1、一、三角函数图象的作法1.几何法y=sinx 作图步骤:(2)平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMAxyoy=sinx-1 1 o1 A2 232 2.五点法作函数 y=Asin(x+)的图象的步骤:(1)令相位 x+=0,2,解出相应的 x 的值;23 2(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.(2)求(1)中 x 对应的 y 的值,并描出相应五点;3.变换法:函数 y=Asin(x+)+k 与 y=sinx 图象间的关系:函数 y=sinx 的图象纵坐标不变,横坐标向左(0)或向右(0)或向下(k0)平移|k|个单位得 y=Asin(x
2、+)+k 的图象.要特别注意,若由 y=sin(x)得到 y=sin(x+)的图象,则向左或向右平移应平移|个单位.二、三角函数图象的性质 注 正切函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.1.正弦函数 y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线 x=k+(kZ);余弦函数 y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线 x=k(kZ)(正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点).2 2 2.正切函数
3、y=tanx(xR,x +k,kZ)是奇函数,对称中心是(,0)(kZ).2k2 三、正、余弦函数的性质1.定义域:都是 R.2.值域:都是-1,1.对 y=sinx,当 x=2k+(kZ)时,y 取最大值 1;当 x=2k+(kZ)时,y 取最小值-1;对 y=cosx,当 x=2k(kZ)时,y 取最大值 1,当 x=2k+(kZ)时,y 取最小值-1.2 23 3.周期性:y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2;f(x)=Asin(x+)和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是 T=.|2 4.奇偶性与对称性:正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(k
4、Z),对称轴是直线 x=k+(kZ);余弦函数 y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线 x=k(kZ)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点).2 2 5.单调性:y=sinx 在 2k-,2k+(kZ)上单调递增,在2k+,2k+(kZ)上单调递减;y=cosx 在 2k,2k+(kZ)上单调递减,在 2k+,2k+2(kZ)上单调递增.2 2 2 232.值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值.1.定义域:x|x +k,kZ.2 3.周期性:是周期函数且周期是,它与直线 y=a 的两个相邻
5、交点之间的距离是一个周期.注 一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.四、正切函数的性质oxy五、典型例题 例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0 时,不等式 sintan 成立.2 提示 由 SOAPS扇形OAPSOAT 得:OAMP OA2 OAAT 121212故有 sintan.1sin 12cosx.x|+2kx0,0)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M(,0)对称,且在区间 0,上是单调函数,求 和 的值.432 解:f(x)=sin(x+)(0,0)是 R 上的偶函数,sin(-x+)=sin(x+),即-cossinx=cossinx 对任
6、意实数 x 都成立.0,cos=0.又0,=.2 f(x)的图象关于点 M 对称,f(x)=cosx.点 M 为 f(x)图象的一个对称中心.=k+(kZ).43 2=(kZ).4k+2 3f(x)=cosx 在区间 0,上是减函数.0,2 23综上所述,=,=2 或 .2 必有 ,即 02.要使 f(x)=cosx 在区间 0,上是单调函数,2 4k+2 300,即 2sin(x-)0 得:4 2k+x2k+,kZ4 45x|2k+x0,0,xR)在一个周期内的图象如图所示:232-25272oxy2 求直线 y=3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标.27解:根据图象得 A=2,T=-(
7、-)=4,2=.12y=2sin(x+).1212由 (-)+=0 得=.2 4 y=2sin(x+).124 由 3=2sin(x+)得 124 32sin(x+)=.124 x+=2k+或 2k+(kZ).124 323 x=4k+或 4k+(kZ).656 6 65 故所有交点坐标为 (4k+,3)或 (4k+,3)(kZ).解:(1)依题意 f(x)=2cos2x+3 sin2x=1+2sin(2x+).6 由 1+2sin(2x+)=1-3 得:6 sin(2x+)=-.6 32x-,2x+-,.3 3 2 6 652x+=-.6 3 x=-.4 由(1)知 f(x)=2sin2(x+)+1.1212m=-,n=1.|m|0,0,0.xyo61014102030温度/时间/h(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由图示,这段时间的最大温差是:30-10=20.(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(x+)+b 半个周期的图象.12 =14-6.2解得=.8 12又由图示 A=(30-10)=10,b=(30+10)=20,128 y=10sin(x+)+20.将 x=6,y=10 代入可取=.43 故所求的解析式为:y=10sin(x+)+20,x6,14.8 43
