1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 19：动态几何之定值问题探讨：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制 动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进 行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。 结合全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨： （1）线段（和差）为定值 问题； （2）面积（和差）为定值问题； （3）其它定值问题。 一、线段一、线段（和差）为定值问题
2、（和差）为定值问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （黑龙江绥化： （黑龙江绥化 8 分）分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4， 点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R （1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ= 5 12 （不需证明） （2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它
3、条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想 【答案】【答案】解： （2）图 2 中结论 PRPQ= 12 5 仍成立。证明如下： 连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K。 四边形 ABCD 为矩形，BCD=90 。 又CD=AB=3， BC=4， 22 22 BDCDBC345。 SBCD= 1 2 BCCD= 1 2 BDCK，3 4=5CK，CK=12 5 。 2 SBCE= 1 2 BECK，SBEP= 1 2 PRBE，SBCP= 1 2 PQBC，且 SBCE=SBEPSBCP， 1 2 BECK= 1 2 PRBE 1 2 PQBC。 又BE
4、=BC， 1 2 CK= 1 2 PR 1 2 PQ。CK=PRPQ。 又CK= 12 5 ，PRPQ=12 5 。 （3）图 3 中的结论是 PRPQ=12 5 【考点】【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。 【分析】【分析】 （2）连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K根据矩形的性质及勾股定 理求出 BD 的长， 根据三角形面积相等可求出 CK 的长， 最后通过等量代换即可 证明。 （3）图 3 中的结论是 PRPQ=125 。 连接 BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC 是固定值，BE=BC 为两 个底，PR，PQ 分别为高，从而 PRPQ=12 5 。 例例 2： （
5、江西省： （江西省 10 分）分）如图，已知二次函数 L1：y=x24x+3 与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 左边） ， 与 y 轴交于点 C （1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数 L2：y=kx24kx+3k（k0） 写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数 k，使ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由； 若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长 度；如果会，请说明理由 【答案】【答案】解： （1）抛物
6、线 2 2 yx4x3x21 ， 3 二次函数 L1的开口向上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标（2，1） 。 （2）二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质： 对称轴为 x=2；都经过 A（1，0） ，B（3，0）两点。 存在实数 k，使ABP 为等边三角形 2 2 ykx4kx3kk x2k，顶点 P（2，k） A（1，0） ，B（3，0） ，AB=2 要使ABP 为等边三角形，必满足|k|=3， k=3。 线段 EF 的长度不会发生变化。 直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点， kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。 EF=x2x1=
7、6。线段 EF 的长度不会发生变化。 【考点】【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。 【分析】【分析】 （1）抛物线 y=ax2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a0 时，抛物线的开口向上；a0 时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。 （2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以 k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的 关系入手进行分析。 当ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出 P 点纵坐标，它的绝对值正好 是等边三角形边长的 3 2 倍，由此确定 k 的值。 联立直线和抛物线 L2
8、的解析式，先求出点 E、F 的坐标，从而可表示出 EF 的长，若该长度 为定值，则线段 EF 的长不会发生变化。 例例 3： （山东德州： （山东德州 12 分）分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一 点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕 为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数
9、关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 4 【答案】【答案】解： （1）如图 1，PE=BE，EBP=EPB 又EPH=EBC=90 ， EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。 又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。 （2）PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q。 由（1）知APB=BPH， 又A=BQP=90 ，BP=BP， ABPQBP（AAS） 。AP=QP，AB=BQ。 又AB=BC，BC=BQ。 又C=BQH=90 ，BH=BH， BCHBQH（HL） 。CH=QH。 PHD 的周长
10、为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。 又EF 为折痕，EFBP。 EFM+MEF=ABP+BEF=90 。EFM=ABP。 又A=EMF=90 ，AB=ME，EFMBPA（ASA） 。 EM=AP=x 在 RtAPE 中， （4BE）2+x2=BE2，即 2 x BE2+ 8 。 2 x CFBEEM2+x 8 。 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， 2 2 2 11x11 SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+6 22422 。 5 1 04 2 ，当 x=2 时，S 有最小
11、值 6。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。 【分析】【分析】 （1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC 即可得 出答案。 （2）先由 AAS 证明ABPQBP，从而由 HL 得出BCHBQH，即可得 CH=QH。因此， PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在 RtAPE 中， （4BE）2+x2=BE2，利用二次函数 的最值求出即可。 例例 4： （福建泉州： （福建泉州 12 分
12、）分）已知：A、B、C 不在同一直线上. （1）若点 A、B、C 均在半径为 R 的O 上， i）如图一，当A=45 时，R=1，求BOC 的度数和 BC 的长度； ii）如图二，当A 为锐角时，求证 sinA= BC 2R ； （2）.若定长线段 BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM、AN（B、C 均与点 A 不重合）滑动，如图三， 当MAN=60 ，BC=2 时，分别作 BPAM，CPAN，交点为点 P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】【答案】解： （1）i）A=45 ， BOC=90 （同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半） 。
13、 又R=1，由勾股定理可知 BC=1 1= 2。 ii）证明：连接 BO 并延长，交圆于点 E，连接 EC。 可知 ECBC（直径所对的圆周角为 90 ） ， 且E=A（同弧所对的圆周角相等） 。 6 故 sinA=sinA= BCBC BE2R 。 （2）保持不变。理由如下： 如图，连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK， 在 RtAPC 中，CK= 1 2 AP=AK=PK。 同理得：BK=AK=PK。 CK=BK=AK=PK。点 A、B、P、C 都在K 上。 由（1）ii）sinA= BC 2R 可知 sin60 = BC AP 。 AP= BC4 3 sin603 （为定值
14、） 。 【考点】【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直 角三角形中线性质。 【分析】【分析】 （1）i）根据圆周角定理得出BOC=2A=90 ，再利用勾股定理得出 BC 的长； ii）作直径 CE，则E=A，CE=2R，利用 sinA=sinE= BCBC BE2R ，得出即可。 （2）首先证明点 A、B、P、C 都在K 上，再利用 sinA= BC 2R ，得出 AP= BC4 3 sin603 （定 值）即可。 例例 5： （山东潍坊： （山东潍坊 11 分）分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)
15、三点，过坐 标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切； (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段 MN 的长 7 【答案】【答案】解： （1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2bxc， 则 4a2b+c=0 4a+2b+c=0 c=1 解得 1 a= 4 b=0 c=1 。 抛物线对应二次函数的解析式 所以 2 1 y=x1 4 。 （2）设 M(x1，y1)，N(
16、x2，y2)，因为点 M、N 在抛物线上， 22 1122 11 y =x1y =x1 44 ，x22=4(y2+1)。 又2 2222 22222 ONxy4 y1yy2， 2 ONy2。 又y2l，ON=2y2。 设 ON 的中点 E，分别过点 N、E 向直线 1 l作垂线，垂足 为 P、F， 则 2 2yOCNP EF 22 ， ON=2EF， 即 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长度的一半， 以 ON 为直径的圆与 1 l相切。 （3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则 22 222 2121 MNMHNHxxyy， 又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2
17、=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一 xl)2。 又点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上， 2 1 kx=x1 4 ，即 x24kx4=0，x2x1=4k，x2 x1=4。 MN2=(1+k2)(x2一 xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2 xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 2 l于点 Q，过点 M 作 MS 2 l交 2 l于点 S， 8 则 MSNQ=y12y22= 22 12 11 x1+x1+4 44 2 22222 121212 111 =x +x+2=x +x2xx+2=16k +8 +2=4k +4=4 1+k
18、444 MS+NQ=MN，即 M、N 两点到 2 l距离之和等于线段 MN 的长。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切 的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的 解析式。 （2）要证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切，只要证 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长的一半 即可。 （3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出 MN 和 M、N 两点到直线 2 l的距离之和，相比较即 可。 例例 6： （湖北咸宁
19、： （湖北咸宁 10 分）分）如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若 4321，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4，BC=8 理解与作图： （1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的 反射四边形 EFGH 计算与猜想： （2） 求图 2， 图 3 中反射四边形 EFGH 的周长， 并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延
20、长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想 9 【答案】【答案】解： （1）作图如下： （2）在图 2 中， 22 EFFGGHHE24202 5， 四边形 EFGH 的周长为8 5。 在图 3 中， 22 EFGH215， 22 FGHE36453 5， 四边形 EFGH 的周长为252 3 58 5 。 猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。 （3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N， 12 ，15 ， 25 。 又FC=FC， RtFCERtFCM（ASA） 。 EF=MF，EC=MC。 同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=1
21、6。 M905901 ，N903，13 ，MN。 GM=GN。 过点 G 作 GKBC 于 K，则 1 KMMN8 2 。 2222 GMGKKM484 5。 四边形 EFGH 的周长为2GM8 5。矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。 【考点】【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图） ，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性 质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。 10 （2）图 2 中，利用勾股定理求出 EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可得到周长，图 3 中利用勾股 定理求出 EF=GH，FG=HE 的长
22、度，然后求出周长，从而得到四边形 EFGH 的周长是定值。 （3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，再利用“ASA”证明 RtFCE 和 RtFCM 全等，根据全等 三角形对应边相等可得 EF=MF， EC=MC， 同理求出 NH=EH， NB=EB， 从而得到 MN=2BC， 再证明 GM=GN， 过点 G 作 GKBC 于 K， 根据等腰三角形三线合一的性质求出 1 KMMN8 2 ， 再利用勾股定理求出 GM 的长度，然后即可求出四边形 EFGH 的周长。 例例 7： （广西崇左： （广西崇左 10 分）分）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，
23、但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，问在点 E、F 移动过程中； （1）EAF 的大小是否发生变化？请说明理由. （2）ECF 的周长是否发生变化？请说明理由. 11 练习题：练习题： 1. （湖南湖南岳阳岳阳 8 分）分） 如图， 将菱形纸片 AB （E） CD（F） 沿对角线 BD （EF） 剪开， 得到ABD 和ECF， 固定ABD，并把ABD 与ECF 叠放在一起 （1）操作：如图，将ECF 的顶点 F 固定在ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方 左右旋转，设旋转时 FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合） ，FE 交
24、 DA 于点 G（G 点不与 D 点重合） 求证：BHGD=BF2 （2）操作：如图，ECF 的顶点 F 在ABD 的 BD 边上滑动（F 点不与 B、D 点重合） ，且 CF 始终经 过点 A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG 探究：FD+DG= 请予证明 2. （四川眉山（四川眉山 11 分）分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1） ，B（4，4） ，将点 B 绕点 A 顺时针方 向旋转 90 得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； （2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的
25、距离为 d2，试说明 d2=d11； （3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小 值 3. （湖南湖南郴州郴州 10 分）分）如图，RtABC 中，A=30 ，BC=10cm，点 Q 在线段 BC 上从 B 向 C 运动，点 P 在线段 BA 上从 B 向 A 运动Q、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q 到达点 C 时，两点都停止运 12 动作 PMPQ 交 CA 于点 M，过点 P 分别作 BC、CA 的垂线，垂足分别为 E、F （1）求证：PQEPMF； （2）当点 P、Q 运动时，请猜想线段 PM 与 MA 的大小有怎样
26、的关系？并证明你的猜想； （3）设 BP=x，PEM 的面积为y，求 y 关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个 值求出来 4. （辽宁营口（辽宁营口 14 分）分）已知正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在直线 上，且随着点 P 的运动而运动，PEPD 总成立 (1)如图(1)，当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写 出结论不必证明)； (2)如图(2)，当点 P 运动到 CA 的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由； (3
27、)如图(3)，当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1) (2) 5. （贵州遵义（贵州遵义 12 分）分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，BC20cm，AD10cm，现有两个动点 P、Q 分别从 B、D 两点同时 出发，点 P 以每秒 2cm 的速度沿 BC 向终点 C 移动，点 Q 以每秒 1cm 的速度沿 DA 向终点 A 移动， 线段 PQ 与 BD 相交于点 E， 过 E 作 EFBC 交 CD 于点 F， 射线 QF 交 BC 的延长线于点 H， 设动点 P、Q 移动的
28、时间为 t（单位：秒，0t10） （1）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 为平行四边形？ （2）在 P、Q 移动的过程中，线段 PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段 PH 的长；如果改变，请 说明理由 13 6. （黑龙江龙东五市（黑龙江龙东五市 8 分）分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4， 点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R。 （1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ= 5 12 （不需证明） 。 （2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点
29、E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 （3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样 的数量关系？请直接写出你的猜想。 二、面积（和差）为定值问题二、面积（和差）为定值问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （湖北十堰： （湖北十堰 3 分）分）如图，O 是正ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中 心逆时针旋转 60 得到线段 BO，下列结论：BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到；点 O 与 O的距
30、离为 4；AOB=150 ； AOBO S=6+3 3 四形边 ； AOCAOB 9 3 SS6+ 4 其中正确的结论 是【 】 A B C D 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。 14 【分析】【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。 线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60 得到线段 BO，BO=BO，OAO=600。 OBA=600ABO=OBA。BOABOC。 BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到。故结论正确。 连接 OO， BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。
31、OO=OB=4。故结论正确。 在AOO中，三边长为 OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾 股数， AOO是直角三角形。 AOB=AOOOOB =900600=150 。故结论正确。 AOOOBOAOBO 11 SSS3 4+4 2 36+4 3 22 四形边 。故结论错误。 如图所示，将AOB 绕点 A 逆时针旋转 60 ，使得 AB 与 AC 重合， 点 O 旋转至 O点 易知AOO是边长为 3 的等边三角形，COO是边长为 3、4、5 的 直角三角形。 则 AOCAOBAOCOCOOAOO 113 39 3 SSSSS3 4+3=6+ 2224 。 故结论正确。 综上所述，正
32、确的结论为：。故选 A。 例例 2： （广西玉林、 防城港： （广西玉林、 防城港 12 分）分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是 （0,4） ， 现有两动点 P、Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向 点 C 运动，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C，D）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动. 点 P，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t 秒，当 t=2 秒时 PQ=52. （1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围； （2）连接 AQ 并延长交x轴于点
33、E,把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F,连接 EF，则AEF 的面积 S 是 否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？ 15 【答案】【答案】解： （1）由题意可知，当 t=2（秒）时，OP=4，CQ=2， 在 RtPCQ 中，由勾股定理得：PC= 2 222 PQCQ2 52=4， OC=OP+PC=4+4=8。 又矩形 AOCD，A（0，4） ，D（8，4） 。 t 的取值范围为：0t4。 （2）结论：AEF 的面积 S 不变化。 AOCD 是矩形，ADOE，A
34、QDEQC。 CECQ ADDQ ，即 CEt 84t ，解得 CE= 8t 4t 。 由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则 CF=CD+DF=8t。 S=S梯形AOCFSFCESAOE= 1 2 （OA+CF）OC+ 1 2 CFCE 1 2 OAOE = 1 2 4（8t） 8+ 1 2 （8t） 8t 4t 1 2 4 （8 8t 4t ） 。 化简得：S=32 为定值。 所以AEF 的面积 S 不变化，S=32。 （3）若四边形 APQF 是梯形，因为 AP 与 CF 不平行，所以只有 PQAF。 由 PQAF 可得：CPQDAF。 CP：AD=CQ：DF，即 82t：8= t：
35、4t，化简得 t212t16=0， 解得：t1=6+25，t2=62 5。 由（1）可知，0t4，t1=6+25不符合题意，舍去。 当 t=62 5秒时，四边形 APQF 是梯形。 【考点】【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的 性质，解一元二次方程。 16 【分析】【分析】 （1）由勾股定理可求 PC 而得点 C 的坐标，根据矩形的性质可得点 D 的坐标。点 P 到达终点所需 时间为 8 2=4 秒，点 Q 到达终点所需时间为 4 1=4 秒，由题意可知，t 的取值范围为：0t4。 （2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出 S 关于 t
36、 的函数关系式，由于关系式为常数，所以 AEF 的面积 S 不变化，S=32。 （3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。 例例 3： （江苏： （江苏苏州苏州 9 分）分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合， 连接 CG， 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P， 连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm， 矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x
37、（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其中 0 x2.5. 试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值； 记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1S2是常数； 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长. 【答案】【答案】解： （1）CGAP，CGD=PAG，则tanCGD=tanPAG。 CDPG = GDAG 。 GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。 1y = 3x4x ，即 4x y= 3x 。y 关于 x 的函数关系式为 4x y= 3x 。 当 y =3 时， 4x
38、 3= 3x ，解得:x=2.5。 （2） 12 11 4x11113 S =GP GD=3xx+2S =GD CD=3x 1x+ 22 3x22222 ， ， 12 1131 SS =x+2x+ 2222 为常数。 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q. 正方形 ABCD 中，AC 为对角线，CAD=45 。 17 PQAC，ADQ=45 。 GDP=ADQ=45 。 DGP 是等腰直角三角形，则 GD=GP。 4x 3x= 3x ，化简得： 2 x5x+5=0，解得： 55 x= 2 。 0 x2.5， 55 x= 2 。 在 RtDGP 中， 0 GD552+ 10 PD= 2 3x =
39、 2 3= 22cos45 。 【考点】【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】 （1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由tanCGD=tanPAG可解出 x 的值。 （2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可。 （3） 延长 PD 交 AC 于点 Q， 然后判断DGP 是等腰直角三角形， 从而结合 x 的范围得出 x 的值， 在 RtDGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度。 例例 4： （四川： （四川自贡自贡 12 分）分）如图所示，在菱
40、形 ABCD 中，AB=4，BAD=120 ，AEF 为正三角形，点 E、 F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合 （1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 【答案】【答案】解： （1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120 ， BAE+EAC=60 ，FAC+EAC=60 ， BAE=FAC。 BAD=120 ，ABF=60 。 ABC 和ACD 为等边
41、三角形。 ACF=60 ，AC=AB。ABE=AFC。 18 在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF（ASA） 。BE=CF。 （2） 四边形 AECF 的面积不变， CEF 的面积发生变化。 理由如下： 由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF。 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2， 22 AECFABC 11 SSBC AHBCABBH4 3 22 四形边 。 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故AEF 的
42、面积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形AECFSAEF 22 1 4 32 32 333 2 。 CEF 的面积的最大值是3。 【考点】【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 【分析】【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB，从而 求证ABEACF，即可求得 BE=CF。 （2）由ABEACF 可得 SABE=SACF，故根据 S四边形AE
43、CF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积 会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF=S四边形AECFSAEF， 则CEF 的面积就会最大。 例例 5： （湖南益阳： （湖南益阳 12 分）分）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两 点，AEBF 于点 G，且 BE=1 （1）求证：ABEBCF； （2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即BEG）的面积； （
44、3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE（如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点 E处，问ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 19 【答案】【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABE=BCF=90 ，AB=BC。ABF+CBF=90 。 AEBF，ABF+BAE=90 。BAE=CBF。 在ABE 和BCF 中，ABE=BCF，AB=BC，BAE=CBF， ABEBCF（ASA） 。 （2）解：正方形面积为 3，AB=3。 在BGE 与ABE 中，GBE=BAE，EGB=EBA=90 ，BGEABE。 2BGE ABE SBE =(
45、) SAE 。 又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4。 20 2 BGEABE 2 BE133 S=S 428AE 。 练习题：练习题： 1. （山东东营（山东东营 12 分）分）如图所示，四边形 OABC 是矩形点 A、C 的坐标分别为(30 ，)，(0，1)，点 D 是 线段 BC 上的动点(与端点 B、C 不重含)，过点 D 作直线 1 2 yxb交折线 OAB 于点 E。 (1) 记ODE 的面积为 S求 S 与 b 的函数关系式： (2) 当点 E 在线段 OA 上时，且 tanDEO= 1 2 。若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 1111 O A B
46、C试探究四边形 1111 O A BC与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重 21 叠部分妁面积；若改变请说明理由。 2. （浙江舟山、嘉兴（浙江舟山、嘉兴 12 分）分）已知直线3kxy（k0）分别交x轴、y轴于 A、B 两点，线段 OA 上有 一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P 作x轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运 动时间为t秒 （1）当1k时，线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度同时出发，当 点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1） 直接写出t1 秒时 C、Q 两点
47、的坐标； 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与AOB 相似，求t的值 （2）当 4 3 k时，设以 C 为顶点的抛物线nmxy 2 )(与直线 AB 的另一交点为 D（如图 2） ， 求 CD 的长； 设COD 的 OC 边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ 三、三、其它定值问题：其它定值问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （浙江： （浙江义乌义乌 12 分）分）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线 2 422 y=x +x 273 交于点 A（3，6） （1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度； （2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合） ，交直线 OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否 为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； 22 （3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合） ，点 D（m，0） 是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的 E 点 的个数分别是 1 个、2 个？ 【答案】【答案】解： （1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得；6=3k，即 k=2。 y=2x。
