1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 16：函数自变量取值范围的探讨：函数自变量取值范围的探讨 函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变 量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决 条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合年和年全国各地中考的实例，我们从 这三方面进行函数自变量取值范围的探讨： （1）函数关系式中函数自变量的取值范围； （2）实际问题中函 数自变量的取值范围； （3）几何问题中函数自变量的取值范
2、围。 一、函数关系式中函数自变量的取值范围一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围 主要考虑以下四种情况： （1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2）函数关系式为分 式形式：分母0； （3）函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含 0 指数：底数0。 典型例题：典型例题： 例例 1： （浙江（浙江衢州衢州 3 分）分）函数y= x1的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为【 】 A B C D 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】【分析
3、】根据二次根式有意义的条件，计算出x1的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在 数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“” 要用空心圆点表示。 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x1在实数范围内有意义，必须x10 x1。故在数轴上表示为：。故选 D。 例例 2： （湖南郴州： （湖南郴州 3 分）分）函数 y= 1 x2 中自变量 x 的取值范围是【 】 Ax=2 Bx2 Cx2 Dx2 【答案】【答案】B。 【考点】考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。 【分析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件
4、，根据分式分母不为 0 的条件，要使 1 x2 在实数范围内有意义，必须x20 x2。故选 B。 2 例例 3： （湖南衡阳： （湖南衡阳 3 分）分）函数 2 y= x+2 中自变量 x 的取值范围是【 】 Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。 【分析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负 数和分式分母不为 0 的条件，要使 2 x+2 在实数范围内有意义，必须 x+20 x2 x 2 x+20 x2 。故选 A。 例例 5： （四川： （四川内江内江
5、3 分）分）函数 1 yx x 的图像在【 】 A.第 一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。 【分析】【分析】函数 1 yx x 的定义域为0 x， 0y ，根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在 第一象限，故选 A。 练习题：练习题： 1. （湖南怀化（湖南怀化 3 分）分）在函数y2x3中，自变量x的取值范围是【 】 A 3 x 2 B. 3 x 2 C. 3 x 2 D. 3 x 2 2. （山东威海（山东威海 3 分）分）函数 1 y= x3 的自变量 x 的取
6、值范围是【 】 A. x3 B. x3 C. x3 D. x3 3 3. （四川（四川德阳德阳 3 分）分）使代数式 x 2x1 有意义的 x 的取值范围是【 】 A.x0 B. 1 x 2 C.x0且 1 x 2 D.一切实数 4. （江苏无锡（江苏无锡 2 分）分）函数y=1+ 2x4中自变量 x 的取值范围是 5. （四川（四川自贡自贡 4 分）分）函数 1 y2x x1 中，自变量 x 的取值范围是 二、实际问题中函数自变量的取值范二、实际问题中函数自变量的取值范围围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个 因素： （1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；
7、 （2）问题中的限制条件，此时 多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。 典型例题：典型例题： 例例 1： （上海市上海市 10 分）分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量 （注：总成本=每吨的成本 生产数量） 【答案】【答案】解： （1）利用图象设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b， 将（10，10） （50，6）代入解析式得： 10k+b=10 50k
8、+b=6 ，解得： 1 k= 10 b=11 。 y 关于 x 的函数解析式为 y= 1 10 x+11（10 x50） 。 （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时， x（ 1 10 x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去） 。 该产品的生产数量为 40 吨。 【考点】【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方 程。 4 【分析】【分析】 （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时， 得出 x 的定义域。 （2）根据总成本=每吨的成本 生产数量，利用（1）中所
9、求得出即可。 例例 2： （湖北鄂州： （湖北鄂州 10 分）分）某私营服装厂根据年市场分析，决定年调整服装制作方案，准备 每周（按 120 工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，且衬衣至少 60 件。已知每件服装的收入和 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 2 1 3 1 4 1 收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服 x 件，休闲服 y件，衬衣 z 件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有 x,y 的代数式表示衬衣的件数 z。 （2） 求 y 与 x 之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总
10、收入是多少？ 【答案】【答案】解： （1）从件数方面：z=360 xy， 从工时数方面：由 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120 整理得：z=4802x 4 3 y。 （2）由（1）得 360 xy=4802x 4 3 y，整理得：y=3603x。 （3）由题意得总收入 s=3x2yz=3x2（3603x）2x=x720 由题意得 2x60 x0 3603x0 ，解得 30 x120。 由一次函数的性质可知，当 x=30 的时候，s 最大，即当每周生产西服 30 件，休闲服 270 件，衬衣 60 件时，总收入最高，最高总收入是 690 百元。 【考点】【考点】一次函数和一元一次不等
11、式组的应用。 【分析】【分析】 （1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含 x，y 的关系式表示 z。 （2）由（1）整理得：y=3603x。 （3）由题意得 s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于 x 的一次函数。由题意得 2x60 x0 3603x0 ， 解得 30 x120，从而根据一次函数的性质作答。 5 例例3： （湖北黄冈： （湖北黄冈12分）分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售
12、；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元 (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围 (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量 的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应 将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】【答案】解： （1）设件数为
13、x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0 x10时，y=（30002400）x=600 x； 当10 x50时，y=300010（x10）2400 x，即y=10 x2+700 x； 当x50时，y=（26002400）x=200 x。 2 600 x(0 x10 x) y10 x700 x(10 x50 x) 200 x(x50 x) ，且整 ，且整 ，且整 为数 为数 为数 。 （3）由y=10 x2+700 x可知抛物线开口向下，当 700 x35 210 时，利润y有最大值， 此时，销售单价
14、为300010（x10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 【考点】【考点】二次函数的应用。 【分析】【分析】 （1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价 件数，及销售单价均不低于2600元，按0 x10，10 x50，x50三种 情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确 定销售单价。 例例 4： （四川： （四川巴中巴中 9 分）分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200
15、 件。如果 每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） 。设每件商品的售价上涨 x 元 （x 为整数） ，每个月的销售利润为 y 元， （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 6 【答案】【答案】解： （1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，则每件商品的利润为： （6050 x）元， 总销量为： （200-10 x）件， 商品利润为：y=（6050 x） （20010 x）=10 x2100 x2000。 原售价为每件 60 元，每件售价不
16、能高于 72 元，0 x12。 （2）y=10 x2100 x2000=10（x5）2+2250， 当 x=5 时，最大月利润 y=2250。 答：每件商品的售价定为 5 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2250 元。 【考点】【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】【分析】 （1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式。 （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法） ，从而得出当 x=5 时得出 y 的 最大值。 例例 5： （： （辽宁锦州辽宁锦州 10 分）分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 2
17、0 元.调查发现：销售单价 是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高 于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨 了 x 元时（x 为正整数 ） ，月销售利润为 y 元. （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. （2）每件玩具的售价 定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价 定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】【答案】解： （1）依题意得 2 y(30 x20)(230 10 x)10 x130 x2300 自变量 x 的取值范围是：0 x10
18、 且 x 为正整数。 （2）当 y=2520 时，得 2 10 x130 x23002520， 解得 x1=2,x2=11（不合题意，舍去） 。 当 x=2 时，30+x=32。 每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元。 （3） 22 y10 x130 x230010(x6.5)2722.5 a=-100 当 x=6.5 时，y有最大值为 2722.5 。 0 x10 且 x 为正整数， 当 x=6 时，30+x=36,y=2720， 当 x=7 时，30+x=37,y=2720。 每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润。 最大的月利润是 272
19、0 元。 7 【考【考 点】点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】【分析】 （1）根据销售利润=销售量 销售单价即可得 y 与 x 的函数关系式。因为 x 为正整数，所以 x0； 因为每件玩具售价不能高于 40 元， 所以 x4030=10。 故自变量 x 的取值范围是： 0 x10 且 x 为正整数。 （2）求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可。 （3）将函数式化为顶点式即可求。 例例 6： （黑龙江龙东地区： （黑龙江龙东地区 10 分）分）国务院总理温家宝年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会议决定建立 青海三江源国家生态保护综合实验区。现要
20、把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车 共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙 两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙两地的 总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方
21、案，并 求出最少总运费。 【答案】【答案】解： （1）设大货车用 x 辆，则小货车用（18x）辆，根据题意得 16x10（18x）=228 ，解得 x=8， 18x=188=10。 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆。 （2）w=720a800（8a）+500（9a）+65010（9a）=70a11550， w=70a11550（0a8 且为整数） 。 （3）由 16a10（9a）120，解得 a5。 又0a8，5a8 且为整数。 w=70a+11550，k=700，w 随 a 的增大而增大， 当 a=5 时，w 最小，最小值为 W=70 5+11550=11900。 答：使总运费最少的
22、调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、6 辆 小货车前往乙地最少运费为 11900 元。 8 【考点】【考点】一元一次方程和一次函数的应用 【分析】【分析】 （1）设大货车用 x 辆，则小货车用 18x 辆，根据运输 228 吨物资，列方程求解。 （2）设前往甲地的大货车为 a 辆，则前往乙地的大货车为（8a）辆，前往甲地的小货车为（9 a）辆，前往乙地的小货车为10（9a）辆，根据表格所给运费，求出 w 与 a 的函数关系式。 （3）结合已知条件，求 a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。 例例 7： （广西南宁： （广西南宁 10 分）分
23、）南宁市某生态示范村种植基地计划用 90 亩120 亩的土地种植一批葡萄，原计划 总产量要达到 36 万斤 （1）列出原计划种植亩数 y（亩）与平均每亩产量 x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划 增加了 9 万斤，种植亩数减少了 20 亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【答案】【答案】解： （1）由题意知：xy=36， 36 y x （ 32 x 105 ） 。 （2）根据题意得： 36369 20 x1.5x ，解得：x=0.3。 经检验：x=0.3 是原
24、方程的根。1.5x=0.45。 答：改良前亩产 0.3 万斤，改良后亩产 0.45 万斤。 【考点】【考点】反比例函数和分式方程的应用 【分析】【分析】 （1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。 （2）根据题意列出 36369 20 x1.5x 后求解即可。 例例 8： （四川攀枝花： （四川攀枝花 8 分）分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所 产生的费用进行核算并纳入企业生产计划某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 AB 两厂，通过了解获得 AB 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/tkm”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）
25、 ： 厂别 运费（元/tkm） 路程（km） 需求量（t） A 0.45 200 不超过 600 B a（a 为常数） 150 不超过 800 （1）写出总运费 y（元）与运往 A 厂的煤炭量 x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含 a 的 代数式表示） 9 例例 9： （湖北恩施： （湖北恩施 8 分）分）小丁每天从某报社以每份 0.5 元买进报纸 200 分，然后以每份 1 元卖给读者，报纸 卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收
26、入为 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）如果每月以 30 天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元？ 【答案】【答案】解： （1）y=（10.5）x（0.50.2） （200 x）=0.8x60（0 x200） 。 10 （2）根据题意得：30（0.8x60）2000，解得 x 1 138 3 。 小丁每天至少要买 159 份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元。 【考点】【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】【分析】 （1）因为小丁每天从某市报社以每份 0.5 元买出报纸 200 份，然后
27、以每份 1 元卖给读者，报纸卖 不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收入 为 y 元，则 y=（10.5）x（0.50.2） （200 x）即 y=0.8x60，其中 0 x200 且 x 为整数。 （2）因为每月以 30 天计，根据题意可得 30（0.8x60）2000，解之求解即可。 练习题：练习题： 1. （福建龙岩（福建龙岩 12 分）分） 周六上午 8：O0 小明从家出发，乘车 1 小时到郊外某基地参加社会实践活动，在 基地活动 2.2 小时后，因家里有急事，他立即按原路以 4 千米/时的平均速度步行返回同时爸爸开车从家
28、出发沿同一路线接他，在离家 28 千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回设小 明离开家的时间为 x 小时，小名离家的路程 y (干米) 与 x (小时)之间的函致图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是_千米/小时，爸爸开车的平均速度应是_千米/小时； (2)求线段 CD 所表示的函敛关系式； (3)问小明能否在 12：0 0 前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出 12：00 时他离家的路程， 2. （宁夏（宁夏自治区自治区 10 分）分）甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从 A 地逆流而上前往 B 地，甲所乘冲 锋舟在静水中的速度为 11 12 km/min，
29、甲到达 B 地立即返回； 乙所乘冲锋舟在静水中的速度为 7 12 km/min 已 知 A、 B 两地的距离为 20km，水流速度为 1 12 km/min，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离 y(km)与所用时间 x(min) 之间的函数图象如图所示 (1) 求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y 与 x(min)之间的函数关系式； (2)甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？ 11 3. （山东日照（山东日照 9 分）分）某商业集团新进了 40 台空调机，60 台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店 销售，其中 70 台给甲连锁店，30 台给乙连锁店两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表
30、： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这 100 台电器的总利润为y（元） （1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后 每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利 润达到最大？ 4. （黑龙江（黑龙江龙东五市龙东五市 8 分）分） 汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注， 全国各省对口支援四川省受灾市县。 我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县 180 千
31、米的汉中市火车站，再由汽车运往 剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在 接到通知后第 12 分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第 8 分钟时修复并继续按 原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时 间和乙车掉头时间忽略不计） ，乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车 离剑阁县的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接在坐标系中的( )内填上数据。 （2）求直线 CD 的函数解析式，并写出自变量的
32、取值范围。 （3）求乙车的行驶速度。 5. （山东（山东菏泽菏泽 9 分分）我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠；凡是一次买 10 12 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降 价 0.10 （2010）=1（元） ，因此，所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算，但是最低价为每只 16 元 （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出该专卖店当一次销售x时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的 取值范围； （3）若店主一次卖的只数在 10 至 5
33、0 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 6. （云南昆明云南昆明 9 分）分）A 市有某种型号的农用车 50 辆，B 市有 40 辆，现要将这些农用车全部调往 C、D 两 县，C 县需要该种农用车 42 辆，D 县需要 48 辆，从 A 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 300 元 和 150 元，从 B 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 200 元和 250 元 （1）设从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2） 若此次调运的总费用不超过 16000 元， 有
34、哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？ 三、几何问题中函数自变量的取值范围三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还 需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。 典型例题：典型例题： 例例 1： （黑龙江大庆（黑龙江大庆 6 分）分）将一根长为 16厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆 半径分别为 1 r和 2 r. （1）求 1 r与 2 r的关系式，并写出 1 r的取值范围； （2）将两圆的面积和 S 表示成 1 r的函数关系式，求 S 的最小值 【答案】【答案】解： （1）由题意，有 2r1
35、+2r2=16，则 r1+r2=8。 r10，r20，0r18。 r1与 r2的关系式为 r1+r2=8，r1的取值范围是 0r18 厘米。 （2）r1+r2=8，r2=8r1。 又 22 2222 1211111 Sr + r = r +8r=2 r16 r +64 =2r4+32， 当 r1=4 厘米时，S 有最小值 32 平方厘米。 【考点】【考点】二次函数的应用。119281 13 【分析】【分析】 （1）由圆的周长公式表示出半径分别为 r1和 r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于 16 厘米列出关系式即可。 （2）先由（1）可 得 r2=8r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆
36、的面积和 S 表示成 r1的函数关 系式，然后根据函数的性质即可求出 S 的最小值。 例例 2： （江苏无锡： （江苏无锡 8 分）分）如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等 腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD 四个顶点正好重合于 上底面上一点） 已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x （cm） （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？ 【答案】【答案】解：
37、 （1）根据题意，知这个正方体的底面边长 a=2x，EF=2a=2x， x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=62， V=a3=（62）3=4322（cm3） ； （2）设包装盒的底面边长为 acm，高为 hcm，则 a=2 x， 242x h2 12x 2 ， S=4ah+a2= 2 2 2 4 2x2 12x2x6x96x=6 x8238 。 0 x12，当 x=8 时，S 取得最大值 384cm2。 【考【考点】点】二次函数的应用。 【分析】【分析】 （1）根据已知得出这个正方体的底面边长 a=2x，EF=2a=2x，再利用 AB=24cm，求出 x 即 可得出这个包装盒的体积 V。
38、 （2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。 14 例例 3： （： （上海市上海市 14 分）分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90 ，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不 与点 A、B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D、E （1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设 BD=x，DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域 【答案】【答案】解： （1）点 O 是圆心，ODBC，BC=1，BD= 1 2 BC= 1
39、2 。 又OB=2， 2 222 115 OD= OBBD2 22 。 （2）存在，DE 是不变的。 如图，连接 AB，则 22 AB= OB +OA2 2。 D 和 E 是中点，DE= 1 AB= 2 2 。 （3）BD=x， 2 OD4x。 1=2，3=4，AOB=900。 2+3=45 。 过 D 作 DFOE，垂足为点 F。DF=OF= 2 4x 2 。 由BODEDF，得 BDOD = EFDF ，即 2 2 x4x = EF 4x 2 ，解得 EF= 1 2 x。 OE= 2 x+ 4x 2 。 15 2222 114xx+ 4x4x +x 4x yDF OE=0 x2 22422
40、 （）。 例例 4： （广东梅州： （广东梅州 11 分）分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0） 、C（0，2） 、D（0，3） ，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60 （1）点 B 的坐标是 ；CAO= 度；当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ； （直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使AMN 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由 （3）设点 P 的横坐标为 x，OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S
41、，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围 【答案】【答案】解： （1）（6，23） 。 30。（3，33） 。 16 （2）存在。m=0 或 m=33或 m=2。 （3）当 0 x3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 lBCOA， 可得 EFPEDC31 = OQPODO33 3 ，EF= 1 3 （3+x） ， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 14 34 3 SSEFOQOC3xx4 3 233 梯形 （）（）= 当 3x5 时，如图 2， HAQEFQOEFQO 2 2 1 SSSSAH AQ
42、2 4 33313 33 x4 3x3xx 32232 = 梯形梯形 。 当 5x9 时，如图 3， 12 SBEOAOC3 12x 23 2 3 =x12 3 3 （）（） 。 当 x9 时，如图 4， 1118 354 3 SOA AH6= 22xx 。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 2 4 3 x4 3 0 x3 3 313 33 xx3x5 232 S 2 3 x12 3 5x9 3 54 3 x9 x 。 【考点】【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】【分析】 （1）由四边形 OABC 是矩形，根
43、据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： 四边形 OABC 是矩形，AB=OC，OA=BC， 17 A（6，0） 、C（0，23） ，点 B 的坐标为： （6，23） 。 由正切函数，即可求得CAO 的度数： OC2 33 tan CAO= OA63 ，CAO=30 。 由三角函数的性质， 即可求得点 P 的坐标； 如图： 当点 Q 与点 A 重合时， 过点 P 作 PEOA 于 E， PQO=60 ，D（0，33） ，PE=33。 0 PE AE3 tan60 。 OE=OAAE=63=3，点 P 的坐标为（3，33） 。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求
44、得答案： 情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30 ， MNO=60 。 PQO=60 ，即MQO=60 ，点 N 与 Q 重合。 点 P 与 D 重合。此时 m=0。 情况，如图 AM=AN，作 MJx 轴、PIx 轴。 MJ=MQsin60=AQsin600 3 OAIQOIsin603m 2 （）（） 又 113 MJAM=AN= 222 ， 33 3m 22 （）=，解得：m=33。 情况AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PKOA 于 K，过点 M 作 MGOA 于 G， MG= 3 2 。 00 PK3 3MG1 QK3GQ 2tan603tan60 ，。
45、 KG=30.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。OK=2。m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=33或 m=2。 （3）分别从当 0 x3 时，当 3x5 时，当 5x9 时，当 x9 时去分析求解即可求得答案。 18 例例 5： （广东汕头： （广东汕头 12 分）分）如图，抛物线 2 13 y=xx9 22 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、 AC （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合） ，过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D设 AE 的
46、长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆 的面积（结果保留 ） 【答案】【答案】解： （1）在 2 13 y=xx9 22 中， 令 x=0，得 y=9，C（0，9） ； 令 y=0，即 2 13 xx9=0 22 ，解得：x1=3，x2=6，A（3，0） 、B（6，0） 。 AB=9，OC=9。 （2）EDBC，AEDABC， 2 AED ABC SAE SAB ，即： 2 sm 1 9 9 9 2 。 s= 1 2 m2（0m9）
47、 。 （3）SAEC= 1 2 AEOC= 9 2 m，SAED=s= 1 2 m2， SEDC=SAECSAED = 1 2 m2+ 9 2 m= 1 2 （m 9 2 ）2+ 81 8 。 CDE 的最大面积为 81 8 ， 此时，AE=m= 9 2 ，BE=ABAE= 9 2 。 19 又 22 BC6 +9 =3 13， 过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得： EFBE OCBC ，即： 9 EF 2 93 13 。 27 EF13 26 。 以 E 点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 SE=EF2= 729 52 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值， 勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】【分析】 （1）已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而 确定 AB、OC 的长。 （2）直线 lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 （3）首先用 m 列出AEC 的面积表达式，AEC、AED
