1、金融数学（引论）1PPT课件第二章第二章 年金年金 年金年金(annuity)指以相等的时间间隔进行的一系列指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为收付款行为,也指以固定的时间周期以相对固定的方式也指以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流发生的现金流,例如投保、领保、房贷等例如投保、领保、房贷等注注:本书涉及的年金均默认为本书涉及的年金均默认为确定年金确定年金(annuity-certain)，即无条件确定发生的年金，即无条件确定发生的年金2PPT课件年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用接的一种应用年金的计算问题
2、主要包括年金的现值和终值计算两大类年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算两大类付款期付款期(payment period)指两次年金收指两次年金收取之间的时间间隔取之间的时间间隔注注：默认为时间间隔相等默认为时间间隔相等3PPT课件2.1 基本年金基本年金 基本年金基本年金 一种最简单的年金方式满足一种最简单的年金方式满足1）付款时期间隔相等）付款时期间隔相等2）每次付款额度相同）每次付款额度相同3）付款的频率与计息的频率相同）付款的频率与计息的频率相同 基本年金主要可分为期末年金和期初年金两基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型情形种典型情形4PPT课件期末年金期末年金(annui
3、ty-immediate)期末年金期末年金 年金的现金流在第一个付款期末首年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行。次发生，随后依次分期进行。n 期标准期末年金期标准期末年金每次的年金金额为每次的年金金额为 1 个货币个货币单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计n 次。次。时间流程图：时间流程图：5PPT课件记号记号 表示比较日选为表示比较日选为 0 时刻的时刻的n 期期标准期末年金的所有年金金额的标准期末年金的所有年金金额的现值现值之和，之和，简记简记“”。注注:记号记号 也可以表示利率也可以表示利率i 环境中的标准期环境中的标准期
4、末年金的现金流。末年金的现金流。注注:记号记号 中中“a”是年金的英文单词的第一是年金的英文单词的第一个字母，个字母，n 表示年金现金流的次数，表示年金现金流的次数，i 表示年表示年金的计算利率。金的计算利率。|ani|an|ani计算公式为：计算公式为：21nnnvavvvi|ani6PPT课件基本公式基本公式:1nniav即即:0 时刻一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0,n上每次上每次(利息利息)收入收入 i 的现金流价值的现金流价值()+n时刻一个货币单位的现值时刻一个货币单位的现值()nianv2)11nnaa即即:0 时刻一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0
5、,n上对应的上对应的n期期末年金现金流期期末年金现金流()1)1|an7PPT课件记号记号 表示标准期末年金的所有年金金表示标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的额在年金结束时刻的终值终值之和之和,简记简记“”|nisns计算公式为：计算公式为：12(1)(1)(1)1|nniiinis(1)1nii基本公式：基本公式：(1)1|niisn 1）8PPT课件即：即：0 时刻一个货币单位在时刻一个货币单位在n 时刻的价值时刻的价值 =(0,n上每次上每次(利息利息)收入收入i的现金流终值的现金流终值()+n时刻一个货币单位时刻一个货币单位(本金本金)|isn11|snsn2)即：即：n 时刻
6、一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0,n上对应的上对应的n 期期末年金现金流期期末年金现金流()1|sn9PPT课件|sn与 关系式|an1）(1)|nsainn注注：为期初到期末的累积因子为期初到期末的累积因子(1)ni2)11|iasnn注注：由由 1)可得可得10PPT课件11(1)|niisainn 1(1)1(1)|nniain1|an例例：Find the present value of an annuity which pays$500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest
7、 is 9%convertible semiannually.11PPT课件解解:注注:年金的要求是定期支付年金的要求是定期支付,间隔相等间隔相等,但却不但却不一定是一定是“年度年度”的。具体计算可利用年金表或的。具体计算可利用年金表或直接做数值计算。直接做数值计算。.04550040|500 18.40169200.80aPV例例:现有十年期现有十年期50万元贷款，年利率万元贷款，年利率8%,试比较以下试比较以下三种还贷方式的应付利息情况三种还贷方式的应付利息情况:12PPT课件A 在第十年底一次付清在第十年底一次付清B 每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清每年底偿还当年的利息，本金最后一
8、次付清C 每年底偿还固定的金额，十年还清每年底偿还固定的金额，十年还清解解:方式方式 A:在第十年底的一次还款为在第十年底的一次还款为10500,000(1.08)1,079,462.50其中的利息为其中的利息为:1,079,462.50500,000579,462.50应付利息约为五十八万元应付利息约为五十八万元13PPT课件方式方式 B:每年所付利息为每年所付利息为 总的利息付出为总的利息付出为 应付利息为应付利息为40万元万元500,000 8%40,00040,000 10400,000方式方式 C:设每年的还款额为设每年的还款额为 R，价值方程价值方程.0810|500,000Ra解
9、出解出14PPT课件.08500,000500,00074,514.546.71008110|Ra10 年的付款总额为年的付款总额为74,514.54 10745,145.4其中的利息总额为其中的利息总额为745,145.4500,000245,145.4应付利息约为应付利息约为 25 万元万元注注:虽然三种应付利息结果不同虽然三种应付利息结果不同,但所有还款的但所有还款的现值是相同的现值是相同的=原始贷款额原始贷款额思考思考:为什么方式为什么方式C 的利息金额较方式的利息金额较方式A 和方和方式式B明显的小明显的小?15PPT课件期初年金期初年金(annuity-due)期初年金期初年金 在
10、合同生效时立即发生首次的在合同生效时立即发生首次的现金流，随后依次分期进行的年金方式现金流，随后依次分期进行的年金方式n 期标准期初年金期标准期初年金每次的年金金额为每次的年金金额为 1 个个货币单位，在合同生效时立即发生首次的现货币单位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计金流，共计n次次时间流程图时间流程图16PPT课件记号记号|ani表示表示标准期初年金的现值之和标准期初年金的现值之和211|niavvvn 1nvd记号记号|isn表示标准期初年金的终值之和表示标准期初年金的终值之和2(1)(1)(1)|nisiiin(1)1nid17PPT课件|ani与|sni的关系式1）(1)|n
11、isainni2)11|dasnn注注:注意与期末年金的相应公式比较注意与期末年金的相应公式比较18PPT课件期末年金与期初年金的关系式期末年金与期初年金的关系式(1)|ai annii1）2）(1)|iisi snn3)1|1|aannii 4）1|1|ssnnii注注：从现金流的角度来考虑从现金流的角度来考虑19PPT课件例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到到1 百万元的回报，如果年利率为百万元的回报，如果年利率为7%，试计算每年试计算每年的
12、投入金额。的投入金额。解解:设每年的投入额为设每年的投入额为R,第十二年底的价值方程为第十二年底的价值方程为.071,000,00012|Rs从而有从而有.071,000,0001,000,000522,4519.1406412|Rs即即:每年初投入每年初投入5万万2千元，到千元，到12 年底总累积值为年底总累积值为1百万元百万元20PPT课件递延年金递延年金（deferred annuity）递延年金递延年金 若年金的首次发生是递延了一若年金的首次发生是递延了一段时间后进行的。段时间后进行的。递延递延m期的递延年金时间流程图期的递延年金时间流程图21PPT课件从现金流看，该年金相当于一个从现
13、金流看，该年金相当于一个m+n期期末年期期末年金扣除一个金扣除一个m期期末年金，即期期末年金，即 ,其数其数值等于值等于|iiaanmm|mv ani结论：递延年金的现值为两个定期年金的现值之差结论：递延年金的现值为两个定期年金的现值之差思考：递延年金的终值是否也为两个定期年金的终思考：递延年金的终值是否也为两个定期年金的终值之差？值之差？注注：类似的有类似的有“递延递延m期的期的n期标准期初年金期标准期初年金”22PPT课件永久年金永久年金永久年金永久年金（perpetuity）若年金的支付若年金的支付（现金流）永远进行下去，没有结束的日期（现金流）永远进行下去，没有结束的日期记号记号 表示
14、标准永久期末年金的现值表示标准永久期末年金的现值之和，即有之和，即有|ai21|avvii注注:1lim|niani23PPT课件注：注：对于标准永久期初年金有对于标准永久期初年金有1|adi n期标准期末年金可用一个标准永久年金期标准期末年金可用一个标准永久年金扣除一个递延扣除一个递延n期的标准永久年金表示，相应期的标准永久年金表示，相应流程图为：流程图为：24PPT课件例：某人留下遗产例：某人留下遗产10万元。第一个十年将每年的利息万元。第一个十年将每年的利息付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一
15、直进行乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，均为年底支付。如果年利率为下去，均为年底支付。如果年利率为7%，试计算三，试计算三个受益人的相对受益比例。个受益人的相对受益比例。解：甲的受益现值为：解：甲的受益现值为：.07100000 7%7000 7.02364916210|a乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标准期末年金准期末年金,现值为现值为:25PPT课件.07.077000()7000(10.59407.0236)2499320|10|aa丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年金久期
16、末年金,现值为现值为:.07.0717000()7000(10.5940)25842|20|0.07aa结论：从而从现值的角度看，甲乙丙的受益结论：从而从现值的角度看，甲乙丙的受益比例近似为：比例近似为：49%、25%和和 26%。注注:因为因为 ，所以丙相当于，所以丙相当于在二十年后完全继承了十万元。在二十年后完全继承了十万元。20100000(1.07)2584226PPT课件剩余付款期不是标准时间单位的计算剩余付款期不是标准时间单位的计算问题的提出：问题的提出：现值为取整的货币量，年金值也为取整的货现值为取整的货币量，年金值也为取整的货币量，当两者不能平衡的时候，如何对零碎的币量，当两者
17、不能平衡的时候，如何对零碎的部分进行处理？部分进行处理？例：原始投入例：原始投入500 元，年金为元，年金为100 元，年利率元，年利率3%。若年金为。若年金为 5 年期，则上述年金的现值为年期，则上述年金的现值为457.97 与原始投入不平衡；若年金为与原始投入不平衡；若年金为 6 年期，年期，则上述年金的现值为则上述年金的现值为541.72，与原始投入也不，与原始投入也不平衡。平衡。27PPT课件解决方案一解决方案一:最后一次付款额度上浮最后一次付款额度上浮 第第 5 5 次付款额度由原先的次付款额度由原先的100 100 元上浮为元上浮为解决方案二：最后一次付款额度扣减解决方案二：最后一
18、次付款额度扣减 第第 6 6 次付款额度由原先的次付款额度由原先的100 100 元扣减为元扣减为解决方案三：从模型的内在一致性出发，在时刻解决方案三：从模型的内在一致性出发，在时刻5 5 与与时刻时刻6 6 之间再增加一次付款（额度小于之间再增加一次付款（额度小于100100元），元），使得所有付款的现值之和恰好等于使得所有付款的现值之和恰好等于500 500 元元 思考：什么时刻付款、额度多少可以达到上述要求？思考：什么时刻付款、额度多少可以达到上述要求？510042.03(1 3%)148.72610041.72(1 3%)50.1828PPT课件定义：对于任意的定义：对于任意的 形式上
19、定义下面形式上定义下面的计算：的计算：(01)tt 1(1)1|n ttn tviaavntiniii上式右边的第二项表示上式右边的第二项表示:在时刻在时刻n+t的不足一个的不足一个货币单位的年金金额货币单位的年金金额 在在 0 时刻的现值时刻的现值(1)1tii注注:数学形式上的一致性数学形式上的一致性 利息理论应用29PPT课件例例:在上例中在上例中,设最后一次付款时间为设最后一次付款时间为 ，则由，则由5t50.031500100100,0.97095|0.03tvavt可解出可解出0.5t 相应最后一次的付款额度应为相应最后一次的付款额度应为(1 0.03)110049.630.03t
20、30PPT课件例例 现有十万元的投资，年利率现有十万元的投资，年利率 5%5%，每年底定期收回，每年底定期收回 1 1 万万元，试问：这样的定期回报可以进行多少年元，试问：这样的定期回报可以进行多少年?对不足对不足 1 1 万元万元的最后一次回报部分，按以下三种情况：的最后一次回报部分，按以下三种情况：分别计算回报金额分别计算回报金额 ：A A 不足部分与最后一次正常回报同时收回不足部分与最后一次正常回报同时收回 B B 不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回 C C 不足部分在最后一次正常回报的下一年的某个等价时不足部分在最后一次正常回报的下一年的某
21、个等价时间收回间收回31PPT课件解解 时间流程图为时间流程图为 ：计算最大的正常回报的时间计算最大的正常回报的时间 n n：00010015t14141310100001000010000，BCAXXX1,1000001000005.nna32PPT课件查表可得：查表可得：从而有从而有 n=14n=14 .和和 分别表示三种方式对应的不足部分的金额，分别表示三种方式对应的不足部分的金额，则有：则有：3797.10,8986.905.1505.14aaAXBXCX2007%51100000100004105.14AAXXs2107%51100000%51100001505.14BBXXs33P
22、PT课件在方式在方式 C C中中,先计算先计算 t t：即即 得到得到 t=0.2067t=0.2067进而有进而有注注 10000001000005.14ta10114ivt20271110000iiXtCBCAXXX34PPT课件例例:某人每年某人每年(年底年底)存入存入10001000元元,利率利率 8%,8%,希望经过若干年后达到希望经过若干年后达到 25,000 25,000 元元,若最后一次不足若最后一次不足10001000元的存款将在正常存款的一年后进行。元的存款将在正常存款的一年后进行。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。解：设最
23、后一次的存款额为解：设最后一次的存款额为X,X,为了实现为了实现存款目的存款目的,在存款结束时的价值方程为在存款结束时的价值方程为 查表可得查表可得10000X1,25000%81100008.nXsn2149.24,4953.2108.1408.13SS35PPT课件若若n=13n=13，则可得，则可得X=17851000X=17851000若若n=14n=14，则可得，则可得X=-11520X=-11520,Q为任意实数，相应流程图为任意实数，相应流程图如果用如果用A表示这种期末年金的现值，则有表示这种期末年金的现值，则有.(1)01.2.PPQPnQn23()(2).(1)nAPvPQ
24、vPQ vPnQ v68PPT课件23()(2).(1)nAPvPQ vPQ vPnQ v223=()2(1)nnP vvvQ vvnv232323nnnPaQ vvvnvv vvv()nindaP QaQvdv()nnnanvPQ aQi69PPT课件注注：可以是负数表示年金金额随时间递减可以是负数表示年金金额随时间递减,但要求但要求(标准标准)递增年金递增年金 (increasing annuity):(increasing annuity):现值用现值用 表示，即表示，即Q(1)0PnQ1PQ12.12.nn|()nIa|()nnnanvIai70PPT课件上式可以表示为上式可以表示为
25、,即每次在即每次在期初投资期初投资 1元的现值之和等于这种投资的利息元的现值之和等于这种投资的利息(每每年递增年递增 i)现值之和及本金之和现值之和及本金之和(n)的现值的现值 流程图为流程图为 利息之和 i 2i .(n-1)i ni 本金之和 1 2 3 .n n 年金金额 1 1 1 .1 0 1 2 n-1 n nnnnvIaia|)(71PPT课件思考:通过对现金流进行变化,如何直接计算 注 可以利用永久年金直接计算,即 利用标准递增年金现值公式可以对一般变化年金现值进行计算|)(nIannnnviaiIa11)(|)()(nnIaQaQPA72PPT课件(标准)递增年金的终值用 表
26、示,即 例:将标准递增期末年金理解为一组固定年金的组合 解:流程图为|)(nIsinsinsiIaIsnnnnn)1()1()()(|1|10|)(nttntnavIa73PPT课件 0 1 2 t n-1 n 递增年金 1 2 t n-1 n 固定年金 1 1 1 1 1 1 1 .1 由流程示意图可以推知结论成立74PPT课件递减年金递减年金(decreasing annuity)若 ,则称此变化年金为标准递减期末年金 n n-1 .1 0 1 2 .n 现值用现值用 表示表示 注注 1,QnP|)(nDaianDann|)(|)1()()(nnnanDaIa75PPT课件终值用终值用 表
27、示表示 例例:可以将递减年金理解为一组固定年金的组合可以将递减年金理解为一组固定年金的组合 解解:由其流程图可以得到结论。由其流程图可以得到结论。注注 注意比较递增和递减两种方式注意比较递增和递减两种方式|)(nDsisinDaiDsnnnnn|)1()()1()(nttnaDa1|)(76PPT课件一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和 流程图为 0 1 2 t n 变化年金 P P+Q P+(t-1)Q P+(n-1)Q固定年金 P P P P Q Q Q .Q 1|1ntnn ttAPaQv a77PPT课件注：以上的所有结论都可以推广到期初年金
28、的情形以上的所有结论都可以推广到期初年金的情形,只是只是所有表达式分母中的所有表达式分母中的 i 都要换成都要换成 d 变化的期末永久年金 现值公式为现值公式为 (Q取正数取正数)变化的期末永久年金变化的期末永久年金 现值公式为现值公式为 2iQiPidQdP78PPT课件例例:“rainbow immediate”流程图为流程图为 1 2 n n-1 n-2 1 0 1 2 n n+1 n+2 2n-1 年金的现值为年金的现值为 注C 由现金流转换可以直观求解|1|1|1|(1)()()1(1)nnnnnnnnnnnanvnaIavDaviiava ai79PPT课件例:“paused ra
29、inbow immediate”流程图为 1 2 n n n-1 1 0 1 2 n n+1 n+2 2n 年金的现值为 注 由现金流转换可以直观求解|1|)()(nnnnnaaDavIa 80PPT课件比例变化年金 年金的金额是比例变化的：首付年金的金额是比例变化的：首付 1 元，随后每次增加元，随后每次增加k倍，倍，总共总共n次，则年金的现值为次，则年金的现值为 注注 期末年金，且公式要求期末年金，且公式要求i k。当。当i=k 时，利率与年金增时，利率与年金增长比例相同，相当于每次付款的现值相同，均为长比例相同，相当于每次付款的现值相同，均为v，n次次付款的现值之和为付款的现值之和为 n
30、 v 注注 当当k 利息换算期利息换算期 付款期付款期=k 利息换算期利息换算期 总的付款次数总的付款次数=n/k 注注 n是付款总时间，用利息换算期度量的结是付款总时间，用利息换算期度量的结果，果，n是是k的整倍数的整倍数 i =每个利息换算期的实利率每个利息换算期的实利率84PPT课件考虑首付考虑首付 1元，随后每次递增元，随后每次递增 1元的方式元的方式 记现值为记现值为A，则有，则有 从而有从而有 两式相减可得两式相减可得nkkvknvvA22knkkvknvAi21)1(nknkkkvknvvviA21 1)1(85PPT课件化简后有化简后有 注：注：当当 k=1 时时,上式退化为递
31、增年金上式退化为递增年金 例例:计算下面永久年金的现值计算下面永久年金的现值:第三年底第三年底 1 元元,第第六年底六年底 2元元，第九年底，第九年底3元元,依此类推。依此类推。解：用解：用A表示这个现值，表示这个现值，则有则有 36923Avvv|knknisvknaaA86PPT课件其中其中 ,i为年实利率为年实利率 由由 可得可得 化简后有化简后有 iv119632vvAv9633)1(vvvAv2331 vvA87PPT课件2.付款期付款期 利息换算期利息换算期 利息换算期为利息换算期为 n，每个利息换算期付款，每个利息换算期付款m次次总的付款次数总的付款次数=nm i =每个利息换算
32、期的实利率每个利息换算期的实利率 考虑以下两种年金付款方式考虑以下两种年金付款方式:情形情形 1)付款额的变化与利息换算期同步付款额的变化与利息换算期同步 标准情形为标准情形为:在前在前 m次付款中次付款中(例如例如:第一年内第一年内),88PPT课件年金为年金为 ;第二个第二个m周期内周期内(第二年内第二年内)的年金金额的年金金额为为 。随后依此类推。随后依此类推,最后一个利息换算期内的年最后一个利息换算期内的年金金额为金金额为 。用用 表示这种年金的现值。它等价于：在第表示这种年金的现值。它等价于：在第一年底一次支付一年底一次支付 ，在第二年底一次支付，在第二年底一次支付 ，依此类推。依此
33、类推。从而有从而有m1m2mn)(|1ms)(|12ms)(|)(mnIa89PPT课件注注:一般的一般的,表示下面这种年金的现值：第表示下面这种年金的现值：第一个周期内的付款额为一个周期内的付款额为 ，第二个周期内的付款，第二个周期内的付款额为额为 ，第，第n个周期内的付款额为个周期内的付款额为 。)(|)(|)(|1)(|)()(mnnnnmnmmninvainvaiiIasIa )(|)(mnIaRmR1mR2mnR例：某三年期按月付款的年金方式为：第一年内每月例：某三年期按月付款的年金方式为：第一年内每月底付款底付款 1000 元，第二年每月底付款元，第二年每月底付款 2000 元，第
34、三元，第三年每月底付款年每月底付款 3000元。求该年金的现值。元。求该年金的现值。90PPT课件解解 ：m=12=12，n=3=3，R=1000，m=12000，从而这该年金的现值从而这该年金的现值为为)12(|3)(12000 Ia21mm1m2情形情形 2)付款额的变化与付款期同步付款额的变化与付款期同步标准情形为：首付标准情形为：首付 ，以后每次增加以后每次增加 。21m第一个利息换算期内的最后一次付款额为第一个利息换算期内的最后一次付款额为 第二个利息换算期内的最后一次付款额为第二个利息换算期内的最后一次付款额为 91PPT课件该年金的现值用该年金的现值用 表示表示。最后一个（第最后
35、一个（第n个）利息换算期内的最后一次付款额为个）利息换算期内的最后一次付款额为mn)(|)()(mnmaI)()(|221)(|)(2)(mnmnnmmmnminvamnmvvvaI 92PPT课件第一个周期内的首付款为第一个周期内的首付款为 ，然后每次增加，然后每次增加 。)(|)(mnIaR21mRmnR代表下面这种年金的现值：代表下面这种年金的现值：21mR从而第一个周期结束时的最后一次付款额为从而第一个周期结束时的最后一次付款额为 ，第第 n个周期结束时的最后一次付款额为个周期结束时的最后一次付款额为 。mR193PPT课件例：某三年期按月付款方式的年金为：第一个月底为例：某三年期按月
36、付款方式的年金为：第一个月底为 100元，第二个元，第二个月底为月底为 200元，元，.,依此类推，每月增加依此类推，每月增加 100元，元，第一年底的付款额为第一年底的付款额为 12001200元，第二年底的付款额为元，第二年底的付款额为 24002400元，第三年底的最后一次付款额为元，第三年底的最后一次付款额为 36003600元。求该年金的现值。元。求该年金的现值。解：解：m m=12=12，n n=3=3，R R=100=100144=14400144=14400，设年实利率为，设年实利率为 i，则年金现值为则年金现值为 2100 m)12(|3)12()(14400aI94PPT课
37、件例例：计算以下年金在第十年底的终值：从现在开始每半年一次，首付：计算以下年金在第十年底的终值：从现在开始每半年一次，首付 2000元，然后每次减少元，然后每次减少 2%，共计共计 1010次。季结算名利率次。季结算名利率 10%10%。解解：按基本原则计算年金的终值为：按基本原则计算年金的终值为 40052)025.1)(98.0(1)025.1(98.0)025.1(2000)025.1(98.0 )025.1(98.0)025.1(98.0)025.1(20002201040229362384095PPT课件流程图为（假设流程图为（假设 ）情形情形 3)付款金额任意变化的年金现值付款金额
38、任意变化的年金现值时刻时刻 t t的付款金额为的付款金额为 ，t=1,2,n，则这种年金的现值为则这种年金的现值为 trntttvra1111|1()ntttn ttarrva 00r该年金相当于一组固定年金的和，即：该年金相当于一组固定年金的和，即：96PPT课件0 1 2 .t .n变化年金变化年金固定年金固定年金112121201010101nnrrrrrrrrrrrrrrrr 21ntrrrrk=1 k=2k=n 97PPT课件若若f(t)=1，表示均匀支付年金，表示均匀支付年金若若f(t)=t，表示单调递增支付年金，该种连续年，表示单调递增支付年金，该种连续年金的现值用金的现值用 表
39、示，从而有表示，从而有连续变化年金连续变化年金用函数用函数 f(t)表示时刻表示时刻t的年金的年金(率率)函数函数,则用实利率则用实利率i 表示的表示的n年期连年期连续年金现值为续年金现值为 ntdtvtf0)(|)(na I98PPT课件利息理论应用第二章-2特别的有特别的有:思考：思考：一般地，用一般利息力函数一般地，用一般利息力函数 表示的连续变表示的连续变化年化年金的现值公式为金的现值公式为nnntnnvadttvaI|0|)(|)(|)()()(limnmnmmaIaI?)(lim)(|mnmIa)(sndssdtetft0)(0)(99PPT课件利息理论应用第二章-100例：例：n
40、年连续年金，利息力函数为常数年连续年金，利息力函数为常数 ，年金年金(率率)函数函数 。求该年金的现值。求该年金的现值。解：经计算，得到以下现值结果解：经计算，得到以下现值结果2)(ttf)22(23223nnen100PPT课件2.4 2.4 实例分析实例分析固定养老金计划固定养老金计划1.1.一般情形一般情形责任责任:未退休时未退休时,每月初存入一定金额每月初存入一定金额,具体方式为具体方式为:25 25 岁岁 29 29 岁岁 月付月付 30 30 岁岁 39 39 岁岁 月月付付 40 40 岁岁 49 49 岁岁 月付月付 50 50 岁岁 59 59 岁岁 月月付付权益：从退休时（
41、权益：从退休时（60 60 岁）开始，每月初领取岁）开始，每月初领取P P 元元 的退休金，一直进行二十年。的退休金，一直进行二十年。利息理论应用第二章-1011X2X3X4X101PPT课件问题问题:在给定年利率在给定年利率 i 的条件下的条件下,分析退休基金的存分析退休基金的存款款金额金额 和最终的月退休和最终的月退休金金(P)(P)的关系。的关系。2.2.考虑考虑25 25 岁参加养老计划岁参加养老计划,基本的价值方程为基本的价值方程为:于是于是利息理论应用第二章-102),(4321XXXX)12(|10410)12(|10320)12(|10230)12(|51)12(|2012)1
42、(12)1(12)1(1212sXisXisXisXaP|20|1034|2023|3012|351)()()(asXXsXXsXXsXP102PPT课件这是因为有：1()()()(1)()mmmmnininiiiaaiaim()()()mmniniiissim103PPT课件例：年利率例：年利率 i=10%=10%。因此有：。因此有：=8.5136=8.5136；=271.0244271.0244；=164.4940 =164.4940；=57.2750 =57.2750；=15.9374 =15.9374具体的存款方式为：具体的存款方式为：在在25 25 岁到岁到29 29 岁时，每月存款
43、岁时，每月存款200200元；元；在在30 30 岁到岁到39 39 岁时，每月存款岁时，每月存款300300元；元；在在4040岁到岁到 49 49 岁时，每月存款岁时，每月存款500 500 元；元；在在50 50 岁到岁到59 59 岁时，每月存款岁时，每月存款1000 1000 元。元。分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金。分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金。利息理论应用第二章-10410.|20a10.|20s10.|10s10.|30s10.|35s104PPT课件解：解：1)1)恰好在恰好在25 25 岁开始加入养老金计划岁开始加入养老金计划60 60 岁以后的月退休金为岁
44、以后的月退休金为P=10,580.48 P=10,580.48 元，即：每元，即：每月领取约一万元的退休金，直至月领取约一万元的退休金，直至80 80 岁。岁。注：注：(200,300,500,1000)(200,300,500,1000)2 2）从）从30 30 岁开始加入养老金计划岁开始加入养老金计划利息理论应用第二章-10548.580,105221001.|201.|101.|201.|301.|35assssP89.80775231001.|201.|101.|201.|30asssP105PPT课件60 60 岁以后的月退休金为岁以后的月退休金为P=8077.89 P=8077.8
45、9 元元,即：每月即：每月领领取约八千元的退休金。取约八千元的退休金。注：注：(0(0,300,500,1000),300,500,1000)3)3)从从40 40 岁开始加入养老金计划岁开始加入养老金计划即即:60:60 岁以后的月退休金为：岁以后的月退休金为：P=4299.73 P=4299.73 元，即：元，即：每月领取约四千元的退休金。每月领取约四千元的退休金。注：注：(0,0,500,1000)(0,0,500,1000)利息理论应用第二章-10673.42995001.|201.|101.|20assP106PPT课件购房分期付款引入如下记号：引入如下记号：P 总的房款金额（房价）
46、总的房款金额（房价）k 一次性付款比例（首付比例）一次性付款比例（首付比例）i 年利率（实）年利率（实）n 分期付款年数分期付款年数R 每月付款金额（月底）每月付款金额（月底）则有则有利息理论应用第二章-107)12(|12)1(nRaPk107PPT课件从而每月付款从而每月付款 例：已知例：已知P=500000P=500000，k=30%k=30%，i=8%=8%，=.077208 =.077208求相应贷款期等于五年、八年、十年的每月还款求相应贷款期等于五年、八年、十年的每月还款R R。解：解：1 1）分五年付清。分五年付清。，得到：，得到：R=R=7050.057050.05。每月付款约
47、七千元。每月付款约七千元。2 2）分八年付清。分八年付清。，得到：得到：R=R=4898.334898.33。每月付款近五千元。每月付款近五千元。利息理论应用第二章-108|)12()12(|12)1(12)1(nniaPikaPkR9927.308.|5a7466.508.|8a)12(i108PPT课件3 3）分十年付清。分十年付清。，得到，得到R=R=4194.984194.98。每月付款约四千元。每月付款约四千元。u年金利率的近似计算年金利率的近似计算已知年金的现（终）值，反解年实利率是年金计算已知年金的现（终）值，反解年实利率是年金计算中常见的基本问题，通常可以通过迭代算法求数值中常
48、见的基本问题，通常可以通过迭代算法求数值解，也可以利用解，也可以利用Excel Excel 直接求数值解。直接求数值解。利息理论应用第二章-1097101.608.|10a109PPT课件例：已知当前投入为例：已知当前投入为12 12 万元，随后的万元，随后的5 5 年中每年底年中每年底收益收益2 2 万万2 2 千元，试计算年实利率。千元，试计算年实利率。解：设解：设i i为年实利率，则有如下等式为年实利率，则有如下等式化简为化简为下面反解下面反解i i。方法一：（迭代法）方法一：（迭代法）对一般的问题，设对一般的问题，设a a 为现值，为现值，n n为期限。则有为期限。则有i i 为下为下
49、面面利息理论应用第二章-11010000022000|5ia09091.4|5ia110PPT课件 方程的解：方程的解：首先利用简单的泰勒展开到平方项，取初值：首先利用简单的泰勒展开到平方项，取初值：然后以下面的方法叠代计算：然后以下面的方法叠代计算：停止的准则可以是类似停止的准则可以是类似 形式的判别。形式的判别。利息理论应用第二章-111iian)1(1)1()(2naaniknkininkkiinaaaiikk)1(|1)1(kkkiii001.0|1111PPT课件用这个方法计算本例，取用这个方法计算本例，取 =0.05=0.05，则三次迭，则三次迭代代后即可满足条件后即可满足条件 =
50、0.0708475=0.0708475方法二方法二：（：（ExcelExcel）用规划求解直接求得用规划求解直接求得 i=0.0708475i=0.0708475注：精度可以调整注：精度可以调整例：计算下面年金的年实利率例：计算下面年金的年实利率 i i：每个季度末投入：每个季度末投入100 100 元，在第五年底的终值为元，在第五年底的终值为2500 2500 元。元。利息理论应用第二章-1124i1i112PPT课件解：解：或或利用利用Excel Excel 直接求解，得到：直接求解，得到：j=.022854j=.022854从而所求年利率从而所求年利率i:i:注：注意添加约束注：注意添加
