-(-9)(2)(2)(1+i)2；解：解：(2)(1+i)(2)(1+i)2 2=1+2i-1=1+2i-1=1+2i+i=1+2i+i2 2=2i.=2i.互为共轭复数的两个复数相乘，积为实数；互为共轭复数的两个复数相乘，积为实数；实数系中的乘法公式实数系中的乘法公式在复数系中仍然可以使用；在复数系中仍然可以使用；问题问题4 4 复数的除法如何运算呢？复数的除法如何运算呢？二二.复数的除法运算复数的除法运算同乘同乘共轭复数共轭复数分母实数化分母实数化一般情况：一般情况：先将
7、除法写成先将除法写成 的形的形式；式；再同时乘以分母的共轭复数；再同时乘以分母的共轭复数；最后化简为复数的代数形式。最后化简为复数的代数形式。二二.复数的除法运算复数的除法运算典型例题典型例题3 3 完成下列复数的除法运算：完成下列复数的除法运算：实数集实数集R复数集复数集C加减乘除的运算法则加减乘除的运算法则二二.复数的除法运算复数的除法运算跟踪练习跟踪练习:计算计算 ;引进引进解：原式解：原式问题问题5 5 复数范围内可以解方程吗？复数范围内可以解方程吗？（1）在复数范围内可解吗？在复数范围内可解吗？（2）的复数根为？的复数根为？（3）在复数范围内解方程在复数范围内解方程 x2+6x+10
8、=0.解解:x2+6x+10=(x+3)2+1=0+1=0，(x3)2=-1=(i)2，则 x3 3i，即 x3 i，故方程在复数范围内解方程在复数范围内解为为 x3 i；方法方法2 2：因为因为所以由求根公式得：所以由求根公式得：三三.复数范围内解方程复数范围内解方程三三.复数范围内解方程复数范围内解方程典型例题典型例题4 4在复数范围内，求解在复数范围内，求解实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的的根；根；解：将解：将方程方程ax2bxc0的二次项系数化为的二次项系数化为1，得，得配方，得配方，得即即由由 ，知，知 可得：可得：在复数范围内，实系数一元二次方程在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的的求解求解公式公式为：为：1.复数的乘法运算:类似于多项式相乘；2.复数的除法运算:分子分母同时乘以分母的共轭复数，再转化为复数乘法计算；课堂小结课堂小结3.复数范围内解方程:类似于实数系内解方程的方法；
