1、7.2.2 复数的乘、除运算(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第七章)一、教学目标一、教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.4.发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模数学学科素养二、教学重难点二、教学重难点1.复数代数形式的乘法和除法运算 2.求复数范围内的方程根.三、教学过程三、教学过程1.复数的乘法运算1.复数的乘法运算1.1 情境导入，引发思考1.1 情境导入，引发思考问题 1：复数问题 1：复数122 3i,1 2izz 如何进行加减法运算？复数的加减法运算法则是如何定义的？
2、如何进行加减法运算？复数的加减法运算法则是如何定义的？【预设答案】12123 i1 5izzzz ，复数的加减法运算法则是一种规定，与实数加减法法则保持一致两个复数的和与差仍然是一个复数对于复数的加减法可以推广到多个复数相加或相减的情形或者类似的回答.【设计意图】从熟悉的复数加减法入手，即在复习上一节课的知识同时引导同学们进入复数乘除法的学习，让同学在已有知识基础上进入新的知识的学习。问题 2问题 2：经过预习发现，复数的乘法运算是如何实现的？并试着计算经过预习发现，复数的乘法运算是如何实现的？并试着计算2 31 2ii；【预设答案】对于两个任意的复数，我们规定复数的乘法法则如下：设12i,i
3、(,)za b zc d a b c d R是任意两个复数，那么它们的积 2iiii+iii-ia bcdacadbcbdacadbc bdac bdadbc也就说依照按照多项式乘法展开；将 i2=-1 代入；化简成复数的代数形式这样三个步骤来实现两个复数的乘法。对于两个确定的复数进行乘法运算，我们只需要类比多项式乘法的方式将其展开，然后化简为复数的代数形式即可。即：2312ii22436iii2436ii8i。跟踪练习：跟踪练习：（1）计算复数的乘积运算：2312ii（2）计算多项式的乘积运算：2312xx【设计意图】经过两个复数相乘及两个类似的多项式相乘的对比，让学生感受复数相乘类似于多项
4、式相乘的观点，并在老师的引导下再次理解乘法运算法则这一种规定。（3）计算计算(34)(23)ii，它的计算结果是复数吗？，它的计算结果是复数吗？（4）计算计算(23)(34)ii，它的计算结果与，它的计算结果与(34)(23)ii 相等吗？相等吗？问题 3 复数的乘法运算满足哪些运算律？问题 3 复数的乘法运算满足哪些运算律？【设计意图】通过跟踪习题让学生理解两个复数相乘的积仍然为复数；两个复数相乘时交换两个因子的顺序，其积是相等的，从而引导学生发现复数的乘法运算依然满足乘法交换律，并未接下来引导学生思考是否存在结合律和乘法对加法分配律提供基础。典型例题 完成下列复数的乘积运算：典型例题 完成
5、下列复数的乘积运算：计算:(1)(2+3i)(2-3i)；(2)(1+i)2；【预设答案】解:(1)(2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i2=4-9i2=13；解：(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.【设计意图】通过题一让学生再次巩固复数相乘的乘法法则，同时引导学生发现互为共轭复数的两个复数相乘，其乘积为实数，这位后续的复数除法提供基础，又可以适时的引导学生探究复数实数化的观点；两道习题都可以近似理解为（实数系中的）某类公式，经过分析发现，复数系中仍然存在乘法公式，且与实数系中的使用方法大体相近或一致。问题 4 复数的除法如何运算呢？问题 4 复数的除法如何运算呢？
6、【活动预设】通过两个互为共轭复数的复数相乘的讲授感知复数除法运算的法则及其合理性.【设计意图】互为共轭复数的两个复数相乘实现了复数实数化。通过讨论让同学找到破解除法运算的关键是对分式形式的除法式子的分子分母同乘分母的共轭复数，然后化简为熟悉的复数乘法运算，最后得到最简的代数形式结果即可。典型例题 完成下列复数的乘积运算：典型例题 完成下列复数的乘积运算：计算:(1).(7)(34)ii 12(2).iii 21(3).()1ii 跟踪练习:计算：跟踪练习:计算：(23)(34)2(1)22iiiiii【设计意图】运用法则解决简单的复数的除法运算问题，可以检验学生对法则的掌握程度，培养学生从特殊
7、到一般的推理能力，发展逻辑推理数学素养.同时让学生在不断学习的过程中感受如何将实数集扩充到复数集。问题 5 复数范围内可以解方程吗？问题 5 复数范围内可以解方程吗？【活动预设】通过2=-1x和2=-2x两个方程找到复数范围内的解的预设，辅助于特殊到一般的例子探究出在复数范围内解实系数一元二次方程的一般性结论及求根公式。【设计意图】运用法则解决简单的复数的除法运算问题，可以检验学生对法则的掌握程度，培养学生从特殊到一般的推理能力，发展逻辑推理数学素养.同时让学生在不断学习的过程中感受如何将实数集扩充到复数集在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求解公式为：当 0 时，xb b
8、24ac2a；当 0 时，xb b24ac i2a3.归纳小结，沉淀成长归纳小结，沉淀成长思考：本节课我们学习了哪些知识，我们一起来回忆和总结一下？【设计意图】梳理本节课对于复数的乘法、除法运算及其在复数范围内解方程的认知。四、课外作业四、课外作业 1.完成教材第 80 页练习题 1-4；2.阅读及思考教材第 81 页的“代数基本定理”。7.2.2 7.2.2 复数的乘、除运算复数的乘、除运算一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题1.11.1 复数复数z1=2+3i，z2=1-2i如何进行加减法运算如何进行加减法运算？问题问题1.2 1.2 复数的加减法运算法则复数的加减法运算法则是怎样的
9、是怎样的？(1)复数的加复数的加减减法运算法则是法运算法则是一种规定，一种规定，与实数加减法法则保持一致与实数加减法法则保持一致；(2)两个复数的和与差仍然是一个复数两个复数的和与差仍然是一个复数，对于复数的加减法可以推广到多个复数相加或相减的情形对于复数的加减法可以推广到多个复数相加或相减的情形。z1+z2=(2+3i)+(1-2i)=(2+1)+(3-2)i=3+iz1-z2=(2+3i)-(1-2i)=(2-1)+(3+2)i=1+5i一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题2 2 复数复数的的乘法运算乘法运算是如何实现的呢是如何实现的呢？我们我们规定规定，复数的乘法法则如下：，复数的
10、乘法法则如下：设设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i.即即 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i按照多项式乘法展开将i2=-1代入化简成复数的代数形式试一试：试一试：一一.复数的乘法运算复数的乘法运算跟踪练习跟踪练习（1）计算复数的乘积运算：）计算复数的乘积运算：（2）计算多项式的乘积运算：）计算多项式的乘积运算：（1 1）复数的乘法运算法则也是一种规定，）复数的乘法运算法则也是一种规定，两个复数
11、相乘，类似于两个多项式两个复数相乘，类似于两个多项式相乘；相乘；乘法运算乘法运算法则再理解：法则再理解：（3）计算计算 ，它的计算结果是复数吗？，它的计算结果是复数吗？一一.复数的乘法运算复数的乘法运算跟踪练习跟踪练习 （2 2）两个复数的积仍然是一个复数；）两个复数的积仍然是一个复数；乘法运算乘法运算法则再理解：法则再理解：（4）计算计算 ，它的计算结果与，它的计算结果与 相等吗？相等吗？（3 3）复数的乘法运算满足交换律。）复数的乘法运算满足交换律。一一.复数的乘法运算复数的乘法运算问题问题3 3 复数复数的的乘法运算乘法运算满足哪些满足哪些运算律运算律？对任意对任意z1,z2,z3 C,
12、C,有有 z1z2=z2z1 (z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 对任意两个复数对任意两个复数z1=a+bi，z2=c+di：z2z1=(c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =ac+bci+adi-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i z1z2=z2z1(交换律交换律)(结合律结合律)(乘法对加法分配律乘法对加法分配律)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i(满足交换律满足交换律)一一.复数的乘法运算复数的乘法运算典型例题典型例题22 完成
13、下列复数的乘积运算：完成下列复数的乘积运算：例例2 2 计算计算:(1)(2+3i)(2-3i):(1)(2+3i)(2-3i)；法法2 2:(1)(2+3i)(2-3i)(1)(2+3i)(2-3i)=13=13；=4-(-9)=4-(-9)=2=22 2-(3i)-(3i)2 2解解:(1)(2+3i)(2-3i)(1)(2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i=4-6i+6i-9i2 2=4-9i=4-9i2 2=13=13；=4-(-9)=4-(-9)(2)(2)(1+i)2；解：解：(2)(1+i)(2)(1+i)2 2=1+2i-1=1+2i-1=1+2i+i=1+2i+i2
14、2=2i.=2i.互为共轭复数的两个复数相乘，积为实数；互为共轭复数的两个复数相乘，积为实数；实数系中的乘法公式实数系中的乘法公式在复数系中仍然可以使用；在复数系中仍然可以使用；问题问题4 4 复数的除法如何运算呢？复数的除法如何运算呢？二二.复数的除法运算复数的除法运算同乘同乘共轭复数共轭复数分母实数化分母实数化一般情况：一般情况：先将除法写成先将除法写成 的形的形式；式；再同时乘以分母的共轭复数；再同时乘以分母的共轭复数；最后化简为复数的代数形式。最后化简为复数的代数形式。二二.复数的除法运算复数的除法运算典型例题典型例题3 3 完成下列复数的除法运算：完成下列复数的除法运算：实数集实数集
15、R复数集复数集C加减乘除的运算法则加减乘除的运算法则二二.复数的除法运算复数的除法运算跟踪练习跟踪练习:计算计算 ;引进引进解：原式解：原式问题问题5 5 复数范围内可以解方程吗？复数范围内可以解方程吗？（1）在复数范围内可解吗在复数范围内可解吗？（2）的复数根为？的复数根为？（3）在复数范围内解方程在复数范围内解方程 x2+6x+10=0.解解:x2+6x+10=(x+3)2+1=0+1=0，(x3)2=-1=(i)2，则 x3 3i，即 x3 i，故方程在复数范围内解方程在复数范围内解为为 x3 i；方法方法2 2：因为因为所以由求根公式得：所以由求根公式得：三三.复数范围内解方程复数范围内解方程三三.复数范围内解方程复数范围内解方程典型例题典型例题4 4在复数范围内，求解实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的根；解：将方程ax2bxc0的二次项系数化为1，得配方，得配方，得即即由由 ，知，知 可得：可得：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求解公式为：1.复数的乘法运算:类似于多项式相乘；2.复数的除法运算:分子分母同时乘以分母的共轭复数，再转化为复数乘法计算；课堂小结课堂小结3.复数范围内解方程:类似于实数系内解方程的方法；
