1、 1 辽宁省本溪满族自治县 2016-2017学年高二数学 4 月月考试题 理 说明：本试卷由第卷和第卷组成。第卷为选择题，一律答在答题卡上；第卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上。 第卷（选择题 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，计 60分） 1.函数 ? ? ? ? xexxf 3? 的单调递增区间是 ( ) A ? ?2,? B ? ?3,0 C ? ?4,1 D ? ?,2 2.已知向量 (2, 1,3)a? ， ( 4,2, )bx? ，使 /ab?成立的 x 为（ ） A. 6? B. 6 C. 103 D. 103? 3. 抛物线 2yx? 在点 )41,
2、21(M 处的切线的倾斜角是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 4已知向量 (1,1,0)a? ， ( 1,0,2)b? ，且 ka b? 与 2ab? 互相垂直，则 k 的值是（ ） A 1 B 15 C 35 D 755.如图所示是 ? ?xfy? 的导数图像，则正确的判断是（ ） ?xf 在 ? ?,3 上是增函数； 1?x 是 ?xf 的极大值点 4?x 是 ?xf 的极小值点 ?xf 在 ? ?1,? 上是减函数 A B C. D 6如图，空间四边形 C? 中， a? ， b? ， C c?， 点 ? 在 ? 上，且23? ? ，点 ? 为 C? 中点，则 ? 等于（
3、） A 1 2 12 3 2a b c? B 2 1 13 2 2a b c? ? ? C 1 1 12 2 2a b c? D 2 2 13 3 2a b c? 班 级 考 号 姓 名 2 7.在空间直角坐标系中， ? ? ? ? ? ?4 ,1, 9 , 1 0 , 1, 6 , 2 , 4 , 3A B C?， 则 ABC? 为 （ ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D锐角三角形 8设 ()fx是可导函数，且 000 ( 2 ) ( )lim 2x f x x f xx? ? ? ? ?，则 0()fx? ? （ ） A 21 B 1? C 0 D 2? 9.若向量
4、MAMBMC， ， 的起点与终点 M A B C， ， ， 互不重合且无三点共线， O 是空间任一点，则能使 MAMBMC， ， 成为空间一组基底的关系是（ ） 1 1 13 3 3O M O A O B O C? ? ? MA MB MC? 1233O M O A O B O C? ? ? 2MA MB MC? 10.若0, 0ab?，且函数? ? 32= 4 2 2f x x ax bx? ? ?在1x?处有极值，若t ab?，则 t的最大值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 11.已知 ( ) ( )( 0 0 )x y z a b c x y z a b c? ? ?
5、?， ， ， ， ， ，pq ， 若有等 式 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )x y z a b c a x b y c z? ? ? ? ? ? ?成立，则 ，pq之间的关系是（ ） 平行 垂直 相交 以上都可能 12 已知 ()fx为 R 上的可导函数，且对 xR? ， 均有 ( ) ( )f x f x? ， 则有（ ） A. 2 0 1 4 2 0 1 4( 2 0 1 4 ) ( 0 ) , ( 2 0 1 4 ) ( 0 )e f f f e f? ? ? B. 2 0 1 4 2 0 1 4( 2 0 1 4 ) ( 0 ) , ( 2 0 1 4 ) ( 0 )e
6、 f f f e f? ? ? C. 2 0 1 4 2 0 1 4( 2 0 1 4 ) ( 0 ) , ( 2 0 1 4 ) ( 0 )e f f f e f? ? ? D. 2 0 1 4 2 0 1 4( 2 0 1 4 ) ( 0 ) , ( 2 0 1 4 ) ( 0 )e f f f e f? ? ? 第卷（非选择题 90分） 二填空题：本大题共 4个小题 .每小题 5分 ;共 20分将答案填在题中横线上 13. 已知函数 ?y f x? 的图象在点 ? ? ?2, 2Mf 处的切线方程是 4yx? ， 则? ? ? ?22ff?_ 14 将边长为 2的正方形 ABCD 沿对角
7、线 BD 折成 直二面角A BD C?，则异面直线 AB 与 CD 所成的角 _ 3 15. 已知 f(x) 13x3 3xf(0) ，则 f(1) _. 16.如图，在正四棱柱 1111 DCBAABCD ? 中， 21?AA ， 1?BCAB ，动点 QP, 分别在线段 ACDC ，1 上，则线段 PQ 长度的最小值 为 _ 三解答题：本大题共 6个小题 .共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、 （ 本小题满分 12分） 已知函数 f(x) ex， x R. (1)求 f(x)的图象在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)证明：曲线 y f(x)与直线 y ex有唯一
8、公共点 18、 （ 本小题满 分 12分） 如图，三棱柱 111 CBAABC ? 的底面是边长为 2 的正三角 形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是 3， D是 AC 的中点。 （ 1）求二面角 ABDA ?1 的大小； （ 2）求直线 1AB 与平面 BDA1 所成的角的正弦值 . 19、 （ 本小题满分 12 分）已知函数 f(x)是二次函数，且 f(x)=0 有两个相等的实根，且? ? 22f x x?， (1)求 f(x)的表达式； (2)求函数 f (x)与 2 41y x x? ? ?所围成的图形的面积。 20、 （ 本小题满分 12分） 4 如图 7， 已知向量 OA OB OC?
9、? ?， ，a b c，可构成空间向量的一个基底，若 1 2 3()a a a? ， ， ，a 1 2 3 1 2 3( ) ( )b b b c c c?， ， ， ， ，bc，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1()a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ?， ，ab ，显然 ?ab的结果仍为一向量，记作 p （ 1） 求证：向量 p 为平面 OAB 的法向量； （ 2） 求证：以 OA OB， 为边的平行四边形 OADB 的面积等于 ?ab； （ 3） 将四边形 OADB 按向量 OC?c 平移，得到一个平行六面
10、体 1 1 1OADB CAD B? ，试判断平行六面体的体积 V 与 ()?a b c 的大小 21、（本小题满分 12分） 已知函数? ?2( ) ln 0 , 1xf x a x x a a a? ? ? ? ? （ 1）求函数()fx的单调区间； （ 2）若存在? ?12, 1,1xx?，使得12( ) ( ) 1f x f x e? ? ?（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围。 22、 （ 本小题满分 10分） 已知函数 ? ? 4431 3 ? xxxf （ 1）求函数的极值 （ 2）求函数在区间 ? ?4,3? 上的最大值和最小值 . 5 数学试卷标准答案 【选择题】 1、
11、 D 2、 A 3、 B 4、 D 5、 C 6、 B 7、 B 8、 B 9、 C 10、 D 11、 A 12、 C 【填空题】 13、 7 14、 3? 15、 1 16、23【解答题】 17、【解析】 （ 本小题满分 12分） (1) f(0) e0 1， f(0) 1， 切线方程为 y 1 1( x 0)， 即 x y 1 0. ? 4分 (2)设 g(x) ex ex， 曲线 y ex与 y ex 的公共点的个数等于函数 g(x) ex ex零点的个数 ? 6分 g (x) ex e， 令 g( x) 0，得 x 1， g(x)在 (， 1)上单调递减，在 (1， )上单调递增，
12、g(x)的最小值 g(1) e1 e 0， ? 9分 g(x) ex ex 0(仅当 x 1 时，等号成立 ) ? 11分 曲线 y f(x)与直线 y ex有唯一公共点 ? 12分 18、【解析】 （ 本小题满分 12分） （ 1）如图建立空间直角坐标系， xzyDCA BB1A1C1则 D（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， 1A （ 1， 0， 3 ）， B（ 0， 3 ， 0）， 1B （ 0， 3 ， 3 ） ? B1A =（ ? 1， 3 ， ? 3 ）， D1A =（ ? 1， 0， ? 3 ） ? 2分 设平面 BDA1 的法向量为 n=（ x， y， z） 6 则
13、 n 0z3y3xBA 1 ? n 0z3xDA 1 ? ， 则有? 03zx y，得 n=（ 3? ， 0， 1） ? 4分 由题意，知 1AA =（ 0， 0， 3 ）是平面 ABD 的一个法向量 . ? 5分 设 n与 1AA 所成角为 ? ，则21AAn AAncos 11 ?， ? 7分 又 0, 2? ， ? 3?，即 二面角 ABDA ?1 的大小是 3? ? 8分 （ 2） 由已知得 1AB =（ ? 1， 3 ， 3 ） , n=（ 3? ， 0， 1） 则 112 3 2 1s in c o s , 772A B nA B nA B n? ? ? ? ? 11分 ?直线 1
14、AB 与平面 BA1 D 所成的角的正弦值为 721? 12 分 19、 【解析】（ 本小题满分 12分） （ 1） 设 ? ? ? ?2 0f x ax bx c a? ? ? ? 2 402 2 2b acax b x? ? ? ? ? 2分 得： 1, 2, 1a b c? ? ? ? ? 2 21f x x x? ? ? ? ? 4分 （ 2）由题 2221 341y x x xy x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 0x? . ? 7分 ? ? ? ?0 2 2 3 2 0 33 24 1 2 1 3 | 93S x x x x d x x x ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? . ? 12分 20、 【解析】 （ 本小题满分 12分） （ 1） 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3( ) ( ) ( ) 0a b a b a a b a b a a b a b a? ? ? ? ? ? ?pa ， ?pa ，同理 ?pb p 是平面 OAB 的法向量 ? 4分 （ 2）设平行四边形 OADB 的面积为 S ， OA 与 OB 的夹角为 ? ， 则 sin?S OA OB 21 ?abab ab 22 2()a b a b a b? ? ? 结论成立 ? 8分 （ 3）设 C 点到平面 OAB 的距离为 h ， OC
16、 与平面 OAB 所成的角为 ? ， 则 ?V Sh sin?a b c ， ? 10 分 又 ( ) c o s s in ? ? ? ? ? ?，a b c a b c a b c a b c， V ()a b c? ? 12 分 21、 【解析】 （ 本小题满分 12分） （ 1）( ) ln 2 ln 2 ( 1 ) lnxxf x a a x a x a a? ? ? ? ?+ ? 1分 因为当1a?时，ln 0a?，? ?1 lnxaa?在 R上是增函数， 因为当01a?时，?， 在 上也是增函数， 所以当 或 ，总有()fx?在 上是增函数， ? 2分 又(0) 0f? ?，所以( ) 0? ?的解集为(0, )?+，? ?0?的解集为? ?,0?， 故函数()的单调增区间为(, )，单调减区间为? ,0 ? 4分 （）因为存在12, 1,1xx?，使得12( ) ( ) e 1f x f x?成立， 而当 1,1x?时，1 2 m a x m in( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x， 所以只要m ax m in( ) ( ) e 1f x f x 即可 ? 5分 又因为x，()fx?， 的变化情况如下表所示： x( ,0)?0(0 )?+? + 减函数 极小值 增函数 所以()在1,0上是减
