1、一、选择题（每小题一、选择题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）1.1.如图所示，已知在如图所示，已知在ABCABC中，中，ADAD垂直平分垂直平分BCBC，AC=ECAC=EC，点，点B B、D D、C C、E E在同一条直线上，在同一条直线上，则则AB+DBAB+DB与与DEDE之间的关系是之间的关系是()()(A)AB+DB(A)AB+DBDE (B)AB+DBDE (B)AB+DBDEDE(C)AB+DB=DE (D)(C)AB+DB=DE (D)以上都不对以上都不对【解析【解析】选选C.ADC.AD垂直平分垂直平分BCBC，AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，又又AC=
2、CEAC=CE，AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE.AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE.2.(20092.(2009云南中考）如图，等腰云南中考）如图，等腰ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BC=5BC=5，ABAB的垂直平分线的垂直平分线DEDE交交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E E，则，则BECBEC的周长为的周长为()()(A)13 (B)14(A)13 (B)14(C)15 (D)16(C)15 (D)16【解析【解析】选选A.A.ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BC=5BC=5，AC=AB=8AC=AB=8，又又DEDE垂直
3、平分垂直平分ABAB，AE=BEAE=BE，BECBEC的周长为：的周长为：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13.BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13.25213.(20093.(2009营口中考）如图，营口中考）如图，在在ABCABC中，中，C=90C=90，B=22.5B=22.5,ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于D D，交，交BCBC于于E E，若若CE=3CE=3，则，则BEBE的长是的长是()()(A)3 (B)6(A)3 (B)6(C)2 (D)3(C)2 (D)323【解析【解析】选选D.DED.DE垂直平分垂直平分
4、ABAB，EA=EBEA=EB，BAE=B=22.5BAE=B=22.5,AEC=BAE+B=45AEC=BAE+B=45,又又C=90C=90，AECAEC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AC=CE=3AC=CE=3，AE=3 AE=3 ，EB=EA=3 .EB=EA=3 .22CEAC 2233 22二、填空题（每小题二、填空题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）4.4.（20092009黄冈中考）在黄冈中考）在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的垂直平分的垂直平分线与线与ACAC所在的直线相交所得到的锐角为所在的直线相交所得到的锐角为5050，则，则BB等于等于
5、_度度.【解析【解析】设设ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为MNMN，分两种情况讨论：，分两种情况讨论：（1 1）如图，当）如图，当MNMN与与ACAC交于点交于点E E时，时，DEA=50DEA=50，ADE=90ADE=90，A=180A=180-90-90-50-50=40=40.B=C=,B=C=,B=(180B=(180-40-40)=70)=70.2A-18021(2)(2)如图，当如图，当MNMN与与CACA的延长线交于点的延长线交于点E E时，时，DEA=50DEA=50，BAC=DEA+ADE=50BAC=DEA+ADE=50+90+90=140=140.在等腰三角形在等腰
6、三角形ABCABC中，中，B=C=B=C=（180180-BAC-BAC），），B=B=（180180-140-140）=20=20.答案：答案：7070或或202021215.5.如图，如图，ABCABC中，中，AB=AC=12 cm,DEAB=AC=12 cm,DE垂直平分垂直平分ABAB，BDCBDC的的周长为周长为21 cm,21 cm,则则BC=_.BC=_.【解析【解析】DEDE垂直平分垂直平分ABAB，BD=ADBD=AD，又又BDCBDC的周长为的周长为21 cm,21 cm,BD+DC+CB=21BD+DC+CB=21，AD+DC+CB=AC+CB=21AD+DC+CB=AC
7、+CB=21，BC=21-12=9BC=21-12=9（cm).cm).答案：答案：9 cm9 cm6.6.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=3BC=3，对角线对角线ACAC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交ADAD、BCBC于点于点E E、F F，连接，连接CECE，则，则CECE的长为的长为_._.【解析【解析】EFEF是是ACAC的垂直平分线，的垂直平分线，CE=AECE=AE，设设CE=x,CE=x,则则DE=3-xDE=3-x，在在RtRtDECDEC中，由勾股定理得中，由勾股定理得2 22 2+(3-x)+(3-x)2 2=x=x2 2,4+
8、9-6x+x4+9-6x+x2 2=x=x2 2,6x=13,x=.,6x=13,x=.答案：答案：613613三、解答题（共三、解答题（共2626分）分）7.7.（8 8分）如图所示，在分）如图所示，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=120BAC=120，ABAB，ACAC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BCBC于于E E，G G，求证：，求证：E E，G G分别是分别是BCBC的三等分点的三等分点.【证明【证明】连接连接AEAE，AGAG，DEDE，FGFG分别是分别是ABAB，ACAC的垂直平分线，的垂直平分线，AE=BEAE=BE，AG=CG.AG=CG.BAC=
9、120BAC=120,AB=AC,AB=AC,B=BAE=C=CAG=30B=BAE=C=CAG=30,AEG=AGE=60AEG=AGE=60,EAG=180EAG=180-AEG-AGE=60-AEG-AGE=60,AE=AG=EG,AE=AG=EG,BE=EG=CG,E,GBE=EG=CG,E,G分别是分别是BCBC的三等分点的三等分点.8.8.（8 8分）（分）（20092009广东中考）如图所示，广东中考）如图所示，ABCABC是等边三是等边三角形，角形，D D点是点是ACAC的中点，延长的中点，延长BCBC到到E E，使，使CE=CD.CE=CD.(1)(1)用尺规作图的方法，过用
10、尺规作图的方法，过D D点作点作DMBEDMBE，垂足是，垂足是M M（不写作（不写作法，保留作图痕迹）法，保留作图痕迹）;(2)(2)求证：求证：BM=EM.BM=EM.【解析【解析】(1)(1)作图如下：作图如下：（2 2）ABCABC是等边三角形，是等边三角形，D D是是ACAC的中点的中点,BDBD平分平分ABCABC（三线合一）（三线合一）,ABC=2DBEABC=2DBE，CE=CDCE=CD，E=CDEE=CDE，又又ACB=E+CDEACB=E+CDE，ACB=2EACB=2E，又又ABC=ACBABC=ACB，2DBC=2E2DBC=2E，DBC=EDBC=E，BD=DEBD
11、=DE，又又DMBEDMBE，BM=EM.BM=EM.9.9.（1010分）分）如图如图,四边形四边形ABCDABCD中中,AD=CD,DAB=ACB=90AD=CD,DAB=ACB=90,过点过点D D作作DEAC,DEAC,垂足为点垂足为点F,DEF,DE与与ABAB相交于点相交于点E.E.(1)(1)求证求证:ABAF=CBCD;:ABAF=CBCD;(2)(2)已知已知AB=15 cm,BC=9 cm,PAB=15 cm,BC=9 cm,P是射线是射线DEDE上的动点上的动点.设设DP=DP=x cm(xx cm(x0),0),四边形四边形BCDPBCDP的面积为的面积为y cmy c
12、m2 2.求求y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式;当当x x为何值时为何值时,PBCPBC的周长最小的周长最小,并求出此时并求出此时y y的值的值.【解析【解析】(1)AD=CD,DEAC,DE(1)AD=CD,DEAC,DE垂直平分垂直平分AC,AC,AF=CF,DFA=DFC=90AF=CF,DFA=DFC=90,DAF=DCF.,DAF=DCF.DAB=DAF+CAB=90DAB=DAF+CAB=90,CAB+B=90CAB+B=90,DCF=DAF=B.,DCF=DAF=B.在在RtRtDCFDCF和和RtRtABCABC中中,DFC=ACB=90DFC=ACB=90,DCF
13、=B,DCF=B,DCFDCFABC.ABC.即即 ABABAF=CBAF=CBCD.CD.(2)(2)AB=15 cm,BC=9 cm,ACBAB=15 cm,BC=9 cm,ACB=90=90,AC=12(cm),AC=12(cm),CF=AF=6 cm.CF=AF=6 cm.y=(x+9)y=(x+9)6=3x+27(x6=3x+27(x0).0).22BC-AB229-1521BC=9 cm(BC=9 cm(定值定值),),PBCPBC的周长最小的周长最小,就是就是PB+PCPB+PC最小最小.由由(1)(1)知知,点点C C关于直线关于直线DEDE的对称点是点的对称点是点A,A,PB
14、+PC=PB+PA,PB+PC=PB+PA,故只要求故只要求PB+PAPB+PA最小最小.显然当显然当P P、A A、B B三点共线时三点共线时PB+PAPB+PA最小最小.此时此时DP=DEDP=DE，PB+PA=AB.PB+PA=AB.由（由（1 1），），ADF=FAEADF=FAE，DFA=ACB=90DFA=ACB=90,得得DAFDAFABC.ABC.由由EFBC,EFBC,得得AE=BE=AB=cmAE=BE=AB=cm，EF=cm.EF=cm.AFBC=ADAB,AFBC=ADAB,即即69=AD15.69=AD15.AD=10 cm.AD=10 cm.在在RtRtADFADF
15、中，中，AD=10 cmAD=10 cm，AF=6 cmAF=6 cm，DF=8 cm.DF=8 cm.DE=DF+FE=8+=(cm).DE=DF+FE=8+=(cm).当当x=x=时，时，PBCPBC的周长最小，此时的周长最小，此时y=.y=.2121529292252129225一、选择题（每小题一、选择题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）1.1.如图所示，如图所示，MNMN为为ABCABC的边的边BCBC上的垂直平分线，若上的垂直平分线，若ABAB、ACAC的的两边的垂直平分线相交于点两边的垂直平分线相交于点O O，当顶点，当顶点A A的位置移动时，点的位置移动时，点O O应应
16、在在()()(A)MN(A)MN的左侧的左侧(B)MN(B)MN的右侧的右侧(C)MN(C)MN上上(D)MN(D)MN的左侧或右侧的左侧或右侧【解析】【解析】选选C.C.由三角形三边的垂直平分线的性质定理可知，由三角形三边的垂直平分线的性质定理可知，三角形三边的垂直平分线交于一点，顶点三角形三边的垂直平分线交于一点，顶点A A的位置移动，的位置移动，B B、C C位置不变，所以位置不变，所以BCBC的垂直平分线的垂直平分线MNMN位置不变，所以点位置不变，所以点O O应在应在MNMN上移动上移动.2.(20092.(2009怀化中考）如图，在怀化中考）如图，在RtRtABCABC中，中，B=
17、90B=90，EDED是是ACAC的垂直平分线，交的垂直平分线，交ACAC于点于点D D，交，交BCBC于点于点E E，已知，已知BAE=10BAE=10，则，则CC的度数为的度数为()()(A)30(A)30 (B)40 (B)40 (C)50 (C)50 (D)60 (D)60【解析】【解析】选选B.EDB.ED是是ACAC的垂直平分线，的垂直平分线，AE=ECAE=EC，C=CAEC=CAE，又又B=90B=90，BAC+C=90BAC+C=90，即即BAE+CAE+C=90BAE+CAE+C=90，1010+2C=90+2C=90，C=40C=40.3.3.ABCABC中，中，ABAB
18、、ACAC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点O O，若，若BOC=120BOC=120，则则AA的度数为（的度数为（）（A A）3030 （B B）4040（C C）6060或或120120 （D D）8080或或120120【解析】【解析】选选C.(1)C.(1)当交点当交点O O在在ABCABC内部时，如图，内部时，如图，连接连接AOAO并延长，交并延长，交BCBC于于E E，则则AO=BO=CO.AO=BO=CO.ABO=BAO,ABO=BAO,ACO=CAO,ACO=CAO,BOE=ABO+BAOBOE=ABO+BAO=2BAO,=2BAO,COE=ACO+CAO=2CAO,COE=
19、ACO+CAO=2CAO,BOE+COE=2BAO+2CAO,BOE+COE=2BAO+2CAO,即即BOC=2BACBOC=2BAC，BAC=BOC=BAC=BOC=120120=60=60.2121(2)(2)当交点当交点O O在在ABCABC外部时，如图，连接外部时，如图，连接AOAO，则则OBA=OAB,OBA=OAB,OAC=OCA,OAC=OCA,在在OABOAB中，中，BOABOA=180=180-（OBA+OABOBA+OAB）=180=180-2OAB-2OAB，在在OACOAC中，中，COA=180COA=180-（OCA+OACOCA+OAC）=180=180-2OAC-
20、2OAC，而而BOA+COA=180BOA+COA=180-2OAB+180-2OAB+180-2OAC-2OAC，BOC=360BOC=360-2-2（OAB+OACOAB+OAC）=360=360-2BAC-2BAC，BAC=180BAC=180-BOC=180-BOC=180-120120=120=120.2121二、填空题（每小题二、填空题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的垂直平分线的垂直平分线MNMN交交ACAC于点于点D D，CDCD的垂直平分线的垂直平分线PQPQ恰好经过点恰好经过点B B，则，则
21、AA的度数是的度数是_._.【解析】【解析】连接连接BDBD，MNMN垂直平分垂直平分ABAB，DA=DBDA=DB，A=ABDA=ABD，BDC=A+ABDBDC=A+ABD=2A=2A，PQPQ垂直平分垂直平分CDCD，BD=BCBD=BC，C=BDC=2AC=BDC=2A，又又AB=ACAB=AC，ABC=C=2AABC=C=2A，由三角形的内角和定理得：由三角形的内角和定理得：A+ABC+C=180A+ABC+C=180，A+2A+2A=180A+2A+2A=180，5A=1805A=180，A=36A=36.答案：答案：36365.(20095.(2009泉州中考）如图，泉州中考）如
22、图，在在ABCABC中，中，BCBC边上的垂直平边上的垂直平分线分线DEDE交边交边BCBC于点于点D D，交边，交边ABAB于于点点E.E.若若EDCEDC的周长为的周长为2424，ABCABC与四边形与四边形AEDCAEDC的周长之差为的周长之差为1212，则线段，则线段DEDE的长为的长为_._.【解析】【解析】ABCABC与四边形与四边形AEDCAEDC的周长之差为的周长之差为1212，（AB+BC+ACAB+BC+AC）-（AE+DE+DC+ACAE+DE+DC+AC）=12=12，AB+BC+AC-AE-DE-DC-AC=12AB+BC+AC-AE-DE-DC-AC=12，即（即（
23、AB-AEAB-AE）+（BC-DCBC-DC）+（AC-ACAC-AC）-DE=12,-DE=12,BE+BD-DE=12 BE+BD-DE=12 又又DEDE垂直平分垂直平分BCBC，BD=CDBD=CD，BE=CEBE=CE，EDCEDC的周长为的周长为2424，CD+CE+DE=24,CD+CE+DE=24,BD+BE+DE=24 BD+BE+DE=24 -得得2DE=12,DE=6.2DE=12,DE=6.答案：答案：6 66.6.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，ABAB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交ACAC、ABAB于点于点P P、Q Q，若，若PC=2PAPC=
24、2PA，AB=2 AB=2 ，A=45A=45，则，则PC=_PC=_，BC=_.BC=_.2【解析】【解析】连接连接PBPB，PQPQ是是ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，A=45A=45，PBA=45PBA=45，APB=90APB=90.又又AB=2 AB=2 ，AP=2AP=2，PC=2PA=2PC=2PA=22=4.2=4.在在RtRtCPBCPB中，中，BP=PA=2BP=PA=2，PC=4PC=4，BC=2 .BC=2 .答案：答案：4 24 2222PBPC 41655三、解答题（共三、解答题（共2626分）分）7.7.（8 8分）已知：线段分）已知：线段a.a.求作：求作：
25、ABCABC，使，使ACB=90ACB=90，AC=BC=a.AC=BC=a.【解析】【解析】作法：（作法：（1 1）作直线）作直线l；（2 2）在直线）在直线l上任取一条线段上任取一条线段DEDE；（3 3）作线段）作线段DEDE的垂直平分线的垂直平分线MNMN交交DEDE于于C;C;(4)(4)在射线在射线CECE上截取上截取CA=a,CA=a,在射线在射线CMCM上截取上截取CB=a;CB=a;(5)(5)连接连接AB.AB.ABCABC就是所要求作的三角形就是所要求作的三角形.8.(88.(8分）如图，牧童在分）如图，牧童在A A处放牛，其家在处放牛，其家在B B处，处，A A、B B
26、到河岸的到河岸的距离分别等于线段距离分别等于线段ACAC、BDBD的长，且的长，且AC=BDAC=BD，若，若A A到河岸到河岸CDCD的中的中点的距离为点的距离为500 m.500 m.问：问：（1 1）牧童从）牧童从A A处到河边让牛饮水后再回家，试问在何处饮处到河边让牛饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？水，所走路程最短？（2 2）最短路程是多少？）最短路程是多少？【解析】【解析】作点作点A A关于直线关于直线CDCD的对称点的对称点A A1 1；连接连接A A1 1B B交交CDCD于于M M，则在，则在M M处饮水所走的路程最短处饮水所走的路程最短.证明：如图，在证明：如图，
27、在CDCD上任取一点上任取一点M M1 1，连接，连接A A1 1M M1 1、AMAM1 1、BMBM1 1、AM.AM.(1)(1)直线直线CDCD垂直平分垂直平分AAAA1 1，AM=AAM=A1 1M,AMM,AM1 1=A=A1 1M M1 1,AM+BM=AAM+BM=A1 1M+BM=AM+BM=A1 1B.B.在在A A1 1M M1 1B B中，中，AA1 1M M1 1+BM+BM1 1AA1 1B,B,AA1 1M M1 1+BM+BM1 1AM+BM,AM+BM,即即AM+BMAM+BM最小最小.(2)(2)由（由（1 1）可知）可知AM=AAM=A1 1M,AM,A1
28、 1C=AC=BD,C=AC=BD,A A1 1CMCMBDM,BDM,AA1 1M=BMM=BM，CM=DMCM=DM，即即M M为为CDCD的中点，且的中点，且A A1 1B=2AM.B=2AM.AM=500 m,AM=500 m,最短路程最短路程A A1 1B=AM+BM=2AM=1 000 m.B=AM+BM=2AM=1 000 m.答：（答：（1 1）牧童在河岸中点）牧童在河岸中点M M处让牛饮水，所走路程最短处让牛饮水，所走路程最短.(2)(2)最短路程为最短路程为1 000 m.1 000 m.9.9.（1010分）分）由于干旱，由于干旱，B B、C C两村需从水泵站两村需从水泵
29、站A A处提水，需要处提水，需要在在A A、B B、C C之间铺设水管，有人设计了三种方案，如图之间铺设水管，有人设计了三种方案，如图（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）所示，图中实线表示水管，图（）所示，图中实线表示水管，图（2 2）中）中ADBCADBC于于D D，图（，图（3 3）中）中OA=OB=OCOA=OB=OC，为了减少开支，需要铺设，为了减少开支，需要铺设的水管最短，已知的水管最短，已知ABCABC恰好是一个边长为恰好是一个边长为1 5001 500米的等边三米的等边三角形，请你通过计算，判断哪种方案好？角形，请你通过计算，判断哪种方案好？【解析】【解析】（1 1）所
30、用水管的长度）所用水管的长度=AB+AC=1 500+1 500=3 000=AB+AC=1 500+1 500=3 000（米）（米）.(2)(2)在等边在等边ABCABC中，中，ADBCADBC，BD=BC=BD=BC=1 500=750(1 500=750(米）米）.在在RtRtABDABD中，中，AD=750 AD=750 （米）（米）.所用水管的长度为所用水管的长度为AD+BC=1 500+750 AD+BC=1 500+750 （米）（米）2 799(2 799(米）米）.212122BD-AB22750-500133（3 3）AO=BO=COAO=BO=CO，点点O O是是ABC
31、ABC三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点,BEAC,CFAB.BEAC,CFAB.ABCABC是等边三角形是等边三角形.CE=AE=AC=CE=AE=AC=1 500=750(1 500=750(米）米）,ACF=ACB=ACF=ACB=6060=30=30.在在RtRtCOECOE中，中，OCE=30OCE=30，OE=OCOE=OC，OCOC2 2=OE=OE2 2+CE+CE2 2，OCOC2 2=CE=CE2 2=750=7502 2,OC=,OC=750=500 (750=500 (米）米）,2121212121433323第三种方案所用水管的长度为第三种方案所用水管的长度为AO+BO+COAO+BO+CO=500 +500 +500 =1 500 =500 +500 +500 =1 500 （米）（米）2 598(2 598(米）米）.AB+ACAD+BCAO+BO+CO,AB+ACAD+BCAO+BO+CO,第三种方案好第三种方案好.3333
