1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 9：几何三大变换之轴对称探讨：几何三大变换之轴对称探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称， 这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。 轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换： （1）轴对称和轴对称图形的 识别和构造； （2）线段、角的轴对称性； （3
2、）等腰（边）三角形的轴对称性； （4）矩形、菱形、正方形的 轴对称性； （5）等腰梯形的轴对称性； （6）圆的轴对称性； （7）折叠的轴对称性； （8）利用轴对称性求最 值； （9）平面解析几何中图形的轴对称性。 一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：一、轴对称和轴对称图形的识别和构造： 典型例题：典型例题： 例例 1. （重庆市重庆市 4 分）分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】 A B C D 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】轴对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此， A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项
3、正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误。 故选 B。 例例 2. （广东湛江（广东湛江 4 分）分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【 】 A B C D 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】轴对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此 2 A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。 故选 A。 例例 3. （四川（四川达州达州 3 分）分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】 【答案
4、】【答案】A。 【考点】【考点】轴对称图形，中心对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案： A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。 故可得选项 A 与其他图形的对称性不同。故选 A。 例例 4. （广西柳州（广西柳州 3 分）分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】 【答案】【答案】C。 【考点】考点】轴对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可： A、圆有无数条对称轴，故本选
5、项错误； B、等边三角形有 3 条对称轴，故本选项错误； C、矩形有 2 条对称轴，故本选项正确； D、等腰梯形有 1 条对称轴，故本选项错误。 故选 C。 例例 5. （福建三明（福建三明 8 分）分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，1） ，B（3，3） ， C（1，3）. 3 画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （4 分） 画出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2，并写出点 A2的坐标.（4 分） 【答案】【答案】解：如图所示，A1（2，1） 。 如图所示，A2（2，1） 。 【考点】【考点】轴对称和中心对称作图。 【分析】【分析】根据轴
6、对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A2的坐标。 例例 6. （四川乐山（四川乐山 9 分）分）如图，在 10 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点 ABC（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1； （要求：A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接 BB1，CC1，求四边形 BB1C1C 的面积 【答案】【答案】解： （1）如图，A1B1C1 是ABC 关于直线 l 的对称图形。 4 （2）由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4。 S四边形BB
7、1C1C 11 11 BB +CC4=4+2=12 22 。 【考点】【考点】作图（轴对称变换） 。 【分析】【分析】 （1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分作 BM直线 l 于点 M，并延 长到 B1，使 B1M=BM，同法得到 A，C 的对应点 A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。 （2）由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4，根据梯形的面积公式进行计 算即可。 例例 7. （贵州安顺（贵州安顺 4 分）分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 【答案】【答案】309087。 【考点】【考点】镜面对称。 【分析】【分析】拿
8、一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是 309087。 例例 8. （福建宁德（福建宁德 4 分）分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线 裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】 A B C D 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】剪纸问题 【分【分析】析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项 B 中所 5 示。故选 B。 例例 9. （福建龙岩（福建龙岩 12 分）分）如图 1，过ABC 的顶点 A 作高 AD，将点 A 折叠到点 D（如图 2） ，这时 EF 为折痕，且BED 和CFD 都是
9、等腰三角形，再将BED 和CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG 折叠， 使 B、C 两点都与点 D 重合，得到一个矩形 EFGH（如图 3） ，我们称矩形 EFGH 为ABC 的边 BC 上的 折合矩形 （1）若ABC 的面积为 6，则折合矩形 EFGH 的面积为 ； （2）如图 4，已知ABC，在图 4 中画出ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH； （3） 如果ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形， 且 BC=2a， 那么， BC 边上的高 AD= ， 正方形 EFGH 的对角线长为 【答案】【答案】解： （1）3。 （2）作出的折合矩形 EFGH： （3）2a ；
10、2a。 【考点】【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）由折叠对称的性质，知折合矩形 EFGH 的面积为ABC 的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么，正方形边长为 a， BC 边上的高 AD 为 EFGH 边长的两倍 2a。 根据勾股定理可得正方形 EFGH 的对角线长为2a。 6 例例 10.（山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋 再下一子，使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形，白棋的 5 个棋
11、子也成轴对称图形则下列下子方法不正确 的是【 】 说明：棋子的位置用数对表示，如 A 点在(6，3) A黑(3，7)；白(5，3) B黑(4，7)；白(6，2) C黑(2，7)；白(5，3) D黑(3，7)；白(2，6) 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】利用轴对称设计图案。 【分析】【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答： A、若放入黑（3，7） ，白（5，3） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形； B、若放入黑（4，7） ；白（6，2） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形； C、若放入黑（2，7） ；白（5，3） ，则此时黑
12、棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形； D、若放入黑（3，7） ；白（6，2） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。 故选 C。 练习题：练习题： 1. （浙江（浙江宁波宁波 3 分）分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】 A B C D 2. （江苏（江苏连云港连云港 3 分）分）下列图案是轴对称图形的是【 】 A B C D 3. （贵州遵义（贵州遵义 4 分）分）在 4 4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格 中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种 7 4.（贵州遵义（贵州遵义 3 分分）把一张正方形纸片如图、图
13、对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开 后图形是【 】 A B C D 5. （广西钦州（广西钦州 3 分）分） 如图所示， 把一张矩形纸片对折， 折痕为 AB， 在把以 AB 的中点 O 为顶点的平角AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三 角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】 A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 6. （四川广（四川广安安 8 分）分）现有一块等腰三角形板，量得周长为 32cm，底比一腰多 2cm，若把这个三角形纸板 沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并
14、计算拼成的各个四边形的 两条对角线长的和 7. （浙江杭州（浙江杭州 4 分）分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标 系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 8 8. （广东广州（广东广州 12 分）分）如图，P 的圆心为 P（3，2） ，半径为 3，直线 MN 过点 M（5，0）且平行于 y 轴，点 N 在点 M 的上方 （1）在图中作出P 关于 y 轴对称的P根据作图直接写出P与直线 MN 的位置关系 （2）若点 N 在（1）中的P上，求 PN 的长 9. （湖南郴州（湖南郴州 6
15、分）分）作图题：在方格纸中：画出ABC 关于直线 MN 对称的A1B1C1 二、线段、角的轴对称性：二、线段、角的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1. （湖北恩施（湖北恩施 3 分）分）如图，ABCD，直线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EG 平分BEF，交 CD 于点 G，1=50 ，则2 等于【 】 9 A50 B60 C65 D90 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】平行线的性质，角平分线的定义。 【分析】【分析】ABCD，BEF+1=180 （两直线平行，同旁内角互补） 。 1=50 ，BEF=130 （等量代换） 。 EG 平分BEF，BEG= 1 2 B
16、EF=65 （角平分线的定义） 。 2=BEG=65 （两直线平行，内错角相等定理） 。故选 C。 例例 2. （海南省（海南省 3 分）分）如图，在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DEBC，分别交 AB、AC 于 D、E若 AB=5，AC=4，则ADE 的周长是 . 【答案】【答案】9。 【考点】【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。 【分析】【分析】OB 是B 的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE 的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBE
17、CAE=ABAC=54=9。 例例 3.（广东梅州（广东梅州 3 分）分）如图，AOE=BOE=15 ，EFOB，ECOB，若 EC=1，则 EF= 10 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含 30 度 角的直角三角形的性质。 【分析】【分析】作 EGOA 于 F， EFOB，OEF=COE=15 ， AOE=15 ，EFG=15 +15 =30 。 EG=CE=1，EF=2 1=2。 例例 3.（贵州铜仁（贵州铜仁 5 分）分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到广场 的两个入口 A、B 的距离相等，且到广场管
18、理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半，A、B、C 的位置 如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置， （要求：不写已知、求作、作法和结论，保 留作图痕迹，必须用铅笔作图） 【答案】【答案】解：作图如下：M 即为所求。 【考点】【考点】作图（应用与设计作图） 。 【分析】【分析】连接 AB，作出线段 AB 的垂直平分线，在矩形中标出点 M 的位置（以点 C 为圆心， 1 2 AB 长为 半径画弧交 AB 的垂直平分线于点 M） 。 11 例例 4.（山东德州（山东德州 8 分）分）有公路 l1同侧、l2异侧的两个城镇 A，B，如下图电信部门要修建一座信号发射 塔，按照
19、设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2的距离也必须相等，发 射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置 （保留作图痕迹，不 要求写出画法） 【答案】【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。 【考点】【考点】作图（应用与设计作图） 。 【分析】【分析】根据题意知道，点 C 应满足两个条件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的 平分线上，所以点 C 应是它们的交点。 （1）作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE； （2）作线段 AB 的垂直平分线 FG。则射线 OD，OE 与 直线 FG 的交点 C
20、1，C2就是所求的位置。 练习题：练习题： 1. （湖南怀化（湖南怀化 3 分）分） 如图， 已知 ABCD， AE 平分CAB， 且交 CD 于点 D， C=110 ， 则EAB 为 【 】 A30 B35 C40 D45 12 2. （贵州黔南（贵州黔南 4 分）分）如图，已知直线 ABCD，BE 平分ABC，交 CD 于 D，CDE=1500，则C 的度 数是【 】 A1500 B1300 C1200 D1000 3. （云南省云南省 3 分）分）如图，在ABC中，B=67，C=33，AD 是ABC的角平分线，则CAD 的度数 为【 】 4. （浙江（浙江嘉兴、舟山嘉兴、舟山 5 分分）
21、在直角ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 5.（湖南娄底（湖南娄底 4 分）分）如图，FEON，OE 平分MON，FEO=28 ，则MFE= 度 三、等腰（边）三角形的轴对称性：三、等腰（边）三角形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 6 分）分）已知一个等腰三角形的腰长为 5，底边长为 8，将该三角形沿底边上的高剪成 两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角 线的长，并画出体现解法的辅助线 【答案】【答案】解：能拼成 3 种平行四
22、边形，如图： 13 图 1 中，对角线的长为 5； 图 2 中，对角线的长为 3 和73； 图 3 中，对角线的长为 4 和2 13 【考点】【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】根据平行四边形的性质拼图。图 1 中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为 5；图 2 中，一 条对角线的长为 3，另一条对角线的长为 22 3 +8 = 73；图 2 中，一条对角线的长为 3，另一条对角线的 长为 22 4 +6 = 52=2 13。 例例 2.（福建三明（福建三明 4 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上
23、，若以 P，O，A 为 顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】 A 2 个 B 3 个 C4 个 D5 个 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰三角形的判定。 【分析】【分析】如图，分 OP=AP（1 点） ，OA=AP（1 点） ，OA=OP（2 点）三种情况讨论。 以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 14 例例 3. （湖北荆门（湖北荆门 3 分）分）如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E， 线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF=2，则 P
24、E 的长为【 】 A 2 B 2 C D 3 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的 性质。 【分析】【分析】ABC 是等边三角形，点 P 是ABC 的平分线，EBP=QBF=30 ， BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2 3 = 3 2 。 FQ 是 BP 的垂直平分线，BP=2BQ=23。 在 RtBEF 中，EBP=30 ，PE= 1 2 BP=3。故选 C。 例例 4. （上海市上海市 4 分）分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等 的等边三角形，如果当它们
25、的一边重合时，重心距为 2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。 【分析】【分析】设等边三角形的中线长为 a，则其重心到对边的距离为： 1 a 3 ， 它们的一边重合时（图 1） ，重心距为 2， 15 1 2a=2 3 ，解得 a=3。 当它们的一对角成对顶角时（图 2）重心= 22 2a=23=4 33 。 例例 5. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）矩形 ABCD 中，AB=10，BC=3，E 为 AB 边的中点，P 为 CD 边上的点，且 AEP 是腰长为 5 的等腰三角形，则 DP= 【答案】【答案】4
26、 或 1 或 9。 【考点】【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，根据题意， AB=10，BC=3，E 为 AB 边的中点， AE=5，AD=3。 若 AE=AP=5，则在 RtADP1中， 由勾股定理，得 DP1=4。 若 AE=PE=5， A 作 EFCD 于点 F， 则 EF=3， DF=5 在 RtEFP2中，P2F=4，DP2=DFP2F=1：在 RtEFP3中，P3F=4，DP3=DFP3F=9。 另 AP=EP=5 不成立。 综上所述，DP=4 或 1 或 9。 例例 6. （湖北随州（湖北随州 8 分）分）如图,在ABC 中，AB=AC，
27、点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上. 求证： （1）ABDACD；(2)BE=CE 【答案】【答案】证明： （1）D 是 BC 的中点，BD=CD。 在ABD 和ACD 中，BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)， ABCACD（SSS） 。 （2）由（1）知ABDACD，BAD=CAD，即BAE=CAE。 在ABE 和ACE 中， AB=AC，BAE=CAD，AE=AE， ABEACE （SAS） 。BE=CE（全等三角形的对应边相等） 。 【考点】【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。 16 【分析】【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理 SSS 可以证得A
28、BDACD。 （2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知BAE=CAE；根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABEACE；由全等三角形的对应边相等知 BE=CE。 练习题：练习题： 1. （湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC若ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为【 】 A2 B3 C3 D3+1 2. （湖北孝感（湖北孝感 3 分）分）如图，在ABC 中，ABAC，A36 ，BD 平分ABC 交 AC 于点 D若 AC2，则 AD 的长是
29、【 】 3. （江苏淮安（江苏淮安 3 分）分）如图，ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，若BAC=700，则BAD= 0。 4. （四川（四川泸州泸州 5 分）分）如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE， 使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连结 AE。 求证：AEBC 17 5. （甘肃白银甘肃白银 10 分）分）如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，EFB=60 ， DC=EF （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD 四、矩形、菱形、正方形等腰梯形
30、的轴对称性：四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1. （辽宁沈阳辽宁沈阳 3 分）分）如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中的等腰直角三角形 有【 】 A4 个 B6 个 C8 个 D10 个 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。 【分析】【分析】正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，ACBD。 图中的等腰直角三角形有AOB、 AOD、 COD、 BOC、 ABC、 BCD、 ACD、 BDA 八个。故选 C
31、。 例例 2. （安徽省（安徽省 4 分）分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更 换后， 图中阴影部分为植草区域， 设正八边形与其内部小正方形的边长都为a， 则阴影部分的面积为 【 】 18 A.2 2 a B. 3 2 a C. 4 2 a D.5 2 a 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。 【分析】【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是 2 a，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是 对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算： 222 11 42 22 aaa。故选 A。
32、 例例 3. （山西省（山西省 2 分）分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 ACBD 的长分别为 6cm、8cm，AEBC 于点 E， 则 AE 的长是【 】 A5 3cm B2 5cm C 48 cm 5 D 24 cm 5 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】菱形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是菱形，CO= 1 2 AC=3，BO= 1 2 BD=，AOBO， 2222 BC= CO +BO3 +45。 ABCD 11 SBD AC6 824 22 菱形 。 又 ABCD SBC AE 菱形 ，BC AE=24，即 24 AEcm 5 。故选 D。 例例 4.
33、 （江苏（江苏南通南通 3 分）分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC8cm，AOD120 ，则 AB 的长为【 】 A 3cm B2cm C2 3cm D4cm 【答案】【答案】D。 19 【考点】【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。 【分析】【分析】在矩形 ABCD 中，AO=BO= 1 2 AC=4cm， AOD=120 ，AOB=180 120 =60 。AOB 是等边三角形。 AB=AO=4cm。故选 D。 例例 5. （湖北恩施（湖北恩施 3 分）分）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120 ，则图中阴影部 分的面积是【 】
34、A3 B2 C3 D2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】如图，设 BF、CE 相交于点M， 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3， BCMBGF， CMBC GFBG ，即 CM2 32+3 。 解得 CM=1.2。DM=21.2=0.8。 A=120 ，ABC=180 120 =60 。 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60 =2 3 3 2 ， 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60 =3 33 3 22 。 阴影部分面积=SBDM+SDFM= 1
35、2 0.83+ 1 2 0.83 33 2 。故选 A。 例例 6. （广东深圳（广东深圳 3 分）分）如图，RtABC 中，C= 90o，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对 角线交于点 D，连接 OC，已知 AC=5，OC=62，则另一直角边 BC 的长为 20 例例 7. （上海市上海市 12 分）分）己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD，BAF=DAE，AE 与 BD 交于点 G （1）求证：BE=DF； （2）当 DFAD FCDF 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形 21 【答案】【答案】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形，A
36、B=AD，ABC=ADF， BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即：BAE=DAF。 BAEDAF（ASA） 。BE=DF。 （2）四边形 ABCD 是菱形，ADBC。ADGEBG。 ADDG BEBG 。 又BE=DF ， DFAD FCDF ， DFADDG FCBEBG 。GFBC。 DGF=DBC=BDC。DF=GF。 又BE=DF ，BE=GF。四边形 BEFG 是平行四边形。 【考点】【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形 的判定，平行四边形的判定。 【分析】【分析】 （1）由菱形的性质和BAF=DAE，证得ABF 与A
37、FD 全等后即可证得结论。 （2）由 ADBC 证得ADGEBG，从而 ADDG BEBG ；由 DFAD FCDF 和 BE=DF 即可得证得 DFADDG FCBEBG 。从而根据平行线分线段成比例定理证得 FGBC，进而得到DGF=DBC=BDC， 根据等腰三角形等角对等边的判定和 BE=DF ，证得 BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边 形。 例例 8. （湖南娄底（湖南娄底 9 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 ADBC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点 （1）求证：MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由 【
38、答案】【答案】解： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90 。 在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 ADBC 的中点，AM= 1 2 AD，CN= 1 2 BC。 AM=CN。 在MAB 和NDC 中， AB=CD，A=C=90 ，AM=CN MABNDC（SAS） 。 （2）四边形 MPNQ 是菱形，理由如下： 22 连接 AN，易证：ABNBAM， AN=BM。 MABNDC，BM=DN。 P、Q 分别是 BM、DN 的中点，PM=NQ。 DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP， MQDNPB（SAS） 。MQ=PN。 四边形 MPNQ 是平行四边形。
39、 M 是 AB 中点，Q 是 DN 中点，MQ= 1 2 AN，MQ= 1 2 BM。 又MP= 1 2 BM，MP=MQ。四边形 MQNP 是菱形。 【考点】【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。 【分析】【分析】 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定MBANDC。 （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，由（1）可得到 BM=CN，再有中点得到 PM=NQ，再通过 证明MQDNPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三角形中位线的性质可 得：MP=MQ，从而证明四边形 MQNP 是菱形。 例例9.
40、（湖北黄冈（湖北黄冈7分）分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. 求证：AMDF. 【答案】【答案】证明：ABCD 是正方形，OD=OC。 又DE=CF，ODDE=OCCF，即OF=OE。 在RtAOE和RtDOF中，AO=DO ，AOD=DOF， OE=OF ， AOEDOF（SAS） 。OAE=ODF。 OAE+AEO=90 ，AEO=DEM，ODF+DEM=90 。AMDF。 【考点】【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。 【分析】【分析】由DE
41、=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明AOEDOF，得出OAE=ODF， 然后利用等角代换可得出DME=90 ，即得出了结论。 例例 10.（贵州贵阳（贵州贵阳 10 分）分）如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上 23 （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长 练习题：练习题： 1. （陕西省（陕西省 3分）分） 如图， 在菱形ABCD中， 对角线AC与BD 相交于点O， OEAB， 垂足为E， 若ADC=1300， 则AOE 的大小为【 】 24 A75 B65 C55
42、D50 2. （江苏（江苏苏州苏州 3 分）分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CEBD，DEAC.若 AC=4， 则四边形 CODE 的周长是【 】 B O D E C A A.4 B.6 C.8 D. 10 3. （江苏徐州（江苏徐州 3 分）分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= 1 4 BC。图中相 似三角形共有【 】 A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 4. （贵州毕节（贵州毕节 3 分）分）如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点作等边AEF，交 BC 边于 E，交 DC 边于F； 又以 A 为圆心
43、，AE 的长为半径作EF。若AEF 的边长为 2，则阴影部分的面积约是【 】 （参考数据：21.41431.732 ， 取 3.14） A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36 25 5. （安徽省（安徽省 5 分）分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、 PCD、PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填
44、在横线上）. 6. （湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）如图，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数） ，点 B 在线段 AC 上， 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， 连接 AM、 ME、 EA 得到AME 当 AB=1 时， AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，AME 的面积记为 S3；当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时，SnSn1= 7. （重庆市重庆市 10 分）分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于
45、点 M，过 M 作 MECD 于点 E，1=2 （1）若 CE=1，求 BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME 8. （四川（四川凉山凉山 7 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=12，点 E 在 AD 边上，且 AE=8，EFBE 交 CD 于 F （1）求证：ABEDEF； 26 （2）求 EF 的长 9.（四川（四川内江内江 9 分）分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 BD 上的一点，BAE=BCE，AED=CED， 点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F。 （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）当 AE=2EF 时，判断 FG
46、 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论。 10. （贵州黔南（贵州黔南 12 分）分）如图 1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点，且 AEEF，BE=2 （1）求 EC：CF 值； （2）延长 EF 交正方形BCD 的外角平分线 CP 于点 P（图 2） ，试判断 AE 与 EP 大小关系，并说明理由； （3）在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不 存在，请说明理由。 五、等腰梯形的轴对称性：五、等腰梯形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 27 例例 1. （广东广州（广东广州 3
47、分）分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，AD=5，DC=4，DEAB 交 BC 于点 E， 且 EC=3，则梯形 ABCD 的周长是【 】 A26 B25 C21 D20 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。 【分析】【分析】BCAD，DEAB，四边形 ABED 是平行四边形。BE=AD=5。 EC=3，BC=BE+EC=8。 四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC=4。 梯形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选 C。 例例 2. （福建漳州（福建漳州 4 分）分） 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， ADBC， AB=DC， B=80o， 则D 的度数是 【 】 A120o B110o C1
