1、控制工程基础n5.系统的稳定性系统的稳定性n5.1 系统稳定的条件n5.2 稳定性的代数判据n5.3 稳定性的几何判据n5.4 系统的相对稳定性n5.5 根轨迹简介一、基本要求一、基本要求（1）了解系统稳定性的定义；系统稳定的条件。）了解系统稳定性的定义；系统稳定的条件。（2）掌握）掌握Routh-Hurwitz判据的必要条件和充要判据的必要条件和充要条件，学会应用条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，判据判定系统是否稳定，对于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特对于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征根的个数。征根的个数。（3）掌握）掌握Nyquist判据。判据。（4）理解系统
2、相对稳定性的概念，会求相位裕度）理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度。和幅值裕度。二、本章重点二、本章重点（1）Routh判据，判据，Nyquist判据的应用。判据的应用。（2）系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度的）系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度的求法及其在求法及其在Nyquist图和图和Bode图上的表示法。图上的表示法。三、本章难点三、本章难点1.Routh判据及其应用；判据及其应用；2.Nyquist判据及其应用。判据及其应用。5.控制系统的稳定性分析控制工程基础5.1 控制系统稳定性的基本概念控制系统稳定性的基本概念 5.1.1 控制工程基础图图5-15-1系统稳定性示
3、意图系统稳定性示意图 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。入信号的形式无关。控制工程基础)()(1)()()()(sHsGsGsXsYs（5-1）G(s)H(s)X(s)Y(s)+-图图 5-2 系系统统的的框框图图 5.1.2 控制工程基础（5-2）闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为0)2()(1122qjrknknkkjsspsqjrknknkkjmiinnnnmmmmsspsZsKasasasabsbsbsbsXsYs1122101110.111)2()()(.)()()(控制工程基础5.1.2 对于
4、对于 求极点。求极点。对于对于 根据情况不同，解不同，但实部都为根据情况不同，解不同，但实部都为0)(1qjjps;jj2211pspsps 0)2(122rknknkkssnk5.1.2 控制工程基础 为便于分析，假定闭环传递函数有为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及个相异的实数极点及r对不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数对不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数X(s)=1时，时，输出的拉氏变换式为输出的拉氏变换式为 rknknkkkkqjjjssCsBpsAsY12212)(（5-3）上式的拉氏反变换为上式的拉氏反变换为rkdktkqjtpjteBeAtynkkj11
5、cos)(rkdktdkknkkkteBCnkk1sin（5-4）5.1.2 控制工程基础01110.111.)()()(asasasabsbsbsbsXsYsnnnnmmmm 0 011-1-asasasannnn控制工程基础5.1.2 例如某单位反馈系统的开环传递函数例如某单位反馈系统的开环传递函数则系统的闭环传递函数则系统的闭环传递函数 )1()(GTssksksTsksGsGs2)(1)()(特征方程式为特征方程式为特征根特征根 02ksTsTTks24112,15.1.2 控制工程基础综上可见：综上可见：n特征根中只要有一个是正实根，则式特征根中只要有一个是正实根，则式(5-4)的解
6、就发散，的解就发散，系统就不稳定；系统就不稳定；n当特征根中的共轭复根具有正实部时，式当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(5-4)解呈发散解呈发散振荡，故系统不稳定；振荡，故系统不稳定；n若特征根中有零根，则式若特征根中有零根，则式(5-4)全解中的瞬态分量将趋于全解中的瞬态分量将趋于某个常值，故系统也不稳定；某个常值，故系统也不稳定；n若特征根中含有共轭虚根，则式若特征根中含有共轭虚根，则式(5-4)的解呈等幅振荡，的解呈等幅振荡，这时系统出现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中，这时系统出现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中，系统的参数值往往要发生变化，因此共轭虚根有可能转系统的参数值往往
7、要发生变化，因此共轭虚根有可能转变成具有正实部的共轭复根，而使系统不稳定。所以，变成具有正实部的共轭复根，而使系统不稳定。所以，从控制工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的从控制工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的实际不不稳定工作状态。实际不不稳定工作状态。n当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是复的，共轭复根具有负实部时，式是复的，共轭复根具有负实部时，式(5-4)的解是指数衰的解是指数衰减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。5.1.2 控制工程基础控制工程基础5.1.2 5.2劳斯-胡尔维茨
8、稳定判据控制工程基础5.2.1 胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据 n设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为 0 )()(1011-1-asasasasHsGnnnn（1 1）则系统稳定的必要条件是：）则系统稳定的必要条件是：1.1.特征方程的各项系数特征方程的各项系数 均不为零。均不为零。2.2.特征方程的各项系数符号一致。特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。,011-aaaann控制工程基础5.2.1 胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据 n胡尔维茨稳定判据：对于胡尔维茨稳定判据：对于 ,011-aaaann 0 )()(
9、1011-1-asasasasHsGnnnn式中式中 。则系统稳定的充要条件是：。则系统稳定的充要条件是：（1 1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数 均为正。均为正。（2 2）各项系数组成的胡尔维茨）各项系数组成的胡尔维茨n n阶行列式中各阶子行列阶行列式中各阶子行列式式 都大于零。都大于零。满足该条件的系统稳定，否则不稳定。满足该条件的系统稳定，否则不稳定。控制工程基础0nan21,5.2.1 胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据 n胡尔维茨行列式：对于胡尔维茨行列式：对于 0 )()(1011-1-asasasasHsGnnnn控制工程基础5.2.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 设系统的特
10、征方程式为设系统的特征方程式为 0 )()(1011-1-asasasasHsGnnnn则系统稳定的必要条件是：则系统稳定的必要条件是：1.1.特征方程的各项系数特征方程的各项系数 均不为零。均不为零。2.2.特征方程的各项系数符号一致。特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。,011-aaaann控制工程基础（1 1）劳斯稳定判据的必要条件）劳斯稳定判据的必要条件 n特征方程系数的劳斯阵列如下：特征方程系数的劳斯阵列如下：1011213-3212-7-5-3-1-1 6-4-2-esdsccsbbbsaaaasaaaasnn
11、nnnnnnnnnn（2 2）控制工程基础n在上面的劳斯阵列中在上面的劳斯阵列中b bi i、c ci i、d di i、e ei i的计算公式如下：的计算公式如下：141713176131315121541212131113211bbaabcaaaaabbbaabcaaaaabbbaabcaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn(5-6)控制工程基础控制工程基础试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。61717746)()(1)()()(234ssssssHsGsGsXsY解：闭环系统的特征方程式解：闭环系统的特征方程式0617177)()(1234ssss
12、sHsG劳斯阵列为劳斯阵列为 614.12614.5801776171 01234sssss控制工程基础)2)(1()(sssKsGKsssKsGsGsXsY23)(1)()()(2302323Ksss 363210123KsKsKss控制工程基础例例5-35-3设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为 若要求闭环特征方程式的根的若要求闭环特征方程式的根的实部均小于实部均小于-1-1，问，问K值应取值应取在什么范围？如果要求根的在什么范围？如果要求根的实部均小于实部均小于-2-2，情况又如何？，情况又如何？由稳定条件得由稳定条件得因此因此K K的稳定范围为的稳定范围为 03
13、60KK60 K1613)(sssKsG控制工程基础解：系统的特征方程式为解：系统的特征方程式为s3+9s2+18s+18K=0令令u=s+1得如下得如下u特征方程特征方程 0)1018(3623Kuuu 10-18391410-186310123KsKsKss控制工程基础0)818(6323Kuuu控制工程基础（3 3）劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况例例5-4 5-4 设有特征方程为设有特征方程为试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。0122234ssss控制工程基础1 22 1 0 0 2 2 1 1 1 s0234ssss22控制工程基础（3 3）劳斯判据的特殊情况）劳斯判据的特
14、殊情况控制工程基础（3 3）劳斯判据的特殊情况）劳斯判据的特殊情况控制工程基础0161620128223456ssssss 0 0 8 6 1 )16 12 (2 8 6 1 )16 12 (2 16 20 8 1 s344556sssss控制工程基础8 6)(24sssA取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为ssdssdA124)(38 1/3 8 3 3 1 )12 (4 8 6 1 8 6 1 16 20 8 1 0233456ssssssss控制工程基础从劳斯阵列表的第一列可以看出，从劳斯阵列表的第一列可以看出，各项并无符号变各项并无符
15、号变化，因此特征方程无正根化，因此特征方程无正根。但因但因s3行出现全为零的行出现全为零的情况，可见必有共轭虚根存在情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过求解辅助，这可通过求解辅助方程方程A(s)得到得到 此式的此式的两对共轭虚根为两对共轭虚根为 这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，等幅振荡。因此该控制系统处于临界状态，等幅振荡。08 624sss2;24,32,1jsjs控制工程基础解：由已知条件知，系统一定存在一对共轭纯虚根解：由已知条件知，系统一定存在一对共轭纯虚根s1,2=j2。由方框图得，系统的特征方程
16、为由方框图得，系统的特征方程为 s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出，列出Routh表如下：表如下：控制工程基础显然，只有显然，只有Routh表中表中S 行的元素全为行的元素全为0时，该特征时，该特征方程才会有一对共轭纯虚根。方程才会有一对共轭纯虚根。令令 ，而其辅助方程为而其辅助方程为0 1 0 1)(2 1 2 1 0123KsKKsKsKs0 1)(2 KK0)1(2Ks控制工程基础解得一对共轭纯虚根解得一对共轭纯虚根联立方程联立方程 和和 ，解得解得212,1jKjs21K0 1)(2 KK75.02 K控制工程基础控制工程基础)()(1)()()(sHsGsGsXsY G
17、(s)H(s)X(s)Y(s)+-图图 5-2 系统的框图系统的框图 控制工程基础)13)(12)(1(1915)()(2ssssssHsG控制工程基础)31)(12)(1(1915)()(2ssssssHsG控制工程基础控制工程基础控制工程基础控制工程基础控制工程基础控制工程基础)1)(1)(1()(32111sTsTsTKsG)1)(1)(1()(32122sTsTsTKsG控制工程基础)1()()(sKsHsG例例5-7 已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：开环奈奎斯特图如图开环奈奎斯特图如图6-6所示，试判断闭环系统的稳定性。所示，试判断闭环系统的稳定性。控制工程基础)13
18、)(12(1)()(ssssHsG控制工程基础特例特例1 1：应用：应用NyquistNyquist 判据分析判据分析含含积分环节积分环节系统的稳定性系统的稳定性特例特例2 2：应用：应用Nyquist Nyquist 判据分析判据分析延时系统延时系统的稳定性的稳定性 延时环节是线性环节，延时环节是线性环节，但用劳斯判但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况或并联在闭环系统的前向通道中的情况。2.2.延时环节串联在闭环系统的前向通道中延时环节串联在闭环系统的前向通道中 时系统的稳定性时系统的稳定性 图图5.3.165.3.
19、16所示为一具有延时环节的系统方框图，其中所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G G1 1(s s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为：递函数为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：由此可见，由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化频特性发生变化。1()()sKGsG s e1()(),jKGjGje1()(),KGjGj1()(KGjGj 例如，在图例如，在图5.3.165.3.16所示系统中，若所
20、示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环其开环NyquistNyquist图如图图如图5.3.175.3.17所示。所示。11(),(1)G ss s1(),(1)skG ses s，1()(1)jKGjejj 由图由图5.3.175.3.17可见，当可见，当 ，即无延时环节时，即无延时环节时，NyquistNyquist轨迹的相位不超过轨迹的相位不超过180180度，只到第三象限，此度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，NyquistNyquist轨迹向左上方偏转，进入
21、第二和第一象限，当轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当 增加到使增加到使NyquistNyquist轨迹包围点（轨迹包围点（1,j01,j0）时，闭环系统就）时，闭环系统就不稳定。不稳定。所以，由开环所以，由开环NyquistNyquist图上可以明显看出，串联延时图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K K就不就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间，还应尽可能地减小延时时间 。0开环Bode图与
22、开环极坐标图有如下对应关系:(1)极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性 图的横轴。(2)极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180o线，即对数相频特性 图的横轴。5.3.2 Bode图稳定判据 1)(cKjG,dB0)(lg20cKjG 1.Nyquist1.Nyquist图与图与BodeBode图的关系图的关系180)(gKjG-1GH-180oGH20lg0-90o 在Bode图的L()0dB的范围内，开环对数相频特性相对180o线。时，闭环系统稳定，否则不稳定。正穿越：相频特性由下而上穿过180o 线，图中b点(相角增加)。负穿越相频特性由上而下穿过1800
23、 线，图中a点(相角减少)。正半次穿越:对数相频特性曲线始于180o 向上。负半次穿越:对数相频特性曲线始于180o 向下。2.Bode2.Bode图稳定判据图稳定判据(-)正穿越次数 负穿越次数=2p-1800-900GH-2700半次穿越负半次穿越正ImRe0(1,0)j()()G jH j()L()dB00c控制工程基础控制工程基础控制工程基础180)()180()(cc控制工程基础)()(1gggjHjGk控制工程基础控制工程基础控制工程基础控制工程基础)()(20lg)()(120lg20lgggggggjHjGjHjGKK控制工程基础控制工程基础控制工程基础)12.0)(1()()(sssksHsG控制工程基础)04.01)(1()12.0(j)04.01)(1(2.1)2j.01)(j1(j)j()j(22222KKKHG2204.011)j()j(KHGarctan0.2arctan90)j()j(HG控制工程基础104.011)j()j(22KHGc004.104.02246Kccc180arctan0.2arctan90)j()j(gggHG0)12.0(2g236.2g2204.01120lgggggKK控制工程基础ccarctan0.2arctan90180控制工程基础控制工程基础
