1、第十一章第十一章 线性系统的状态变量分析法线性系统的状态变量分析法11-1 11-1 引言引言一、系统的描述方法一、系统的描述方法 系统数学模型表示方法可以分为两类：系统数学模型表示方法可以分为两类：输入输出方程法（输入输出方程法（IOIO）法）法 状态变量描述法状态变量描述法 其中只有一个方程，但这是一个高阶的方程；其中只含有其中只有一个方程，但这是一个高阶的方程；其中只含有一个未知的函数一个未知的函数 或者或者 。输入输出方程法（输入输出方程法（IO）法）法描述系统输入、输出之间的关系。其结果往往是描述系统输入、输出之间的关系。其结果往往是单变量（高阶）微分或差分方程单变量（高阶）微分或差
2、分方程 。例如：例如：)()()()(3)(2)(tetetrtrtrtr)(tr)(kr)()2()()1(3)2(2)3(kekekrkrkrkr系统按其输入和输出情况，可以分为以下两类：系统按其输入和输出情况，可以分为以下两类：单输入单输出系统（单输入单输出系统（SISOSISO）多输入多输出系统（多输入多输出系统（MIMOMIMO）本课程前面各章的描述，多集中于本课程前面各章的描述，多集中于SISOSISO系统。但是系统。但是如果是如果是MIMOMIMO系统，描述就比较复杂了。系统，描述就比较复杂了。例如，一个例如，一个3 3阶阶2 2输入输入2 2输出的系统，就可能要用两个输出的系统
3、，就可能要用两个3 3阶微分阶微分（或者差分）方程描述。（或者差分）方程描述。)()(2)()(2)(3)()()()()(3)(2)(212222211111tetetrtrtrtrtetetrtrtrtr如何求解如何求解MIMOMIMO系统响应？系统响应？用用IOIO法描述系统，比较简单、法描述系统，比较简单、直观，方程求解简单；直观，方程求解简单；但是无法了解系统内部状态，但是无法了解系统内部状态，在求解在求解MIMOMIMO系统时不方便。系统时不方便。状态变量描述法状态变量描述法 将系统用将系统用状态方程状态方程（多个（多个一阶微分或差分一阶微分或差分构成的方程构成的方程组组）和和输出
4、方程输出方程描述。描述。优点：优点：可以了解系统内部各个部分的情况；可以了解系统内部各个部分的情况；有利于有利于MIMOMIMO系统分析；系统分析；方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析；方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析；可以得到系统的更多的特性，例如可观测性和可控制性等。可以得到系统的更多的特性，例如可观测性和可控制性等。可以推广到非线性系统。可以推广到非线性系统。可以用于求解方程的数值解。可以用于求解方程的数值解。一般适合于大型复杂系统的分析，适合于用计算机求解。一般适合于大型复杂系统的分析，适合于用计算机求解。但但对对一般简单的一般简单的SISOSISO系统分析，有
5、时反而显得比较麻烦。系统分析，有时反而显得比较麻烦。状态变量方法在自动控制、检测、滤波等多个场合都有很重要状态变量方法在自动控制、检测、滤波等多个场合都有很重要的作用。的作用。本章中重点介绍系统的状态变量描述法。本章中重点介绍系统的状态变量描述法。这里侧重介绍连续时间系统的状态变量这里侧重介绍连续时间系统的状态变量描述方法，对于离散时间系统的状态变描述方法，对于离散时间系统的状态变量描述方法也可以以此类推。量描述方法也可以以此类推。11-2 11-2 系统的状态变量描述法系统的状态变量描述法状态变量与状态方程状态变量与状态方程输出变量与输出方程输出变量与输出方程系统的状态变量描述系统的状态变量
6、描述一、状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程状态变量状态变量：描述系统在某时刻的：描述系统在某时刻的内部状态内部状态所必须所必须的一组的一组最少最少的物理量（或函数）称为的物理量（或函数）称为系统的状态系统的状态变量变量。利用这些。利用这些状态状态和和激励信号在某指定时刻的激励信号在某指定时刻的值值以及以及系统模型系统模型可以可以唯一地确定唯一地确定系统中其它的物系统中其它的物理量或函数在该时刻的值。理量或函数在该时刻的值。何谓何谓“描述系统在某时刻的内部状态所必须的一描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量组最少的物理量”？这里是指用状态变量描述法描述系统所必须的物这里是指用状
7、态变量描述法描述系统所必须的物理量，更加具体地说，就是能够建立状态方程和理量，更加具体地说，就是能够建立状态方程和输出方程所需要的物理量。输出方程所需要的物理量。“确定系统中确定系统中其它的物理量其它的物理量或函数在该时刻的或函数在该时刻的值。值。”,这里的这里的“其它物理量其它物理量”指那些物理量？指那些物理量？一般只要包含我们一般只要包含我们关心的输出物理量关心的输出物理量就可以了。就可以了。状态变量状态变量不一定直接是我们关心的输出物理量不一定直接是我们关心的输出物理量状态变量的个数状态变量的个数等于等于系统的阶数系统的阶数。系统的状态一般和系统的状态一般和系统的储能系统的储能有关。例如
8、，电系有关。例如，电系统中的状态一般是电容上的电压和电感上的电流。统中的状态一般是电容上的电压和电感上的电流。一、状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程状态方程：状态方程：由系统的由系统的状态变量状态变量、激励和系统参数构激励和系统参数构成的成的、决定系统状态随时间（或空间等其他变量）、决定系统状态随时间（或空间等其他变量）变化规律的变化规律的一组一阶微分（或差分）方程组一组一阶微分（或差分）方程组。例题：例题：在外力作用下一维运动物体的状态方程描述问题。在外力作用下一维运动物体的状态方程描述问题。假设物体质量假设物体质量m m，在时刻的位置，在时刻的位置x(tx(t)，所受的外力为，所受的
9、外力为f(tf(t)。状态方程是一个状态方程是一个一阶微分（或差分）方程组一阶微分（或差分）方程组。状态方程的基本要求：状态方程的基本要求：u 每个方程左边是某个状态变量的一阶微分每个方程左边是某个状态变量的一阶微分；必须针对每个状态变量的；必须针对每个状态变量的一阶微分列出方程一阶微分列出方程u 有几个状态变量就应该有几个方程有几个状态变量就应该有几个方程；u 或：状态方程的个数应该等于系统的阶数。或：状态方程的个数应该等于系统的阶数。每个方程的右边，只能包含：（每个方程的右边，只能包含：（1 1）已知的激励信号（）已知的激励信号（2 2）状态变量，）状态变量，方程的右边只应该含有方程的右边
10、只应该含有基本函数计算基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有微积分运算不允许有微积分运算（特别对于状态变量而言）。（特别对于状态变量而言）。),.,;,.,(),.,;,.,(),.,;,.,(2121212122212111mnnnmnmneeexxxfxeeexxxfxeeexxxfxmnmnnnnnnnnmmnnmmnnebebebxaxaxaxebebebxaxaxaxebebebxaxaxax.22112211222212122221212121211112121111),.,2,1(nixi),.,2,1(miei状态方程的基本形式
11、：状态方程的基本形式：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：其中其中为状态变量为状态变量;为激励信号为激励信号;显然显然,这是一个这是一个m 输 入输 入 n 阶 的阶 的MIMO系统。系统。mnmnnnnnnnnmmnnmmnnebebebxaxaxaxebebebxaxaxaxebebebxaxaxax.22112211222212122221212121211112121111nnmnnmmnnnnnnnneeebbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx212122221112112121222211121121状态矢量状态矢量状态方程
12、可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。状态方程可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。线性系统状态方程线性系统状态方程可以用矩阵方程表示为可以用矩阵方程表示为：例如，上面的一维物体运动方程：例如，上面的一维物体运动方程：fmxxx1221fmxxxx1000102121可以用状态变量可以用状态变量)(),.,(),(21txtxtxn)()()()(21txtxtxtnx)()()()(21txtxtxtn x)()()()(21tetetetmeexxnmnnmmnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaaaaa212222111211212222111211构成一个随时间变化的向量构成一个随时间变
13、化的向量状态矢量状态矢量状态矢量一阶微分状态矢量一阶微分 定义符号：定义符号：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anmnnmmbbbbbbbbb212222111211BeBxAx定义参数矩阵：定义参数矩阵：则状态方程又可以记为：则状态方程又可以记为：状态矢量在某个时刻的取值可以用一个多维空间的点表示，状态矢量在某个时刻的取值可以用一个多维空间的点表示，这个构成的多维空间被称为这个构成的多维空间被称为状态空间或相空间状态空间或相空间。随着时间的变换，状态矢量在状态空间中的位置也会随之移随着时间的变换，状态矢量在状态空间中的位置也会随之移动变换，由此产生的轨迹称之为动变换，由
14、此产生的轨迹称之为状态空间轨迹状态空间轨迹或者或者相空间轨迹相空间轨迹。二、输出变量与输出方程二、输出变量与输出方程输出变量：输出变量：系统输出的（或者我们具体关心的）物理系统输出的（或者我们具体关心的）物理量称为系统的输出变量。量称为系统的输出变量。输出方程输出方程：描述系统的输出与状态变量、激励之间关：描述系统的输出与状态变量、激励之间关系的一组方程。系的一组方程。通过输出方程，可以由系统某时刻的状态变量和激励通过输出方程，可以由系统某时刻的状态变量和激励信号的值，计算出系统输出的物理量或函数的值。信号的值，计算出系统输出的物理量或函数的值。例如：上面提到的一维运动物体轨迹问题，我们实际例
15、如：上面提到的一维运动物体轨迹问题，我们实际需要的（或者直接观测到的）是物体的轨迹，其输出需要的（或者直接观测到的）是物体的轨迹，其输出变量即为物体的位置变量即为物体的位置 ，所以其输出方程，所以其输出方程为：为：)()(1txtx)()(1txty如果系统的输出有多个，则其输出方程也有多个。如果系统的输出有多个，则其输出方程也有多个。输出方程的基本要求：输出方程的基本要求：每个方程左边是某个输出变量；每个输出变量都应该每个方程左边是某个输出变量；每个输出变量都应该有一个输出方程。有一个输出方程。每个方程的右边，只能包含：（每个方程的右边，只能包含：（1）已知的激励信号）已知的激励信号（2）状
16、态变量，）状态变量，方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有微积分运算（特别对方开方三角函数等等），不允许有微积分运算（特别对于状态变量而言）。于状态变量而言）。),.,;,.,(),.,;,.,(),.,;,.,(2121212122212111mnrrmnmneeexxxfyeeexxxfyeeexxxfymrmrrnrnrrrmmnnmmnnedededxcxcxcyedededxcxcxcyedededxcxcxcy.22112211222212122221212121211112121111输出方程的基
17、本形式：输出方程的基本形式：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：mrmrrnrnrrrmmnnmmnnedededxcxcxcyedededxcxcxcyedededxcxcxcy.22112211222212122221212121211112121111mrmrrmmnrnrrnnreeedddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121输出矢量输出矢量:输出方程也可以通过矩阵表示成为一个简单的输出方程也可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。线性系统输出方程形式。线性系统输出方程:可以用
18、矩阵方程表示为：可以用矩阵方程表示为：)()(1txty2101)(xxty例如，上面的一维运动物体的输出方程：例如，上面的一维运动物体的输出方程：可以表示为：可以表示为：)()()()(21tytytytryrnrrnnccccccccc212222111211Crmrrmmddddddddd212222111211Dnrmrrmmnrnrrnnneeedddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121eDxCy三、系统的状态变量描述三、系统的状态变量描述状态方程和输出方程构成了系统状态变量描述法。状态方程和输出方程构成了系统状态变量
19、描述法。eBxAxeDxCy状态方程状态方程 输出方程输出方程 只要能够构成这样的方程，就可以用状态变量法求解系统响应。只要能够构成这样的方程，就可以用状态变量法求解系统响应。只要知道了只要知道了A A、B B、C C、D D矩阵，就可以描述系统。这种表示方法矩阵，就可以描述系统。这种表示方法对于计算机而言特别有效。对于计算机而言特别有效。如果建立系统的状态方程是一个非常重要的问题。下面两节将如果建立系统的状态方程是一个非常重要的问题。下面两节将就这个问题进行详细讨论。就这个问题进行详细讨论。11-3 11-3 由由IOIO方程求状态方程方程求状态方程 直接模拟法直接模拟法并联模拟法并联模拟法
20、状态变量的多样性状态变量的多样性状态方程的模拟框图状态方程的模拟框图离散时间系统的状态方程离散时间系统的状态方程状态方程的建立一般分为三状态方程的建立一般分为三个步骤：个步骤：确定状态变量；确定状态变量；建立状态方程；建立状态方程；建立输出方程。建立输出方程。如果已经有了系统如果已经有了系统IOIO方程（微分方程），方程（微分方程），如何列出状态方程？方法很多，这里介绍如何列出状态方程？方法很多，这里介绍两种。两种。一、直接模拟法一、直接模拟法)()104()()12198(23teptrppp状态方程形式状态方程形式1：例题例题设状态变量：设状态变量：)()(1trtx)()(2trtx)(
21、)(3trtx)(10)(4)(12)(19)(8)()()()()(12333221tetetxtxtxtxtxtxtxtx则可以得到状态方程则可以得到状态方程)()(1trtx输出方程输出方程 其中出现了激其中出现了激励的导数，使励的导数，使用时不太方便用时不太方便 )(tq)()104()()()()12198(23tqptytetqppp)()(1tqtx)()(2tqtx)()(3tqtx)()(8)(19)(12)()()()()(32133221tetxtxtxtxtxtxtxtx状态方程形式状态方程形式2：首先引入中间变量：首先引入中间变量，将微分方程变为：，将微分方程变为：设
22、状态变量：设状态变量：这种状态变量称为这种状态变量称为相变量相变量。则可以得到状态方：。则可以得到状态方：输出方程：输出方程：)(10)(4)(12txtxty)(100)()()(81912100010)()()(321321tetxtxtxtxtxtxdtd)()()(0410)(321txtxtxty)()()(ttteBxAx)()()(ttteDxCy21010001081912100010aaaA100B 2100410bbbC0D矩阵方式：矩阵方式：其中：其中：)()104()()12198(23teptrppp可见，可见，ABCDABCD矩阵与原微分方程系数的对应关系一矩阵与原
23、微分方程系数的对应关系一目了然，可以推广到任意微分方程。目了然，可以推广到任意微分方程。在微分方程在微分方程转移算子分子的次数转移算子分子的次数m m小于分母的次数小于分母的次数n n的条件下，的条件下，根据微分方程可以直接写出状态方程根据微分方程可以直接写出状态方程。如果上面等式中，如果上面等式中，m=nm=n，则，则 。输出方程为：。输出方程为：其中有其中有 的一阶导数项，不合要求。这时候可以用状态的一阶导数项，不合要求。这时候可以用状态方程中有关方程中有关 的一阶导数的方程代入，可以消去的一阶导数的方程代入，可以消去 的的一阶导数项，得到满足要求的输出方程。一阶导数项，得到满足要求的输出
24、方程。例：例：如果如果mnmn，情况怎样？，情况怎样？03b)()()()()(10213233txbtxbtxbtxbty)(3tx)(3tx)(3tx)()104()()1219(22tepptrpp二、并联模拟法二、并联模拟法复杂系统可以通过部分分式分解，转化为多个简复杂系统可以通过部分分式分解，转化为多个简单系统的并联。如上例：单系统的并联。如上例：)()104()()12198(23teptrppp423111)12198()104()(23ssssssssH对于每个简单的一阶系统，有：对于每个简单的一阶系统，有：)()()(tetyty)()()(tetyty将每个一阶微分方程的输
25、出将每个一阶微分方程的输出y(ty(t)直接看成状态变量。直接看成状态变量。状态方程：状态方程：输出方程为：输出方程为：)()(4)()()(3)()()()(332211tetxtxtetxtxtetxtx)(111)()()(400030001)()()(321321tetxtxtxtxtxtxdtd)(2)()()(321txtxtxty)()()(211)(321txtxtxty因为因为A A矩阵是矩阵是对角线矩阵对角线矩阵，所以这，所以这种状态变量称为对角线变量。种状态变量称为对角线变量。三、状态变量的多样性三、状态变量的多样性从上面可以看到，状态变量在同一个系统中可以从上面可以看到
26、，状态变量在同一个系统中可以有不同的选取方法，可以得到不同的状态方程。有不同的选取方法，可以得到不同的状态方程。可以证明：只要可以证明：只要 存在，状态变量的线性存在，状态变量的线性组合组合 一定可以作为另一组状态变量。一定可以作为另一组状态变量。1GxGz四、状态方程的模拟框图四、状态方程的模拟框图如果引入矩阵加法器、矩阵乘法器、向量如果引入矩阵加法器、矩阵乘法器、向量积分器，就可以构造一阶系统模拟框图。积分器，就可以构造一阶系统模拟框图。五、离散时间系统的状态方程五、离散时间系统的状态方程通过与连续时间系统相似的方法，可以得通过与连续时间系统相似的方法，可以得到离散时间系统的状态方程。它同
27、样也有直到离散时间系统的状态方程。它同样也有直接模拟、并联模拟等多种模拟方法。其基本接模拟、并联模拟等多种模拟方法。其基本形式为：形式为：状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：)()()1(kkkeBxAx)()()(kkkeDxCy11-4 电系统状态方程电系统状态方程状态变量的选取状态变量的选取建立状态方程建立状态方程建立输出方程建立输出方程 对于电系统，理论上讲可以用下面的方法对于电系统，理论上讲可以用下面的方法得到状态方程：得到状态方程：电系统电系统IO方程方程状态方程状态方程但是，这时候的状态变量物理含义模糊。但是，这时候的状态变量物理含义模糊。所以不常使用，而是直接所以不常使用，
28、而是直接KCL或或KVL定理得定理得到状态变量描述。到状态变量描述。一、状态变量的选取一、状态变量的选取状态变量应该在电系统的状态变量应该在电系统的物理量（电压、电流物理量（电压、电流）中选取；中选取；在状态方程中会出现状态变量的导数，所以状态在状态方程中会出现状态变量的导数，所以状态变量的变量的导数最好也是一个物理量导数最好也是一个物理量，这样可以方便状，这样可以方便状态方程的建立。态方程的建立。电感电感L和互感和互感M上的电流、和上的电流、和电容电容C上的电压可以满足这个要求，是可以选取的上的电压可以满足这个要求，是可以选取的对象。对象。每个状态变量同时也必须是相互独立的，不可以每个状态变
29、量同时也必须是相互独立的，不可以用其它状态变量求出；用其它状态变量求出；不独立的电感和互感上不独立的电感和互感上的电流和电容上的电压的情况主要有：串联电感、的电流和电容上的电压的情况主要有：串联电感、并联电容、纯电感节点、纯电容回路。并联电容、纯电感节点、纯电容回路。电系统的状态变量的选取法则是：电系统的状态变量的选取法则是：取电路中全部独立的取电路中全部独立的 、和和 。电系统状态变量的个数（系统的阶数）等电系统状态变量的个数（系统的阶数）等于其于其独立独立的电感、互感和电容数目之和。的电感、互感和电容数目之和。LiMiCu二、状态方程的建立二、状态方程的建立从电路列状态方程的方法：找出每个
30、含有从电路列状态方程的方法：找出每个含有 、和和 的一阶导数的方程（组）。的一阶导数的方程（组）。电感或互感电感或互感:列含有电感或互感列含有电感或互感的回路的回路KVL；电容电容:列含有电容的节点列含有电容的节点KCL；整理方程，使其满足状态方程的标准形式整理方程，使其满足状态方程的标准形式：每一个方程中只能在右边含有一个状态变每一个方程中只能在右边含有一个状态变量的导数。如果多了，必须设法消去；量的导数。如果多了，必须设法消去；每个方程中只能含有状态变量和激励，不每个方程中只能含有状态变量和激励，不能含有非状态变量。如果有，也必须设法消能含有非状态变量。如果有，也必须设法消去；去；LiMi
31、CuLLidtdLu CCudtdCi例题1)1)选取状态变量，这里选取电感电流和电容电压作为状态变量，如图所示。选取状态变量，这里选取电感电流和电容电压作为状态变量，如图所示。2 2）列写状态方程：）列写状态方程：根据含有电感的第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有根据含有电感的第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有根据含有电容的节点根据含有电容的节点P P的节点方程，则有的节点方程，则有 上两式中上两式中 和和 不是状态变量，在状态方程中不应该出现，所以要把它们不是状态变量，在状态方程中不应该出现，所以要把它们表为状态变量。由第一个回路有表为状态变量。由第一个回路有 ，即即 由第三
32、个回路有由第三个回路有 ，即即 把把 和和 分别代入原来两式，并经整理，最后得所求状态方程为分别代入原来两式，并经整理，最后得所求状态方程为112122ixxx31221ixx1i3i1124xie112141xei323ix 2331xi 1i3iexxx21211212322xxxexxxx021322112121三、输出方程的建立三、输出方程的建立用含有用含有状态变量状态变量和和激励激励的方程计算出其它的非状态的方程计算出其它的非状态变量。变量。例如：上题中假设输出为最右边电阻上的电压，则可以得到：例如：上题中假设输出为最右边电阻上的电压，则可以得到：232xy 三、输出方程的建立三、输
33、出方程的建立例题例题 写出图示滤波电路它的状态方程写出图示滤波电路它的状态方程 1 1 确定状态变量确定状态变量,如图。如图。2 2 列状态方程：列状态方程：1 1）列节点或回路方程：）列节点或回路方程：回路的回路方程：回路的回路方程：节点节点P P的节点方程：的节点方程：节点节点Q Q的节点方程：的节点方程：2 2）消去非状态变量）消去非状态变量后两个方程中含有非状态变量后两个方程中含有非状态变量,必须设法消去。必须设法消去。把这些关系代入并整理，得把这些关系代入并整理，得3 3）消去多余的状态变量导数）消去多余的状态变量导数在上面两个等式中都出现了多个状态变量导数，可以通过消元计算消去多余
34、在上面两个等式中都出现了多个状态变量导数，可以通过消元计算消去多余的。的。32CLC321xxLx1122cRixixCs1133cRLiixxCsRRxeis2LRLRxi3)(321111xxCuCiCC1231212xRxexCxCCsLRxxxCCxC3133121其中。这两个等式连同关于的状态方程构成了完整的状态方程：其中。这两个等式连同关于的状态方程构成了完整的状态方程：eCRCCxCRCxCRCCxCCxsLs3131231132eCRCxCRCCxCRCxCCxsLs132121123123221CCCCCCC32111xLxLxeCRCCRCCxxxCRCCCRCCCCRCC
35、RCCCCLLxxxssLsLs131321211213133210110NoteNote三个电容电压中只有两个为独立的，所以只能选用其中之二。三个电容电压中只有两个为独立的，所以只能选用其中之二。为消去写方程时出现的非独立储能元件的电压或电流，就要利为消去写方程时出现的非独立储能元件的电压或电流，就要利用它们和状态变量间的关系用它们和状态变量间的关系如果等式中出现多个状态变量的导数，可以通过消元计算将其如果等式中出现多个状态变量的导数，可以通过消元计算将其消去。消去。11-5 连续时间系统状态方程的连续时间系统状态方程的复频域解法复频域解法矢量矢量LTLT和和L L-1-1T T 状态变量的
36、求解状态变量的求解输出变量的求解输出变量的求解 转移函数矩阵与自然频率转移函数矩阵与自然频率零状态响应与状态过渡矩阵零状态响应与状态过渡矩阵对连续时间系统状态方程的求解过程可以分为以下两步：1.求得状态变量的解；2.根据状态变量的解和输出方程，求得输出变量的解。连续时间系统状态方程也可以通过对等式两边取LT，用复频域方法求解。一、矢量一、矢量LT和和L-1T 矢量（或矩阵）的矢量（或矩阵）的LT和和L-1T，定义为对矢量，定义为对矢量（或矩阵）的各个元素分别求（或矩阵）的各个元素分别求LT和和L-1T。stLtLttL/11)()()()(二、状态变量的求解二、状态变量的求解 对状态方程两边同
37、时取对状态方程两边同时取LT，求解状态方程：，求解状态方程：)()()(tttBeAxx)()()(tLtLtLeBxAx)()()0()(ssssEBXAxX)()0()()(ssssEBxXAX)()0()(sssEBxXAI)()0()(11ssssEBAIxAIX)0()(1xAIXsszi)()(1ssszsEBAIX三、输出变量的求解三、输出变量的求解)()()(ttteDxCy)()0()()()0()()()(1111ssssssssssEDBAICxAICEDEBAICxAICEDXCY四、转移函数矩阵和自然频率四、转移函数矩阵和自然频率)()()()(1ssssszsEHE
38、DBAICYDBAICH1)(ss转移函数矩阵转移函数矩阵 其中的第其中的第i i行第行第j j列元素表示第列元素表示第j j个激励信号对第个激励信号对第i i个响应的作用。个响应的作用。四、转移函数矩阵和自然频率四、转移函数矩阵和自然频率在在IOIO法中，系统的自然频率是系统转移函数特征方程的根，或者法中，系统的自然频率是系统转移函数特征方程的根，或者是系统转移函数的极点。在状态变量法中，系统的自然频率是是系统转移函数的极点。在状态变量法中，系统的自然频率是系系统转移函数矩阵统转移函数矩阵 的极点的极点，也就是使，也就是使 的元素为的元素为的的s s平面平面上的点。上的点。的极点仅与的极点仅
39、与 有关，而：有关，而：当当 时，时，的元素为的元素为 使使 的的s s就是就是H(sH(s)的极点的极点 矩阵矩阵A A的特征值就是的特征值就是H(sH(s)的极点的极点 矩阵矩阵A A的特征值就是系统的自然频率。的特征值就是系统的自然频率。)(sH)(sH)(sH1AIsAIAIAIssadjs)(10AIs)(sH0AIs系统的稳定性系统稳定系统所有的极点都处于s平面的左半平面系统的各个物理量（状态变量和非状态变量）都有限系统一定稳定。如果矩阵的特征值的实部不全小于零系统状态变量一定不稳定，。但是其他物理量未必不稳定。这时候：从IO方程上看，系统似乎是稳定的；但是，系统内部有不稳定的因素
40、，实际上是不稳定的。所以，仅仅从所以，仅仅从IOIO方程判断系统是否稳定是不够的，应该全面方程判断系统是否稳定是不够的，应该全面考虑系统中的所有物理量。只有在矩阵的特征值的实部全部小考虑系统中的所有物理量。只有在矩阵的特征值的实部全部小于零的时候，状态变量稳定，系统才稳定。于零的时候，状态变量稳定，系统才稳定。如前所诉，系统的状态方程存在多样性，同一个系统可以有不同的状态方程，相应的矩阵也各不相同。但是，所有这些不同的状态方程将有一样的特征根。四、转移函数矩阵和自然频率四、转移函数矩阵和自然频率)0()(1xAIXsszi五、零状态响应和状态过渡矩阵五、零状态响应和状态过渡矩阵)0()(1xA
41、IXsszi)0()()0()0()()(11111xxAIxAIXxtsLsLsLtzizi111)()(AI sLsLt状态过渡矩阵或基本矩阵状态过渡矩阵或基本矩阵 例题例题设一系统的状态方程和输出方程为)(3)()()()()(21211txtxtxtetxtx)()(41)(21txtxty1)0(1x2)0(2x)()(tte1.试求此系统的输出响应。2.求出此系统的传输函数、状态转移矩阵和状态转移方程。解：将系统的状态方程和输出方程都写成矩阵形式解：将系统的状态方程和输出方程都写成矩阵形式)(013101)()(2121texxtxtx21141xxy3101A01B141C21)
42、0()0()0(21xxx首先求解系统的响应首先求解系统的响应 310131011001ssssAI31)3)(1(10)1(1)(1sssssAI31472131)3(412131)3)(1(10)1(1141)0()()(1ssssssssszixAICYssssssssssssszs13112110131)3(4110131)3)(1(10)1(1141)()()(1EDBAICY)(473147)()(311tesLsLtytziziY)(1121131121)()(311tessLsLtytzszsY)(122121)()()(3tetytytytzizs系统传输矩阵为系统传输矩阵为)3(410131)3(410131)3)(1(10)1(1141)()(1sssssssssDBAICH状态过渡矩阵状态过渡矩阵 31)3)(1(10)1(1)()(111ssssLsLtAI)()()(410)(33teteetetttt而状态转移方程为而状态转移方程为)0()()(xxtt)0()()()(410)(33xteteetetttt
