1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 12：数学思想方法之归纳探讨：数学思想方法之归纳探讨 数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律 性问题就是根据新课程标准“创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之 中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规 律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终” 的要求，近年中考数学经常出现的考题。 归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出
2、 了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特 殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力， 以及探究能力和创新能力。 结合全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法： （1）根据数的排列或运 算规律归纳； （2）根据式的排列或运算规律归纳； （3）根据图的变化规律归纳； （4）根据寻找的循 环规律归纳； （5）根据代数式拆分规律归纳； （6）根据一阶递推规律归纳； （7）根据二阶递推规律 归纳； （8）根据乘方规律归纳。 一、一、根据数的根据数的排列排列或或运算规律归运算规律归
3、纳：纳： 典型例题：典型例题： 例例 1. （广东（广东肇庆肇庆 3 分）分）观察下列一组数： 3 2 ， 5 4 ， 7 6 ， 9 8 ， 11 10 ， ，它们是按一定规律排列的， 那么这一组数的第 k 个数是 【答案】【答案】 2k 2k+1 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律： 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数， 第 k 个数分子是 2k，分母是 2k+1。这一组数的第 k 个数是 2k 2k+1 。 例例 2. （福建三明（福建三明 4 分）分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 【
4、答案】【答案】900。 2 【考点】【考点】分类归纳（数字变化类） 。 【分析】【分析】寻找规律： 上面是 1，2 ，3，4，；左下是 1，4=22，9=32，16=42，； 右下是：左下数字减上面数字差的平方： （11）2， （42）2， （93）2， （164）2， a=（366）2=900。 例例 3. （湖北恩施（湖北恩施 4 分）分）观察数表 根据表中数的排列规律，则 B+D= 【答案】【答案】23。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】【分析】仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字 从左至右相加等于最上而的一个数字， 1+4+3=B，1+7+D+10+1=3
5、4。 B=8，D=15。 B+D=8+15=23。 例例 4. （四川（四川巴中巴中 3 分）分）观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，根据你发现的规律，第 2014 个数是 【答案】【答案】2014。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】【分析】1，2，3，4，5，6，规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数 是负数， 第 2014 个数是：2014。 3 例例 5. （辽宁丹东辽宁丹东 3 分）分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第 10 个图形 有 个五角星. 【答案】【答案】120。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） 。
6、 【分析】【分析】寻找规律：不难发现， 第 1 个图形有 3=221 个小五角星；第 2 个图形有 8=321 个小五角星；第 3 个图形有 15=421 个小五角星；第 n 个图形有（n1）21 个小五角星。 第 10 个图形有 1121=120 个小五角星。 例例 6. （贵州遵义（贵州遵义 4 分）分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数： 2481632 , 5711 1935 ， ， ，小亮猜想出第六 个数字是 64 67 ，根据此规律，第 n 个数是 【答案】【答案】 n n 2 2 +3 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】【分析】分数的分子分别是：2 2=4，
7、23=8，24=16，2n。 分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，2n3。 第 n 个数是 n n 2 2 +3 。 例例 7. （黑龙江大庆（黑龙江大庆 3 分）分）已知 l 2 =1，l1 2 =121，l11 2 =12321，则依据上述规律， 2 81 1111 个 的计算结果 中，从左向右数第 12 个数字是 . 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。119281 【分析】【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从 1 开始的连续的自然数再逐渐减小至 1，且中间的 自然数与底数的 1 的个数相同，根据此规律写出即可得解：
8、 12=1，112=121，1112=12321， 2 81 1111 个 =123456787654321，所以 2 81 1111 个 的第 12 个数字是 4。 例例 8. （湖南益阳（湖南益阳 10 分）分）观察图形，解答问题： 4 （1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图 图 图 三个角上三个数的积 1 （1） 2=2 （3） （4） （5）=60 三个角上三个数的和 1+（1）+2=2 （3）+（4）+（5）=12 积与和的商 2 2=1， （2）请用你发现的规律求出图中的数 y 和图中的数 x 【答案】【答案】解： （1）填表如下： 图 图 图 三个角上三个数的积 1 （1）
9、 2=2 （3） （4） （5）=60 （2） （5） 17=170 三个角上三个数的和 1+（1）+2=2 （3）+（4）+（5）=12 （2）+（5）+17=17 积与和的商 2 2=1 （60） （12）=5 170 10=17 （2）图：5 （8） （9）=360，5+（8）+（9）=1， y=360 （12）=30。 图：由（1 x 3） （1x3）=3，解得 x=2。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】【分析】 （1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格； （2）根据图可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出 x、 y 的值。
10、例例 9. （浙江丽水（浙江丽水、金华、金华 3 分）分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3， 6，9，12，称为三角形数类似地，图 2 中的 4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数 又是正方形数的是【 】 A2010 B C2014 D2016 【答案】【答案】D。 5 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） 。 【分析】【分析】观察发现，三角数都是 3 的倍数，正方形数都是 4 的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一 定是 12 的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解： 2010 121676， 121678，2014 1216710，
11、2016 12168， 2016 既是三角形数又是正方形数。故选 D。 例例 10. （贵州毕节（贵州毕节 5 分）分） 在下图中， 每个图案均由边长为 1 的小正方形按一定的规律堆叠而成， 照此规律， 第 10 个图案中共有 个小正方形。 【答案】【答案】100。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） 。 【分析】【分析】寻找规律： 第 1 个图案中共有 1=12个小正方形；第 2 个图案中共有 4=22个小正方形； 第 3 个图案中共有 9=32个小正方形；第 4 个图案中共有 16=42个小正方形； 第 10 个图案中共有 102=100 个小正方形。 练习题：练习题： 1. （山东
12、潍坊（山东潍坊 3 分）分）下图中每一个小方格的面积为 l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+(2n 1)= .(用 n 表示，n 是正整数) 2. （江苏江苏南京南京 2 分）分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定： 甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1、2、3、4，接着甲报 5、乙报 6按此规律，后一位同 学报出的数比前一位同学报出的数大 1，当报到的数是 50 时，报数结束； 6 若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 3. （辽宁沈阳（辽宁沈阳 4 分）分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表 输入数据 1 2 3
13、 4 5 输出数据 2 3 4 5 6 7 8 9 a 根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是 4. （辽宁本溪（辽宁本溪 3 分）分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 。 5. （江苏扬州（江苏扬州 3 分）分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则 这六个数的和为 6. （山东（山东菏泽菏泽 3 分分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 7. （四川广元（四川广元 5 分）分）已知一组数为：1， 3 4 ， 5 9 ， 7 16， 9 25，按此规律用代数式表示第 n 个数为 8. （云南大理、楚雄
14、、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧 3 分）分）下面是按一定规律排列的一列数： 2 3 ， 4 5 ， 8 7 ， 16 9 ，那么第n个数是 . 9. （贵州六盘水（贵州六盘水 4 分）分）有一列数： 3 1 ， 5 2 ， 7 3 ， 9 4 ，则它的第 7 个数是 ;第 n 个数 是 。 10. （浙江省（浙江省 3 分）分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图 A2比图 A1多出 2 个“树枝”， 图 A3比图 A2多出 4 个“树枝”， 图 A4比图 A3多出 8 个“树枝”，照此规律，图 A6比图 A2多
15、出“树枝”【 】 A.28 B.56 C.60 D. 124 7 二、根据式的二、根据式的排列排列或或运算规律归运算规律归纳纳： 典型例题：典型例题： 例例 1. （江苏盐城（江苏盐城 3 分）分）已知整数 1234 ,a a a a 满足下列条件： 1 0a , 21 |1|aa , 32 |2|aa , 43 |3|aa ,依次类推，则 2012 a的值为【 】 A1005 B1006 C1007 D2012 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 【分析】【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分n是奇数和偶数讨论： ： 1 0a ， 21 |1|= 1aa
16、， 32 |2| 1 2|= 1aa ， 43 |3|= | 1 3|=2aa ， 54 |4|= | 24|=2aa ， 65 |5|= | 25|=3aa ， 76 |6|= | 36|=3aa ， 87 |7|= | 37|=4aa ， ， 当n是奇数时， 1 = 2 n n a ，n是偶数时，= 2 n n a 。 2012 2012 = 1006 2 a。故选 B。 例例 2. （浙江浙江台州台州 5 分分）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“ab”，使得下列算式成立： 12=21=3， （3）（4）=（4）（3）= ， （3）5=5（3）=， 你规定的新运算 ab= （
17、用 a，b 的一个代数式表示） 【答案】【答案】 2a+2b ab 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，新定义。 8 【分析】【分析】寻找规律： 2 1+2 2723 +24 122133443= 1 2634 （）（） ，（） （）（） （） （）（） ， 2 5+234 3553= 1553 （）（） （） ， 2a+2b ab ab 。 例例 3. （江苏泰州（江苏泰州 3 分）分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x， 2 3x， 3 5x， ， 5 9x， 【答案】【答案】 4 7x。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】【分析】寻找规律，代数式的系
18、数为 1，3，5，7，9， ，是奇数排列；代数式字母x的指数为 1，2，3， 4，5， ，是自然数排列。所以在横线上的代数式是 4 7x。 例例 4. （湖南株洲（湖南株洲 3 分）分）一组数据为：x，2x2，4x3，8x4，观察其规律，推断第 n 个数据应为 【答案】答案】n 1 n 2x 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】【分析】寻找规律： （1）单项式的系数为 1，2，3，4 ，即 n 为奇数时，系数为正数，n 为偶数时， 系数为负数，系数的绝对值为 n 1 2 ，即系数为n 12 ； （2）单项式的指数为 n。 第 n 个数据应为n 1 n 2x 。 例例 5.
19、 （湖南衡阳（湖南衡阳 3 分）分）观察下列等式 sin30 = 1 2 cos60 = 1 2 sin45 = 2 2 cos=45 = 2 2 sin60 = 3 2 cos30 = 3 2 根据上述规律，计算 sin2a+sin2（90 a）= 【答案】【答案】1。 【考点【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。 9 【分析】【分析】根据可得出规律，即 sin2a+sin2（90a）=1，继而可得出答案 由题意得，sin230 +sin2（90 30 ）= sin230 +sin260 = 13 +=1 44 ； sin245 +sin2（90 45 ）= sin245
20、 +sin245 = 11 +=1 22 ； sin260 +sin2（90 60 ）= sin260 +sin230 = 31 +=1 44 ； sin2a+sin2（90 a）=1。 例例 6. （四川（四川凉山凉山 5 分）分）对于正数x，规定 1 f(x) 1x ，例如： 11 f(4) 145 ， 114 f( ) 1 45 1 4 ， 则 111 f(2012)f(2011)f(2)f(1)f( )f()f() 220112012 。 【答案】【答案】2011.5。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。 【分析】【分析】寻找规律： 当 x=1 时，f（1）= 1
21、 2 ； 当 x=2 时，f（2）= 1 3 ，当 x= 1 2 时，f（ 1 2 ）= 2 3 ，f（2）f（ 1 2 ）=1； 当 x=3 时，f（3）= 1 4 ，当 x= 1 3 时，f（ 1 3 ）= 3 4 ，f（3）f（ 1 3 ）=1； 当 x= n 时，f（3）= 1 n+1 ，当 x= 1 n 时，f（ 1 n ）= n n+1 ，f（n）f（ 1 n ）=1。 11111 f(n)f(n1)f(2)f(1)f( )f()f( )n1+=n 2n1n22 。 当 x= 时， 111 f(2012)f(2011)f(2)f(1)f( )f()f()2011.5 2201120
22、12 。 例例 7. （四川（四川资阳资阳 3 分）分）观察分析下列方程： 2 x3 x ， 6 x5 x ， 12 x7 x ；请利用它们所蕴 含的规律，求关于 x 的方程 2 n +n x2n+4 x3 （n 为正整数）的根，你的答案是： 【答案】【答案】x=n+3 或 x=n+4。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。 【分析】【分析】求得分式方程的解，寻找得规律： 由得，方程的根为：x=1 或 x=2， 由得，方程的根为：x=2 或 x=3， 10 由得，方程的根为：x=3 或 x=4， 方程 ab xab x 的根为：x=a 或 x=b， 2 n +n x2n+4
23、 x3 可化为 n n+1 x3n+ n+1 x3 。 此方程的根为：x3=n 或 x3=n+1，即 x=n+3 或 x=n+4。 例例 8. （辽宁沈阳辽宁沈阳 4 分）分）有一组多项式：ab2，a2b4，a3b6，a4b8，请观察它们的构成规律，用 你发现的规律写出第 10 个多项式为 . 【答案】【答案】a10b20。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，多项式。 【分析】【分析】第 1 个多项式为：a1b2 1，第 2 个多项式为：a2b2 2，第 3 个多项式为：a3b2 3，第 4 个多 项式为：a4b2 4， 第 n 个多项式为：an（1）n+1b2n。 第 10 个多项
24、式为：a10b20。 例例 9. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）观察下列数： 2345 1111 , xxxx ，按此规律排列，第十个数为 【答案】【答案】 11 1 x 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】【分析】寻找规律：观察可知，这个代数式的第 n 个数的符号是 n+1 1（），分子是 1，分母 x 的指数是项 数加 1，所以，这个代数式为 n+1 n+1 1 1 x （），当 n=10 时，这个代数式为 10+1 10+111 11 1= xx （）。 例例 10. （贵州六盘水（贵州六盘水 4 分）分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角
25、”它的发现比西方要 早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如 它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式中 a 按次数从大到小排列的项的系数。 例如， 222 aba2abb（）展开式中的系数 1、2、1 恰好对应图中第三行的数字； 再如， 33223 aba3a b3abb（）展开式中的系数 1、3、3、1 恰好对应图中第四行的数字。 请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式， （a+b）4= 11 【答案】【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，完全平方公式
26、。 【分析】【分析】由（a+b）=a+b， （a+b）2=a2+2ab+b2， （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系 数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n 1 的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项 系数依次为 1、4、6、4、1。如图： （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 例例 11.（广东珠海（广东珠海 9 分）分）观察下列等式： 12 231=132 21， 13 341=143 31， 23 352=253 32， 34 473=374 43， 62 286=682 26， 以上每个等式中两边数
27、字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我 们称这类等式为“数字对称等式” （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： 52 = 25； 396=693 12 （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2a+b9，写出表示“数字对称等式”一般 规律的式子（含 a、b） ，并证明 例例 12.（广东佛山（广东佛山 10 分）分）规律是数学研究的重要内容之一 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置 关系特征等方面 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数 a 用整
28、数 n 表示的式子； (2)写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子； 13 (3)函数的研究中，应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说 明函数的数值规律) 下面对函数 y=x2的某种数值变化规律进行初步研究： 由表看出，当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时，y 的值依次增加 1，3，5. 请回答： 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时，y 的值变化规律是什么？ 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时，y 的值变化规律是什么？ 【答案】【答案】解： （1）n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+
29、1。 （2）有理数 b= m n （n0） 。 （3）当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时，列表如下： 故当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时，y 的值依次增加 1 4 、 3 4 、 5 4 2i 1 4 。 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时，列表如下： 故当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时，y 的值依次增加 2 1 n 、 2 3 n 、 2 5 n 2 2i1 n 。 xi 0 1 2 3 4 5 . yi 0 1 4 9 16 25 . yi+1yi 1 3 5 7 9 11 . xi 0 1 2 1 3 2 2 5 2 .
30、 yi 0 1 4 1 9 4 4 25 4 . yi+1yi 1 4 3 4 5 4 7 4 9 4 11 4 . xi 0 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n . yi 0 2 1 n 2 4 n 2 9 n 2 16 n 2 25 n . yi+1yi 2 1 n 2 3 n 2 5 n 2 7 n 2 9 n 2 11 n . 14 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，二次函数的性质，实数。 【分析】【分析】 （1）n 是任意整数，偶数是能被 2 整除的数，则偶数可以表示为 2n，因为偶数与奇数相差 1，所 以奇数可以表示为 2n+1。 （2） 根据有理数是整数与分数的统称
31、， 而所有的整数都可以写成整数的形式， 据此可以得到答案。 （3）根据图表计算出相应的数值后即可看出 y 随着 x 的变化而变化的规律。 练习题：练习题： 1. （黑龙江大庆（黑龙江大庆 3 分）分）已知下列等式：112，12122，1232132， 根据以上等式，猜想： 对于正整数 n(n4)，12(n1)n(n1)21 2. （广西（广西贵港贵港 2 分分）若记 yf(x) x2 1x2，其中 f(1)表示当 x1 时 y 的值，即 f(1) 12 112 1 2；f( 1 2) 表示当 x1 2时 y 的值，即 f( 1 2) (1 2) 2 1(1 2) 2 1 5； 则 f(1)f(
32、2)f(1 2)f(3)f( 1 3)f()f( 1 2011)_ 3. （广东广东湛江湛江 4 分分）若：A32=3 2=6，A53=5 4 3=60，A54=5 4 3 2=120，A64=6 5 4 3=360，观察 前面计算过程，寻找计算规律计算 A73= （直接写出计算结果） ，并比较 A103 A104（填“”或“” 或“=”） 4. （四川雅安（四川雅安 3 分）分）在一列数., 321 aaa中， 1 1a ， 7 4 . 342312 aaaaaa，则 15 a 5. （四川四川成都成都 4 分）分）设 1 22 11 =1 12 S, 2 22 11 =1 23 S, 3
33、22 11 =1 34 S, 22 11 =1 (1) n S nn 设 12 . n SSSS，则 S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数） 6. （辽宁营口（辽宁营口 3 分）分）观察下列数据：x 3， x3 5 ，x 5 7 ，x 7 9， x9 11，它们是按一定规律排列的，依照此规律第 n 个数据是 _(用含 n 的式子表示) 7. （云南曲靖（云南曲靖 3 分）分）将一列整式按某种规律排成 x,2x2,4x3,8x4,16x5则排在第六个位置的整式为 ； 8. （贵州铜仁（贵州铜仁 4 分）分） 观察一列单项式：a， 2 2a， 3 4a， 4 8a， 根据你发现的规律，第 7
34、 个单项 式为 ；第n个单项式为 15 9. （ 福 建 莆 田（ 福 建 莆 田 4 分 ）分 ） 已 知 函 数 2 ( )1f x x ， 其 中( )f a表 示 当xa时 对 应 的 函 数 值 ， 如 222 (1)1(2)1( )1 12 fff a a ，则(1)(2)(3). (100)ffff= 。 10. （湖南益阳（湖南益阳 8 分）分）观察下列算式： 1 3 22 = 3 4 = 1 2 4 32 = 8 9 = 1 3 5 42 = 15 16 = 1 （1）请你按以上规律写出第 4 个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式
35、子一定成立吗？并说明理由 三、三、根据图的变化规律归纳：根据图的变化规律归纳： 典型例题：典型例题： 例例 1. （四川（四川自贡自贡 3 分）分）一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM 的中点 M3处， 第二次从 M3跳到 OM3的中点 M2处， 第三次从点 M2跳到 OM2的中点 M1处， 如此不断跳动下去， 则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为【 】 A n 1 2 B n 1 1 2 C n 1 1 ( ) 2 D n 1 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。 【分析】【分析】OM=1，第一次跳动到
36、 OM 的中点 M3处时，OM3= 1 2 OM= 1 2 。 同理第二次从 M3点跳动到 M2处，即在离原点的（ 1 2 ）2处， 同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的 n 1 2 处。故选 D。 例例 2. （山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3 3 个位置相邻的 9 个 数(如 6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这 9 个数 的和为【 】 16 A32 B126 C135 D144 【答案】答案】D。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，一元二次方程的应用。 【分
37、析】【分析】由日历表可知，圈出的 9 个数中，最大数与最小数的差总为 16，又已知最大数与最小数的积为 192，所以设最大数为 x，则最小数为 x16。 x（x16）=192，解得 x=24 或 x=8（负数舍去） 。 最大数为 24，最小数为 8。 圈出的 9 个数为 8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为 144。故选 D。 例例 3. （广东深圳（广东深圳 3 分）分）如图，已知：MON=30o，点 A1、A2、A3 在射线 ON 上，点 B1、B2、B3 在 射线 OM 上， A1B1A2. A2B2A3、 A3B3A4均为等边三角形， 若 OA1=l， 则A6B6A7
38、 的边长为 【 】 A6 B12 C32 D64 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 【分析】【分析】如图，A1B1A2是等边三角形， A1B1=A2B1，3=4=12=60 。2=120 。 MON=30 ，1=180 120 30 =30 。 又3=60 ，5=180 60 30 =90 。 MON=1=30 ，OA1=A1B1=1。A2B1=1。 A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10=60 ，13=60 。 17 4=12=60 ，A1B1A2B2A3B3，
39、B1A2B2A3。 1=6=7=30 ，5=8=90 。A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。 A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即A6B6A7 的边长为 32。故选 C。 例例 4. （浙江（浙江绍兴绍兴 4 分）分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有 3 棵树，相邻的 树与树， 树与灯间的距离是 10cm， 如图， 第一棵树左边 5cm 处有一个路牌， 则从此路牌起向右 510m550m 之间树与灯的排列顺序是【 】 A BCD 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】分类归
40、纳（图形的变化类） ，解一元一次不等式。 【分析】【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为 10 米， 第二个灯的里程数为 50， 第三个灯的里程数为 90 米 第 n 个灯的里程数为 10+40（n1）=（40n30）米， 由51040n 30550，解得 11 13n14 22 ，n=14。 当 n=14 时，40n30=530 米处是灯， 则 510 米、520 米、540 米处均是树。 从此路牌起向右 510m550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选 B。 例例 5. （浙江（浙江绍兴绍兴 4 分）分）如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中
41、点，第 1 次将纸 片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与 点 D1重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2重合，折痕 与 AD 交于点 P3；设 Pn1Dn2的中点为 Dn1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn1重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2） ，则 AP6的长为【 】 18 A 5 12 5 3 2 B 6 9 3 5 2 C 6 14 5 3 2 D 7 11 3 5 2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】分类归纳（图形
42、的变化类） ，翻折变换（折叠问题） 。 【分析】【分析】由题意得，AD= 1 2 BC= 5 2 ，AD1=ADDD1=15 8 ，AD2= 2 5 5 3 2 ，AD3= 3 7 5 3 2 ，ADn= 21 5 3 2 n n 。 故 AP1= 5 4 ，AP2= 15 16 ，AP3= 2 6 5 3 2 APn= 1 2 5 3 2 n n 。 当 n=14 时，AP6= 5 12 5 3 2 。故选 A。 例例 6. （湖北荆门（湖北荆门 3 分）分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连接菱形各边 的中点，得到一个新的矩形，如图；然后顺次连接新的矩形各边的中点
43、，得到一个新的菱形，如图； 如此反复操作下去，则第个图形中直角三角形的个数有【 】 A 8048 个 B 4024 个 C 个 D 1066 个 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） 。 【分析】【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律： 第 1 个图形，有 4 个直角三角形，第 2 个图形，有 4 个直角三角形， 第 3 个图形，有 8 个直角三角形，第 4 个图形，有 8 个直角三角形， ， 依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1） ，当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个， 所以，第个图形中直角三角形的个数是 2 =4024。故
44、选 B。 19 例例 7. （山东烟台（山东烟台 3 分）分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的 小菱形的个数可能是【 】 A3 B4 C5 D6 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） 。 【分析】【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为 5： 故选 C。 例例 8. （山东淄博（山东淄博 4 分）分）骰子是 6 个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6 的小立方体，它任意两对面上所 写的两个数字之和为 7将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为 6 摆成一个几何体， 这个几何体的三视图如图所示已知图中所标注的是部分
45、面上的数字，则“”所代表的数是【 】 (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】【答案】 B。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） ，几何体的三视图。 【分析】【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为 7，相接触的两个面上的数字的积为 6，结合左视图知，几何体下面 5 个小立方体的左边的数字是 1，右边的数字是 6；结 合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是 3，反面的数字是 4；根据相接 触的两个面上的数字的积为 6， 几何体右下方的小立方体上面的数字只能是 2 （如图） 。 20 根据相接触的两个面上的数字的积为 6，几何体右上方的小立方体下面的数字是 3；根据任意两
46、对 面上所写的两个数字之和为 7，几何体右上方的小立方体上面的数字是 4。 俯视图上“”所代表的数是 4。故选 B。 例例 9. （浙江（浙江绍兴绍兴 5 分）分）如图，矩形 OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移， 每次平移 1 个单位，若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝 对值为 0.6，则第 n 次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对 值为 （用含 n 的代数式表示） 【答案】【答案】 14 5n(n1) 或 6 5n(n1) 。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） ，反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法， 曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】设反比例函数解析式为 k y x ，则 与 BC，AB 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为 0.6 和反比例函数关 于yx对称的性质，得 与 AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4） ，代入 k y x ，得1.4 2 k ，解得 14 5 k 。 反比例函数解析式为 14 5
