1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 8：几何最值问题解法探讨：几何最值问题解法探讨 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1） 应用两点间线段最短的公理 （含应用三角形的三边关系） 求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边一、应用两点间线段最短的
2、公理（含应用三角形的三边关系）求最值：关系）求最值： 典型例题：典型例题： 例例 1. （山东济南（山东济南 3 分）分）如图，MON=90 ，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中， 点 D 到点 O 的最大距离为【 】 A21 B5 C 145 5 5 D 5 2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ODOE
3、+DE， 当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，AB=2，BC=1，OE=AE= 1 2 AB=1。 DE= 2222 ADAE112， OD 的最大值为：21。故选 A。 例例 2.（湖北鄂州（湖北鄂州 3 分）分）在锐角三角形 ABC 中，BC=24，ABC=45 ，BD 平分ABC，M、 N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 。 2 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定 义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接
4、 EM。 ABC 的平分线交 AC 于点 D，EBM=NBM。 在AME 与AMN 中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM， BMEBMN（SAS） 。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。 又CM+MN 有最小值，当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值。 BC=4 2，ABC=45 ，CE 的最小值为4 2sin450=4。 CM+MN 的最小值是 4。 例例 3.（四川凉山（四川凉山 5 分）分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9 cm，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的 点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为
5、 cm。 【答案】【答案】15。 【考点】【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。 【分析】【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面 圆周长、1 3 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4 cm，1 3 高为 3 cm，根据勾股定理，得斜线长为5 cm，根据平行四边形的性质，棉线 最短为15 cm。 例例 4. （四川眉山（四川眉山 3 分）分）在ABC 中，AB5，AC3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 3 【答案】【答案】1AD4。 【考点】【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。 【分析】【分析】延长 AD 至 E，使
6、DE=AD，连接 CE根据 SAS 证明ABDECD， 得 CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解： 延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE。 BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS） 。 CE=AB。 在ACE 中，CEACAECEAC，即 22AD8。 1AD4。 练习题：练习题： 1. （湖北荆门（湖北荆门 3 分）分）如图，长方体的底面边长分别为 2cm和 4cm，高为 5cm.若一只蚂蚁从 P 点开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.（四川广安（四川广安
7、3 分）分）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上 一点，且 PC= 2 3 BC一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【 】 A、 6 (4) B、5cm C、3 5 D、7cm 3.（广西（广西贵港贵港 2 分分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点， 点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 _ 4 二、应用垂线段最短的性质求最值：二、应用垂线段最短的性质求最值： 典型例题：典型例题： 例例 1. （山东莱芜（山
8、东莱芜 4 分）分）在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 【答案】【答案】 24 5 。 【考点】【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当 BPAC 时，BP 取得最小值。 设 AP=x，则由 ABAC5 得 CP=5x， 又BC6，在 RtAB P和 RtCBP中应用勾股定理，得 222222 BPABAPBPBCCP ，。 2222 ABAPBCCP ，即2 222 5x66x，解得 7 x= 5 。 2 2 757624 BP5= 5255 ，即 BP 的最小值是 24 5 。 例例 2.
9、（浙江（浙江台州台州 4 分）分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120 ，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】 A 1 B3 C 2 D31 【答案】【答案】B。 5 【考点】【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角 三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】分两步分析： （1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的 对称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K
10、1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此时的 K1就是使 PK+QK 最小的位置。 （2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上，即不论点 P 在 BC 上 任一点，点 P1总在 AB 上。 因此， 根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质， 得， 当 P1QAB 时 P1Q 最短。 过点 A 作 AQ1DC 于点 Q1。 A=120 ，DA Q1=30 。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=AD cos300= 3 23 3 。 综上所述，PK+QK 的最小值为
11、3。故选 B。 例例 3.（江苏（江苏连云港连云港 12 分）分）已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1， AB2，BC3， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能 否相等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存 在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE， 请探究对角线 PQ 的
12、长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平 6 行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请 说明理由 【答案】【答案】解：问题 1：对角线 PQ 与 DC 不可能相等。理由如下： 四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形， DPC90 。 AD1，AB2，BC3，DC22。 设 PBx，则 AP2x， 在 RtDPC 中，PD2PC2DC2，
13、即 x232(2x)2128，化简得 x22x30， (2)24 1 380，方程无解。 不存在 PBx，使DPC90 。对角线 PQ 与 DC 不可能相等。 问题 2：存在。理由如下： 如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G， 则 G 是 DC 的中点。 过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H。 ADBC， ADCDCH， 即ADPPDGDCQQCH。 PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。 又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS） 。ADHC。 AD1，BC3，BH4， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4。 问题 3：存在。理由如下
14、： 如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ，PDDE， DGPD1 = GCCQ2 。 G 是 DC 上一定点。 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H， 同理可证ADPQCH，RtADPRtHCQ。 ADPD1 = CHCQ2 。 AD1，CH2。BHBGCH325。 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5。 问题 4：如图 3，设 PQ 与 AB 相交于点 G， 7 PEBQ，AEnPA， PAAG1 = BQBGn+1 。 G 是 DC 上一定点。 作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K。 ADBC，ABBC， DQH
15、C，DAPPAGQBHQBG90 PAGQBG， QBHPAD。ADPBHQ， ADPA1 = BHBQn+1 ， AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。 过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形。 BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。 DCM45 。KCH45 。 CKCHcos45 2 2 (n4)， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为 2 2 (n4)。 【考点】【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】【分析】问题 1：
16、四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，然后利 用矩形的性质，设 PBx，可得方程 x232(2x)218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对 角线 PQ，DC 的长不可能相等。 问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，可得 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，易证得 RtADPRtHCQ，即可求得 BH4，则可得当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4。 问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PDDE，可得 DGPD1 = GCCQ2 ，易证得 RtA
17、DPRtHCQ，继而求得 BH 的长，即可求得答案。 问题 4：作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，易证得 ADPA1 = BHBQn+1 与ADPBHQ，又由DCB45 ，可得CKH 是等腰直角三角形，继而可求得 CK 的值，即可求得答案。 8 例例 4.（四川（四川广元广元 3 分）分） 如图，点 A 的坐标为（-1，0） ，点 B 在直线yx上运动，当线段 AB 最短 时，点 B 的坐标为【 】 A.（0，0） B.（ 2 1 ， 2 1 ） C.（ 2 2 ， 2 2 ） D.（ 2 2 ， 2 2 ） 例例 5.（四川乐山（四川乐
18、山 3 分）分）如图，在ABC 中，C=90 ，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、 BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中， 有下列结论： DFE 是等腰直角三角形； 四边形 CEDF 不可能为正方形； 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】 9 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】【分析】连
19、接 CD（如图 1） 。 ABC 是等腰直角三角形， DCB=A=45 ， CD=AD=DB。 AE=CF，ADECDF（SAS） 。 ED=DF，CDF=EDA。 ADE+EDC=90 ，EDC+CDF=EDF=90 。 DFE 是等腰直角三角形。 故此结论正确。 当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于 1 2 BC。 四边形 CEDF 是平行四边形。 又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。 又C=90 ，四边形 CEDF 是正方形。 故此结论错误。 如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，于点 M，N， 由，
20、知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。 由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL） 。 由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。 四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 由，DEF 是等腰直角三角形，DE=2EF。 当 DF 与 BC 垂直， 即 DF 最小时， EF 取最小值 22。 此时点 C 到线段 EF 的最大距离为2。 故此结论正确。 10 故正确的有 2 个：。故选 B。 例例 6.（四川（四川成都成都 4 分）分）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进
21、行裁剪和拼图： 第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使 用)； 第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M， 线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180 ，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右 侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180 ，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的 四边形纸片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个
22、四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm 【答案】【答案】20；12+4 13。 【考点】【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。 【分析】【分析】画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2的示意图，如答图 1 所示。 图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC， M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形 中位线定理） 。 又M1M2N1N2，四边形 M1N1N2M2是一个平行四边形， 其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。 BC=6 为定值，四边形的周长取决于 MN 的大小。 如答图 2 所示，是剪拼之前的
23、完整示意图。 过 G、 H 点作 BC 边的平行线， 分别交 AB、 CD 于 P 点、 Q 点， 则四边形 PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD 的一半。 M 是线段 PQ 上的任意一点，N 是线段 BC 上的任意一点， 11 根据垂线段最短，得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离，即 MN 最小值为 4； 而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度，即 2222 PBBC462 13。 四边形 M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN， 四边形 M1N1N2M2周长的最小值为 12+2 4=20；最大值为 12+22 13=12+4 13。 例例 7.
24、（四川乐山（四川乐山 3 分）分）如图，在ABC 中，C=90 ，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、 BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中， 有下列结论： DFE 是等腰直角三角形； 四边形 CEDF 不可能为正方形； 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分
25、析】【分析】连接 CD（如图 1） 。 ABC 是等腰直角三角形， DCB=A=45 ， CD=AD=DB。 AE=CF，ADECDF（SAS） 。 ED=DF，CDF=EDA。 ADE+EDC=90 ，EDC+CDF=EDF=90 。 DFE 是等腰直角三角形。 故此结论正确。 当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于 1 2 BC。 四边形 CEDF 是平行四边形。 又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。 12 又C=90 ，四边形 CEDF 是正方形。 故此结论错误。 如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，
26、于点 M，N， 由，知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。 由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL） 。 由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。 四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 由，DEF 是等腰直角三角形，DE=2EF。 当 DF 与 BC 垂直， 即 DF 最小时， EF 取最小值 22。 此时点 C 到线段 EF 的最大距离为2。 故此结论正确。 故正确的有 2 个：。故选 B。 例例 8. （浙江（浙江宁波宁波 3 分）分）如图，ABC 中，BAC=60 ，ABC=45 ，AB=
27、22，D 是线段 BC 上的一个 动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 【答案】【答案】3。 【考点】【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数 值。 【分析】【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，此时线段 EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60 ， 当半径 OE 最短时， EF 最短。 如图， 连接 OE， OF， 过 O 点作 OHEF， 垂足为 H。 在 RtADB 中，ABC=45 ，AB=22， AD=BD=2
28、，即此时圆的直径为 2。 13 由圆周角定理可知EOH= 1 2 EOF=BAC=60 ， 在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=1 33 = 22 。 由垂径定理可知 EF=2EH=3。 例例 9. （四川（四川自贡自贡 12 分）分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120 ，AEF 为正三角形，点 E、 F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合 （1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；
29、如果变化，求出最大（或最小）值 【答案】【答案】解： （1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120 ， BAE+EAC=60 ，FAC+EAC=60 ， BAE=FAC。 BAD=120 ，ABF=60 。 ABC 和ACD 为等边三角形。 ACF=60 ，AC=AB。ABE=AFC。 在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF（ASA） 。BE=CF。 （2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下： 由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF。 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SAB
30、E=SABC，是定值。 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2， 22 AECFABC 11 SSBC AHBCABBH4 3 22 四形边 。 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 14 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形AECFSAEF 22 1 4 32 32 333 2 。 CEF 的面积的最大值是3。 【考点】【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股
31、定理，垂直线段的性质。 【分析】【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB，从而 求证ABEACF，即可求得 BE=CF。 （2）由ABEACF 可得 SABE=SACF，故根据 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积 会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF=S四边形AECFSAEF， 则CEF 的面积就会最大。 例例 10.（浙江（浙
32、江义乌义乌 10 分）分）在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45 ，将ABC 绕点 B 按逆时针方向 旋转，得到A1BC1 （1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1若ABA1的面积为 4，求CBC1的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程 中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 【答案】【答案】解： （1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45 ，BC=BC1， CC1B=C1CB=45 。 C
33、C1A1=CC1B+A1C1B=45 +45 =90 。 （2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1， BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。 1 1 BABA BCBC ，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。 15 ABA1CBC1。 1 1 22 ABA CBC S AB416 SCB525 。 SABA1=4，SCBC1= 25 4 。 （3）过点 B 作 BDAC，D 为垂足， ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上。 在 RtBCD 中，BD=BC sin45 = 5 2 2 。 如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B
34、 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最小。 最小值为：EP1=BP1BE=BDBE= 5 2 2 2。 如图 2，当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大。 最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。 【考点】【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角 形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45 ，BC=BC1，又由等腰三 角形的性质，即可求得CC1A1的度数。 （2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1，易证得ABA1CB
35、C1， 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面积。 （3） 由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D， ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时， EP1最小； 当 P 在 AC 上运动至点 C， ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时， EP1最大，即可求得线段 EP1长度的最大值与最小值。 例例 11. （福建南平（福建南平 14 分）分） 如图， 在ABC 中， 点 D、 E 分别在边 BC、 AC 上， 连接 AD、 DE， 且1=B=C （1）由题设条件，请写出三个正确结论： （要求不再添加其他字母
36、和辅助线，找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45 ，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ， 求 CE 的最大值； 若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长 （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 16 【答案】【答案】解： （1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。 （2）B=C，B=45 ，ACB 为等腰直角三角形。 22 ACBC22 22 。 1=C，DAE=CAD，ADEACD。 AD：AC=AE：AD， 22 ADAD AE AC
37、2 2 2 AD 2 。 当 AD 最小时，AE 最小，此时 ADBC，AD= 1 2 BC=1。 AE 的最小值为 2 22 1 22 。CE 的最大值= 22 2 22 。 当 AD=AE 时，1=AED=45 ，DAE=90 。 点 D 与 B 重合，不合题意舍去。 当 EA=ED 时，如图 1，EAD=1=45 。 AD 平分BAC，AD 垂直平分 BC。BD=1。 当 DA=DE 时，如图 2， ADEACD，DA：AC=DE：DC。 DC=CA=2。BD=BCDC=22。 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为 1 或 22。 【考点】【考点】相似三角形的判定和性质，
38、勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）由B=C，根据等腰三角形的性质可得 AB=AC；由1=C，AED=EDC+C 得到 AED=ADC；又由DAE=CAD，根据相似三角形的判定可得到ADEACD。 （2）由B=C，B=45 可得ACB 为等腰直角三角形，则 22 ACBC22 22 ，由 1=C，DAE=CAD，根据相似三角形的判定可得ADEACD，则有 AD：AC=AE：AD，即 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 ，当 ADBC，AD 最小，此时 AE 最小，从而由 CE=ACAE 得到 CE 的最 17 大值。 分当 AD=AE， ，EA=E
39、D，DA=DE 三种情况讨论即可。 练习题：练习题： 1. （浙江衢州浙江衢州 3 分分）如图，OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2， 则 PQ 的最小值为【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 2.（四川四川南充南充 8 分）分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60 ，M 是 BC 的中点 （1）求证：MDC 是等边三角形； （2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最
40、小值如果不存在，请说明理由；如果 存在，请计算出AEF 周长的最小值 3.（浙江台州（浙江台州 4 分）分）如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【 】 A13 B5 C3 D2 4.（河南省河南省 3 分）分）如图，在四边形 ABCD 中，A=90 ，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 18 5.（云南昆明云南昆明 12 分）分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方
41、向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动 （1）求 AC、BC 的长； （2）设点 P 的运动时间为 x（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm2） ，当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明 理由； （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不 存在，请说明理
42、由 三、应用轴对称的性质求最值：三、应用轴对称的性质求最值： 典型例题：典型例题： 例例 1. （山东青岛（山东青岛 3 分）分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 cm 【答案】【答案】15。 19 【考点】【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC
43、 交 MN 于 点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 APPC 为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离，且 AP=BP。 由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。 在 RtBCD 中，由勾股定理得 2222 BCDCBD91215。 APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。 例例 2. （甘肃兰州甘肃兰州 4 分）分）如图，四边形 ABCD 中，BAD120 ，BD90 ，在 BC、CD 上分别找 一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMNANM 的度数为【 】 A130 B120 C110 D10
44、0 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题） ，三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。 【分析】【分析】根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A， A， 即可得出AAMAHAA60 ， 进而得出AMNANM2(AAM A)即可得出答案： 如图，作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 AA即为 AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。 BAD120 ，HAA60 。 AAMAHAA60 。 MAAMAA，NADA， 且MAA
45、MAAAMN， NADAANM， AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2 60 120 。 20 故选 B。 例例 3. （福建莆田（福建莆田 4 分）分）点 A、均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得PAPB的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点， 则OP OQ 【答案】【答案】5。 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与 方程的关系。 【分析】【分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 A
46、B 交 y 轴于点 Q，求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论： 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P， 由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点。 点 B 是正方形 ADPC 的中点， P（3，0）即 OP=3。 作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，则 AB 即为 QA+QB 的最小值。 A（-1，2），B（2，1）， 设过 AB 的直线为：y=kx+b， 则 2kb 12kb ，解得 1 k 3 5 b 3 。Q（0， 5 3 ），即 OQ= 5 3 。 OPOQ=3 5 3 =5。 例例 4. （四川攀枝花（四川攀枝花
47、 4 分）分）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点， 则 PE+PB 的最小值为 21 【答案】【答案】2 5。 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题） ，正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。 点 B 与点 D 关于 AC 对称，DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 AB=4，E 是 BC 的中点，CE=2。 在 RtCDE 中， 2222 DE= CD +CE4 +22 5。 例例 5. （广西贵港（广西贵港 2 分）分）如图，MN 为O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C， 过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN20，AC8，BD6，则 PAPB 的最小值是 。 【答案】【答案】14 2。 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题） ，勾股定理，垂径定理。 【分析】【分析】MN20，O 的半径10。 连接 OA、OB， 在 RtOBD 中，OB10，BD6， OD OB2BD2 102628。 同理，在 RtAOC 中，OA
