1、 - 1 - 一元二次方程及其应用 课前热身课前热身 1如果 2 是一元二次方程 x 2bx20 的一个根，那么常数 b 的值为 2.方程04 2 xx的解_ 3方程 2 40 x 的根是（ ） A2x B2x C 12 22xx ， D4x 4.由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降由原 来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率 为x，则根据题意可列方程为 【参考答案】【参考答案】1.3 2.x1=0, x2=4 3. C 4. 2 16(1)9x 考点聚焦考点聚焦 知识点知识点: : 一元二次方程、解一
2、元二次方程及其应用 大纲要求大纲要求: : 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型考查重点与常见题型: : 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 备考兵法备考兵法 （1） 判断一个方程是不是一元二次方程， 应把它进行整理， 化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0a. （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 考点链接考点链接
3、1 1一元二次方程：一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 - 2 - 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的 系数， 叫做一次项的系数. 2.2. 一元二次方程的常用解法：一元二次方程的常用解法： （1 1）直接开平方法：）直接开平方法：形如)0( 2 aax或)0()( 2 aabx的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2 2）配方法：）配方法：用配方法解一元二次方程0 2 aocbxax的一般步骤是：化二 次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和
4、 一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化 原方程为 2 ()xmn的形式，如果是非负数，即0n，就可以用直接开平方 求出方程的解.如果 n0，则原方程无解. （3 3）公式法：）公式法：一元二次方程 2 0(0)axbxca的求根公式是 2 2 1,2 4 (40) 2 bbac xbac a . （4 4）因式分解法：）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 典例精析典例精析 例例 1 1 （湖南长沙）（湖南
5、长沙） 已知关于x的方程 2 60 xkx的一个根为3x ， 则实数k的值为 （ ） A1 B1 C2 D2 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根，所以将 x=3 代入原方程， 原方程成立，即06332 k成立，解得 k=1。故选 A。 例例 2 2（湖北仙桃）（湖北仙桃）解方程： 2 420 xx 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】 2 42xx 2 4424xx - 3 - 2 (2)2x 22x 22x 122222xx， 例例 3 3（广东省）广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经
6、过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染 请你用学过的知识分析， 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒 得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得： 1+181xx x， 2 181x， 19x 或19x ， 1 8x 或 2 10 x （舍去） ， 33 11 8729700 x 答： 每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑， 3 轮感染后， 被感染的电脑会超过 700 台 【点评】 解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数 的值,是否符合实际意义.凡不满足实际
7、问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去 迎迎考精炼考精炼 一、选择题一、选择题 1.( (湖北武汉湖北武汉) )已知2x是一元二次方程 2 20 xmx的一个解，则m的值是（ ） A3 B3 C0 D0 或3 2.（内蒙古呼和浩特）（内蒙古呼和浩特）用配方法解方程 2 3610 xx ，则方程可变形为（ ） A 2 1 (3) 3 x B 2 1 3(1) 3 x C 2 (31)1x D 2 2 (1) 3 x 3.（河南）（河南）方程 2 x=x的解是 （ ） A.x=1 B.x=0 - 4 - C.x1=1 x2=0 D.x1=1 x2=0 4.（湖南衡阳）（湖南衡阳）两圆的圆心距为 3
8、，两圆的半径分别是方程034 2 xx的两个根，则两 圆的位置关系是 （ ） A相交 B外离 C内含 D外切 5 （湖北黄石）（湖北黄石）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 2 12350 xx的根，则该 三角形的周长为（ ） A14 B12 C12 或 14 D以上都不对 6.（湖北襄樊）（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面 积由现在的人均约为 2 10m提高到 2 12.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ） A9% B10% C11% D12% 二、填空题二、填空题 1.（内蒙古赤峰）（内蒙古赤峰）已知关于 x 的方程 x
9、 2-3x+2k=0 的一个根是 1，则 k= 2.（山东威海）（山东威海）若关于x的一元二次方程 2 (3)0 xkxk的一个根是2，则另一个根 是_ 3.( (浙江温州浙江温州) )方程(x-1) 2=4 的解是 . 4.（广西崇左）广西崇左）分解因式： 2 242xx 5 （山西）（山西）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： 6.（江苏省）（江苏省）某县农民人均年收入为 7 800 元，计划到 2010 年，农民人均年收入达到 9 100 元设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 三、解答题三、解答题 1.（山西省）（山西省）解方程： 2 230 xx 2.（广西梧州）（广西梧州
10、）解方程： 0)3(2)3( 2 xxx - 5 - 3 （甘肃庆阳）（甘肃庆阳）某企业 2006 年盈利 1500 万元，克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元从 2006 年到，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？ 4.( (山东潍坊山东潍坊) )要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化 （1）设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围 的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的 1 4 ，求P
11、、Q两块绿地 周围的硬化路面的宽 （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的 两 等 圆 ， 圆 心 分 别 为 1 O和 2 O， 且 1 O到 ABBCAD、的距离与 2 O到CDBCAD、的 距离都相等，其余为硬化地面，如图所示，这个 设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立， 说明理由 【参考答案】【参考答案】 一、选择题 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B - 6 - 6.B 解析：本题考查方程解决增长率问题，设年增长率x，可列方程 2 10 112.1x，解 得 1 0.110%x ， 2 2.1x （舍去） ，所以年增长率 10%，故选 B。 二、填空题 1
12、.1 2.1 3.x1=3,x2=-1 4. 2 2(1)x 5.答案不唯一，如 2 1x 6. 2 7800(1)9100 x 三、解答题 1.解：移项，得 2 23xx ， 配方，得 2 14x ， 12x ， 12 13xx ， 2.解:0)23)(3(xxx 0)33)(3(xx 03x或033x 即3 1 x或1 2 x 3.解： （1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意，得 2 1500(1)2160 x 解得 12 0.22.2xx ，（不合题意，舍去） 1500(1)1500(1 0.2)1800 x 答：2007 年该企业盈利 1800 万元 （2） 2160(10.2)2592 答：预计该企业盈利 2592 万元 4.解： （1）设PQ、两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得： 1 (603 ) (402 )60 40 4 xx 解之，得： 12 1030 xx， 经检验， 2 30 x 不符合题意，舍去 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米 - 7 - （2）设想成立设圆的半径为r米， 1 O到AB的距离为y米，根据题意，得： 240 2260 y yr 解得：2010yr，符合实际 所以，设想成立，此时，圆的半径是 10 米
