1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 10：几何三大变换之平移探讨：几何三大变换之平移探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、 面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移 动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的 对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换： （1）构造平移图形；
2、（2）点的平移； （3） 直线（线段）的平移； （4）曲线的平移； （5）三角形的平移； （6）四边形的平移； （7）圆的平移。 一、构造平移图形：一、构造平移图形： 典型例题：典型例题： 例例 1. （黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西（黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分）分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图， 在一个 9 X 9 的正方形网格中有一个格点ABC设网格中小正方形的边长为 l 个单位长度 (1)在网格中画出ABC 向上平移 4 个单位后得到的AlBlCl (2)在网格中画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 900后得到的AB2C2 (3)在(1)中ABC 向上
3、平移过程中，求边 AC 所扫过区域的面积 【答案】【答案】解： （1） 、 （2）如图所示： （3）ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1，ABC 向上平移过程中，边 AC 所扫 过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形， 边 AC 所扫过区域的面积=4 2=8。 【考点】【考点】作图（旋转和平移变换） ，平行四边形的判定和性质。 2 【分析】【分析】 （1）根据图形平移的性质画出平移后的A1B1C1即可。 （2）根据图形旋转的性质画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 后得到的AB2C2。 （3）根据ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1，ABC 向上平移过程中，
4、求边 AC 所扫 过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。 例例 2.（黑龙江龙东地区（黑龙江龙东地区 6 分）分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，ABC 的三个顶点都在格 点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将ABC 向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度，画出两次平移后的A1B1C1; （2）写出 A1、C1的坐标； （3）将A1B1C1绕 C1逆时针旋转 90 ，画出旋转后的A2B2C1，求线段 B1C1旋转过程中扫过的面积(结 果保留)。 【答案】【答案】解： （1）两次平移后的A1B1C1如图所示
5、： （2）由A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2） ；C1（2，0） 。 （3）旋转后的图形如图所示： 3 由勾股定理可知， 22 11 B C1417， 2 9017 17 S 3604 扇形 。 线段 B1C1旋转过程中扫过的面积为17 4 。 【考点】【考点】作图（旋转和平移变换） ，扇形面积的计算。 【分析】【分析】 （1）根据图形平移的性质画出两次平移后的A1B1C1即可。 （2）根据A1B1C1在坐标系中的位置写出 A1、C1的坐标； （3）根据图形旋转的性质画出旋转后的A2B2C1，再根据勾股定理求出 B1C1的长，由扇形的面 积公式即可计算出线段 B1C1旋转过程中扫
6、过的面积。 例例 3.（贵州六盘水（贵州六盘水 10 分）分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点 均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（1，1） （1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形 RtA1B1C1，并写出 A1的坐标； （2）将 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 后得到 RtA2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算 RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 【答案】【答案】解： （1）如图所示，A1B1
7、C1即为所求作的三角形。点 A1的坐标为（1，0） 。 （2）如图所示，A2B2C2即为所求作的三角形。 4 根据勾股定理，A1C1= 22 2 +3 = 13， 旋转过程中 C1所经过的路程为 901313 = 1802 。 【考点】【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换） ，勾股定理，弧长的计算。 【分析】【分析】 （1）根据网格结构找出点 ABC 平移后的对应点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再 根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标即可。 （2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1绕点 A1顺时针旋转 90 后的对应点 A2、B2、C2的位置， 然后顺次连接即可，再根据勾股定
8、理求出 A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。 例例 4.（安徽省（安徽省 8 分）分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是 网格线的交点）和点 A1. （1）画出一个格点A1B1C1，并使它与ABC 全等且 A 与 A1是对应点； （2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的. 【答案】【答案】解： （1）答案不唯一，如图，平移即可： 5 (2)作图如上， AB=10，AD=10，BD=2 5，AB2+AD2=BD2。 ABD 是直角三角形。 AD 可以看作由 AB 绕
9、A 点逆时针旋转 90 得到的。 【考点】【考点】作图（平移变换、轴对称变换） ，全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。 【分析】【分析】 （1）利用ABC 三边长度，画出以 A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出 A1B1C1。 （2）利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D，得出 D 点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与 AB 的位置关系。 例例 5.（海南省（海南省 8 分）分）如图，在正方形网络中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为 （2，4） 、 （2，0） 、 （4，1） ，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出A
10、BC 关于原点 O 对称的A1B1C1. （2）平移ABC，使点 A 移动到点 A2（0，2） ，画出平移后的A2B2C2并写出点 B2、C2的坐标. （3） 在ABC、 A1B1C1、 A2B2C2中， A2B2C2与 成中心对称， 其对称中心的坐标为 . 6 【答案】【答案】解： （1）ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1如图所示： （2）平移后的A2B2C2如图所示： 点 B2、C2的坐标分别为（0，2） ， （2，1） 。 （3）A1B1C1； （1，1） 。 【考点】【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换） ，中心对称和平移的性 质。 【分析】【分析】 （1）根据中心对称
11、的性质，作出 A、B、C 三点关于原点的对称点 A1、B1、C1，连接即可。 （2）根据平移的性质，点 A（2，4）A2（0，2） ，横坐标加 2，纵坐标减 2，所以将 B（2， 0） 、C（4，1）横坐标加 2，纵坐标减 2 得到 B2（0，2） 、C2（2，1） ，连接即可。 （3）如图所示。 例例 6.（江苏泰州（江苏泰州 10 分）分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点 A、B、 C 在小正方形的顶点上，将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A1B1C1，然后将 A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 得到A1B2C2 （1）在网格
12、中画出A1B1C1和A1B2C2； 7 （2）计算线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算） 【答案】【答案】解： （1）如图所示： （2）图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格， 22 AC 222 2。 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为 底，以 2 为高的平行四边形的面积：4 2=8。 再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：4 2=6。 当A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 到A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以 A1为圆心以 以2 2为半径， 圆心角为 90
13、 的扇形的面积， 重叠部分是以 A1为圆心， 以2 2为半径， 圆心角为 45 的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为： 2 452 2 = 360 线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积=86=14+。 【考点】【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面 积的计算。 【分析】【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。 （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例例 7.（甘肃白银甘肃白银 3 分）分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】 8 A B C D 【答案】【答案
14、】A。 【考点】【考点】生活中的平移现象。 【分析】【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A 选项的图案可以通过平移得到。故选 A。 练习题：练习题： 1. （江苏常州（江苏常州 6 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、B（3， 0） 、C（2，1） 、D（4，3） 、E（6，5） 、F（4，7） 。按下列要求画图：以点 O 为位似中心，将ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A1B1C1，并解决下列问题： （1）顶点 A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐
15、标为 ； （2）请你利用旋转、平移两种变换，使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2，且A2B2C2恰与DEF 拼接 成一个平行四边形（非正方形） 。写出符合要求的变换过程。 3.（福建泉州（福建泉州 9 分）分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为 1） ，反比例函数 k y x 与直线的交点 A、B 均 在格点上，根据所给的直角坐标系（点 O 是坐标原点） ，解答下列问题： （1）分别写 出点 A、B 的坐标后，把直线 AB 向右平移平移 5 个单位，再在向上平移 5 个单位，画 出平移 后的直线 AB. （2）若点 C 在函数 k y x 的图像上，ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，
16、请写出点 C 的坐标. 9 4.（湖北武汉湖北武汉 7 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1，点 A 的对应点为 A1，点 B1的坐标为(0，2)，在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90 得到线段 A2B2，点 A1的对应点为点 A2 (1)画出线段 A1B1、A2B2； (2)直接写出在这两次变换过程中，点 A 经过 A1到达 A2的路径长 5.（湖南张家界（湖南张家界 6 分）分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操 作：先将格点ABC 向右平移
17、4 个单位得到A1B1C1，再将A1B1C1绕点 C1点旋转 180 得到A2B2C2 6.（四川（四川凉山凉山 6 分）分）如图，梯形 ABCD 是直角梯形 （1）直接写出点 A、B、C、D 的坐标； （2）画出直角梯形 ABCD 关于 y 轴的对称图形，使它与梯形 ABCD 构成一个等腰梯形 （3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形 （不要求写作法） 10 7.（辽宁丹东辽宁丹东 8 分）分）已知：ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） ，B（3，4） ，C（2，2）. （正方形网格中， 每个小正方形的边长是 1 个单位长度） （1）画出ABC 向
18、下平移 4 个单位得到的A1B1C1，并直接写出 C1点的坐标； （2）以点 B 为位似中心，在网格中 画出A2BC2，使A2BC2与ABC 位似，且位似比为 21，并直 接写出 C2点的坐标及A2BC2的面积 二、点的平移：二、点的平移： 典型例题：典型例题： 例例 1. （广东（广东肇庆肇庆 3 分）分）点 M（2，1）向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是【 】 A （2，0） B （2，1） C （2，2） D （2，3） 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】坐标平移。 【分析】【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标，下减上
19、加。因此， 点 M（2，-1）向上平移 2 个单位长度，12=1。 平移后的点坐标是（2，1） 。故选 B。 11 例例 2. （辽宁鞍山（辽宁鞍山 3 分）分）在平面直角坐标系中，将点 P（1，4）向右平移 2 个单位长度后，再向下平移 3 个单位长度，得到点 P1，则点 P1的坐标为 【答案】【答案】 （1，1） 。 【考点】【考点】坐标平移。 【分析】【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标，下减上加。因此， 点 P（1，4）向右平移 2 个单位长度，向下平移 3 个单位长度，1+2=1，43=1。 点 P1的坐标为（1，1） 。
20、例例 2.（江苏泰州（江苏泰州 3 分）分）如图，数轴上的点 P 表示的数是1，将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P， 则点 P表示的数是 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】数轴和数，平移的性质。 【分析】【分析】如图，根据平移的性质，点 P表示的数是 2。 例例 3.（安徽省（安徽省 4 分）分）如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线，与O 过 A 点的 切线交于点 B，且APB=60 ，设 OP= x，则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【 】 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函
21、数值。 【分析】【分析】利用 AB 与O 相切，BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用 x 表示出 三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： AB 与O 相切，BAP=90 ， OP=x，AP=2x，BPA=60 ，AB=3(2x)， APB 的面积 2 3 y(2x) 2 ， （0 x2） 。 PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在 0 x2 的部分。故选 D。 12 例例 4. （浙江嘉兴、 舟山（浙江嘉兴、 舟山 4 分）分） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 a， 动点 P 从点 A 出发， 沿折线 ABDCA 的路径运动，回到点
22、A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】 ABC D 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】动点问题的函数图象。 【分析】【分析】 因为动点 P 按沿折线 ABDCA 的路径运动， 因此， y 关于 x 的函数图象分为四部分： AB， BD，DC，CA。 当动点 P 在 AB 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，且 y=x，四个图象均正确。 当动点 P 在 BD 上时，函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项 B 错误。 当动点 P 在 DC 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，故选项 A，
23、C 错误。 当动点 P 在 CA 上时，函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。 例例 5.（浙江（浙江温州温州 4 分）分）如图，在ABC 中，C=90 ，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发， 沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发， 沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P， Q 两点同时出发， 并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是【 】 A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】动点问题的函数图象。 【分析】【分析】如图所示，
24、连接 CM，M 是 AB 的中点， 13 SACM=SBCM= 1 2 SABC， 开始时，SMPQ=SACM= 1 2 SABC； 由于 P， Q 两点同时出发， 并同时到达终点， 从而点 P 到达 AC 的中点时， 点 Q 也到达 BC 的中点， 此时，SMPQ= 1 4 SABC； 结束时，SMPQ=SBCM= 1 2 SABC。 MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选 C。 例例 6.（湖北湖北黄石黄石 3 分）分）如图所示，已知 A 1 1 ( ,y ) 2 ，B 2 (2,y )为反比例函数 1 y x 图像上的两点，动 点 P(x,0)在 x 正半轴上运动，当线段 AP
25、 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是【 】 A. 1 ( ,0) 2 B. (1,0) C. 3 ( ,0) 2 D. 5 ( ,0) 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】【分析】把 A 1 1 ( ,y ) 2 ，B 2 (2,y )分别代入反比例函数 1 y x 得：y1=2，y2= 1 2 ， A（ 1 2 ，2） ，B（2， 1 2 ） 。 在ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB， 延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PAPB=AB， 即此时线段 AP
26、与线段 BP 之差达到最大。 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入得： 1 2=k+b 2 1 =2k+b 2 ，解得： k=1 5 b= 2 。直线 AB 的解析式是 5 yx 2 。 当 y=0 时，x= 5 2 ，即 P（ 5 2 ，0） 。故选 D。 14 例例 7.（辽宁大连辽宁大连 3 分）分）如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 CDE 上移动， 若点 C、D、E 的坐标分别为（1，4） 、 （3，4） 、 （3，1） ，点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标 的最大值为【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 【
27、答案】【答案】B。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。 【分析】【分析】抛物线的点 P 在折线 CDE 上移动，且点 B 的横坐标的最小值为 1， 观察可知，当点 B 的横坐标的最小时，点 P 与点 C 重合。 C（1，4） ，设当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=a x+1+4。 B（1，0） ，20=a 1+1+4，解得 a=1。 当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=x+1+4。 观察可知，当点 A 的横坐标的最大时，点 P 与点 E 重合，E（3，1） ， 当点 A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为
28、2y=x3+1。 令y=0，即2x3+1=0，解得x=2或x=4。 点 A 在点 B 的左侧，此时点 A 横坐标为 2。故选 B。 点 A 的横坐标的最大值为 2。 例例 8（北京（北京市市 5 分）分）操作与探究：操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 1 3 ，再把所得数对应的点向右平移 1 个 单位，得到点 P 的对应点 P. 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对 应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是3，则点 A表示的数是 ；若点 B表示的 数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知
29、线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重 合，则点 E 表示的数是 ； 15 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0, n0） ，得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A,B 的对应点分别为 A,B。已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标。 【答案】【答案】解： （1）0；3； 3 2 。 （2）根据题意得， 3am1 3am2 0 an2
30、 ，解得 1 a 2 1 m 2 n2 . 设点 F 的坐标为（x，y） ， 对应点 F与点 F 重合， 11 xx 22 1 y2y 2 ，解得 x1 y4 。 点 F 的坐标为（1，4） 。 【考点】【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。 【分析】【分析】 （1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B 表示的数为 a，根 据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解： 点 A：31 3 +1=1+1=0。 设点 B 表示的数为 a，则 1 3 a+1=2，解得 a=3。 设点 E 表
31、示的数为 b，则 1 3 a+1=b，解得 b= 3 2 。 （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律， 16 然后设点 F 的坐标为（x，y） ，根据平移规律列出方程组求解即可。 例例 9. （江苏常州（江苏常州 9 分）分）已知，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边 CD 上 的动点（点 P 异于 C、D 两点） 。连接 PM，过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E（如图） 。设 CP=x， DE=y。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式 ； （2）若点 E 与点 A 重合，则 x
32、的值为 ； （3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上？若存在，求 x 的值；若不存在，请 说明理由。 【答案】【答案】解： （1）y=x24x。 （2）2+ 2或22。 （3）存在。 过点 P 作 PHAB 于点 H。则 点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上， P D=PD=4x，E D=ED= y=x24x， EA=ADED= x24x2，P DE=D=900。 在 RtDP H 中，PH=2， DP =DP=4x，DH= 2 22 4x2x8x+12。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD =9
33、00， E DADP H。 E DEA D PD H ，即 22 2 x4xx4x+2 4x x8x+12 ， 即 2 2 x4x+2 x x8x+12 ，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得 22 x 2 。 当 2+ 2 x 2 时，y= 2 2+ 22+ 25+2 2 +4=2 222 ， 此时，点 E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根） 。 17 当 22 x 2 时，y= 2 22225+2 2 +4=2 222 ， 此时，点 E 在边 AD 上，符合题意。 当 22 x 2 时，点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上。 【考点】【考点
34、】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。 【分析】【分析】 （1）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCPPDE， DEDP CPCM ，即 y4x x1 。y=x24x。 （2）当点 E 与点 A 重合时，y=2，即 2=x24x，x24x2=0。 解得x22。 （3）过点 P 作 PHAB 于点 H，则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上，可得E DA 与DP H 相似，由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。 例例 10. （江苏（江苏苏州苏州 8 分）分）如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，
35、点 P 是直径 AB 左侧半圆 上的动点， 过点 P 作直线 l 的垂线， 垂足为 C， PC 与O 交于点 D， 连接 PA、 PB， 设 PC 的长为x 2x4. 当 5 x= 2 时，求弦 PA、PB 的长度； 当 x 为何值时，PD PC的值最大？最大值是多少？ l P D C B O A 【答案】【答案】解： （1）O 与直线 l 相切于点 A，AB 为O 的直径，ABl。 又PCl，ABPC. CPA=PAB。 AB 为O 的直径，APB=90 。 PCA=APB.PCAAPB。 PCPA APAB ，即 PA2=PC PD。 PC= 5 x= 2 ，AB=4， 5 PA410 2
36、 。 18 在 RtAPB 中，由勾股定理得：PB16 106。 （2）过 O 作 OEPD，垂足为 E。 PD 是O 的弦，OFPD，PF=FD。 在矩形 OECA 中，CE=OA=2，PE=ED=x2。 CD=PCPD= x2（x2）=4x 。 2 PD PC=2 x24x =2x +12x16 2 =2 x3+2。 2x4 当x=3时，PD PC有最大值，最大值是 2。 【考点】【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定 和性质，二次函数的最值。 【分析】【分析】（1）由直线 l 与圆相切于点 A，且 AB 为圆的直径，根据切线的性质得到
37、 AB 垂直于直线 l，又 PC 垂直于直线 l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到 AB 与 PC 平行，根据两直线平行内错角相 等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA 与PAB 相似，由相似得比例，将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长，在 RtAPB 中，由 AB 及 PA 的长，利 用勾股定理即可求出 PB 的长。 （2）过 O 作 OE 垂直于 PD，与 PD 交于点 E，由垂径定理得到 E 为 PD 的中点，再由三个角为 直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出 EC=OA=2，用 PC-EC
38、的长表示出 PE，根据 PD=2PE 表示出 PD，再由 PC-PD 表示出 CD，代入所求的式子中，整理后得到关于 x 的二次函 数，配方后根据自变量 x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值 练习题：练习题： 1. （山东东营（山东东营 3 分）分）将点 A（2，1）向左 平移 2 个单位长度得到点 A，则点 A的坐标是【 】 A(2，3) B （2，） C （4，1） D. （0，1） 2.（广西来宾（广西来宾 3 分）分）在平面直角坐标系中，将点 M（1，2）向左平移 2 个长度单位后得到点 N，则点 N 的 坐标是【 】 A （1，2） B （3，2）
39、 C （1，4） D （1，0） 3.（广西玉林、防城港（广西玉林、防城港 3 分）分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点 A(1，0)处向右跳 2 个单位长度，再向 上跳 2 个单位长度到点 A处，则点 A的坐标为 . 19 4.（四川攀枝花（四川攀枝花 3 分）分）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5， 4） ，AD=2若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线 OAADDC 运动，到达 C 点时停止；F 点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度设 E 运动秒 x 时，EOF 的面积为 y（平
40、方单位） ，则 y 关于 x 的函数图象大致为【 】 ABCD 5. （四川（四川内江内江 3 分）分） 如图， 正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发， 以每秒 1cm 的速度， 沿ABC 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒） ， 2 yPC,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 】 A. B. C. D. 6.（江苏无锡（江苏无锡 10 分）分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，DAB=60 点 P 从 A 点出发，以cm/s 的速 度， 沿 AC 向 C 作匀速运动； 与此同时， 点 Q 也从 A 点出发， 以 1cm/s 的速度， 沿射线 AB
41、作匀速运动 当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 ts （1）当 P 异于 AC 时，请说明 PQBC； （2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 7. （广东（广东河源河源 9 分）分）如图，矩形 OABC 中，A(6，0)、C(0，2 3)、D(0，3 3)，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足PQO60 (1)点 B 的坐标是 ，CAO ，当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标 为 ； (2)设点 P
42、 的横坐标为 x， OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S， 试求 S 与 x 的函数关系式和相应 20 的自变量 x 的取值范围 8. （福建南平（福建南平 14 分）分）如图，在ABC 中， 点 D、 E 分别在边 BC、 AC 上，连接 AD、 DE，且1=B=C （1）由题设条件，请写出三个正确结论： （要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45 ，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ， 求 CE 的最大值； 若ADE 是等腰三角形，求此时
43、BD 的长 （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 9. （福建漳州（福建漳州 14 分）分）如图，在OABC 中，点 A 在 x 轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动 点 P 从点 O 出发，以 1cms 的速度沿线段 OAAB 运动；动点 Q 同时 从点 O 出发，以 acms 的速度沿线段 OCCB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 (1)填空：点 C 的坐标是(_，_)，对角线 OB 的长度是_cm； (2)当 a=1 时，设OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为
44、何值时，S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的 三角形与OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围 21 10. （福建福州（福建福州 13 分）分）如图，在 RtABC 中，C90 ，AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度 运动，过点 P 作 PDBC，交 AB 于点 D，连接 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到
45、达 端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t0) (1) 直接用含 t 的代数式分别表示：QB_，PD_ (2) 是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由并探究如 何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度； (3) 如图，在整个运动过程中，求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长 11.（湖北黄石（湖北黄石 3 分）分）初三年级某班有 54 名学生，所在教室有 6 行 9 列座位，用( , )m n表示第m行第n列 的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为( , )m n，
46、如果调整后的座位为( , )i j，则称该生作 了平移, a b,mi nj ,并称ab为该生的位置数。若某生的位置数为 10，则当mn取最小值时， m n的最大值为 . 三、直线（线段）的平移：三、直线（线段）的平移： 典型例题：典型例题： 例例 1. （湖南娄底（湖南娄底 3 分）分）对于一次函数 y=2x+4，下列结论错误的是【 】 A 函数值随自变量的增大而减小 B 函数的图象不经过第三象限 22 C 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象 D 函数的图象与 x 轴的交点坐标是（0，4） 例例 2.（福建南平（福建南平 3 分）分）将直线 y=2x 向上平移 1 个单位
47、长度后得到的直线是 【答案】【答案】y=2x1。 【考点】【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。 【分析】【分析】直线 y=2x 经过点（0，0） ，向上平移 1 个单位后对应点的坐标为（0，1） ， 平移前后直线解析式的 k 值不变，设平移后的直线为 y=2xb。 则 2 0+b=1，解得 b=1。所得到的直线是 y=2x1。 例例 3. （湖南娄底（湖南娄底 4 分）分）如图，AB 的坐标分别为（1，0） 、 （0，2） ，若将线段 AB 平移到至 A1B1，A1、 B1的坐标分别为（2，a） 、 （b，3） ，则 a+b= 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】坐标与图形平移变化。 【分析】【分析】A（1，0）转化为 A1（2，a）横坐标增加了 1，B（0，2）转化为
