1、在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，于一个对角矩阵，使使CTAC成对角形成对角形.在这一节，我们将利用欧氏空间的理论在这一节，我们将利用欧氏空间的理论把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就是这一节要解决的主要问题：是这一节要解决的主要问题：换句话说，都有一个可逆矩阵换句话说，都有一个可逆矩阵 C先讨论对称矩阵的一些性质，它们本身在今后先讨论对称矩阵的一些性质，它们本身在今后也是非常有用的也是非常有用的.我们把它们归纳成下面几个引理我们把它们归纳成下面几个引理 设设 0 是是 A 的特征
2、值，于是有非零向量的特征值，于是有非零向量nxxx21满足满足A =0 .令令,21nxxx其中其中xi是是 xi 的共轭复数，则的共轭复数，则A =0 .考察等式考察等式 T(A )=TAT =(A )T=(A )T ，T(A )=TAT =(A )T=(A )T ，其左边为其左边为 0 T ，右边为右边为 0 T .故故 0 T =0 T .又因为又因为 是非零向量，是非零向量，T =x1 x1+x2 x2+xn xn 0.故故 0=0，即，即 0 是一个实数是一个实数.对应于实对称矩阵对应于实对称矩阵 A，在，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 Rn 上上定义一个线性变换定义一个线性变换 A)
3、1(.2121nnxxxAxxxA显然显然 A 在标准正交基在标准正交基)2(100,010,00121n下的矩阵就是下的矩阵就是 A.(3)只要证明后一等式即可只要证明后一等式即可.实际上实际上 T(A )TAT A )T TA ).等式等式(3)把实对称矩阵的特性反映到线性变换上把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.我们引入下述概念：我们引入下述概念：容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚性质可以看得更清楚.设设 V1，要证，要证 A V1，即，即
4、A V1.任取任取 V1，都有，都有 A V1.因为因为 V1，故，故(,A )=0.因此因此(A ,)=(,A )=0即即 A V1，A V1 ，V1 也是也是 A -子空间子空间.设设 ,是是 A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，,分别是属于分别是属于 ,的特征向量，即的特征向量，即A =，A =.由由(A ,)=(,A )，有，有(,)=(,).因为因为 ，所以，所以(,)=0.即即 ,正交正交.现在来证明本节的主要定理现在来证明本节的主要定理.由于实对称矩阵和对称变换的关系，只由于实对称矩阵和对称变换的关系，只要证明对称变换要证明对称变换 A 有有 n 个特征向量构成标准正交个
5、特征向量构成标准正交基即可基即可.我们对空间的维数我们对空间的维数 n 作归纳法作归纳法.n=1，显然定理的结论成立，显然定理的结论成立.设设 n 1 时定理的结论成立时定理的结论成立.对对 n 维欧氏空间维欧氏空间 Rn线性变换线性变换 A 有一特征向量有一特征向量 1，其特征值为实数，其特征值为实数 1把把 1 单位化，还用单位化，还用 1 代表它代表它.作作 L(1)的正交补的正交补,设为设为 V1.由由V1 是是 A 的不变子空间，其的不变子空间，其维数为维数为 n 1.又又 A|V1 显然也满足显然也满足仍是对仍是对称变换称变换.据归纳假设，据归纳假设，A|V1 有有 n 1 个特征
6、向量个特征向量 2,n 构成构成 V1 的标准正交基的标准正交基.从而从而 1,2,n 是是 Rn 的标准正交基，又是的标准正交基，又是 A 的的 n 个特征向量个特征向量.定理得证定理得证.下面来看看在给定一个实对称矩阵下面来看看在给定一个实对称矩阵 A 之后，按之后，按什么办法求正交矩阵什么办法求正交矩阵 T 使使 TTAT 成对角形成对角形.在定理在定理的证明中我们看到，矩阵的证明中我们看到，矩阵 A 按按式在式在 Rn 中定中定义了一个线性变换义了一个线性变换.求正交矩阵求正交矩阵 T 问题就相当于在问题就相当于在Rn 中求一组由中求一组由 A 的特征向量构成的标准正交基的特征向量构成
7、的标准正交基.事事实上，设实上，设nnnnnnnttttttttt21222122121111,是是 Rn 的一组标准正交基，它们都是的一组标准正交基，它们都是 A 的特征向量的特征向量.显然，由显然，由 1,2,n 到到 1,2,n 的过渡矩的过渡矩.212222111211nnnnnntttttttttT是是T 是一个正交矩阵，而是一个正交矩阵，而T-1AT=TTAT就是对角形就是对角形.根据上面的讨论，求正交矩阵根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下：的步骤如下：求出求出 A 的特征值的特征值.设设 1,r 是是 A的全部不同的特征值的全部不同的特征值.对于每个对于每个 i，解齐次线
8、性方程组，解齐次线性方程组,0)(21nixxxAE求出一个基础解系，这就是求出一个基础解系，这就是 A 的特征子空间的特征子空间iV的的一组基一组基.由这组基出发，按由这组基出发，按的方法求出的方法求出iV的一组标准正交基的一组标准正交基.,1iiki 因为因为 1,r 两两不同，所以根据两两不同，所以根据这一节这一节向量组向量组rrkrk,11111还是两两正交的还是两两正交的.又根据又根据定理定理定理定理 7 7 对于任意一个对于任意一个对于任意一个对于任意一个 n n 级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵 A A，都存在一个都存在一个都存在一个都存在一个 n n 级
9、正交矩阵级正交矩阵级正交矩阵级正交矩阵 T T ，使使使使 T TT TATAT 成对角形成对角形成对角形成对角形.以及第七章以及第七章第五节的讨论，它们的个数就等于空间的维数第五节的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因因此，它们就构成此，它们就构成 Rn 的一组标准正交基，并且也都的一组标准正交基，并且也都是是 A 的特征向量的特征向量.这样，正交矩阵这样，正交矩阵 T 也就求出了也就求出了.已知已知,0111101111011110A求一正交矩阵求一正交矩阵 T 使使 TTAT 成为对角形成为对角形.先求先求 A 的特征值的特征值.111111111111|AE.)3()1(3所以所以 A
10、 的特征值为：的特征值为：.3,14321其次，求属于其次，求属于 1 的特征向量的特征向量.把把 =1 代入代入)4(,0,0,0,04321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求得基础解系为求得基础解系为.)1,0,0,1(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321把它正交化，得把它正交化，得.1,31,31,31),(),(),(),(,0,1,21,21),(),(,)0,0,1,1(222231111333111122211再单位化，得再单位化，得.123,121,121,121,0,62,61,61,0,0,21,21321这是属于三重特征值这是属于三重特征
11、值 1 的三个标准正交的特征向的三个标准正交的特征向量量.再求属于再求属于-3 的特征向量的特征向量.用用 =-3 代入代入(4)得得,03,03,03,034321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求得基础解系为求得基础解系为(1，-1，-1，1).把它单位化，得把它单位化，得.21,21,21,214特征向量特征向量 1,2,3,4 构成构成 R4 的一组标准正交基的一组标准正交基所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为.211230021121620211216121211216121T而而 TTAT=diag(1,1,1,-3).设设120222023A求正交矩阵求正交矩
12、阵 P,使使 P-1AP 为对角矩阵为对角矩阵.应该指出，在应该指出，在定理定理定理定理 7 7 对于任意一个对于任意一个对于任意一个对于任意一个 n n 级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵 A A，都存在一个都存在一个都存在一个都存在一个 n n 级正交矩阵级正交矩阵级正交矩阵级正交矩阵 T T ，使使使使 T TT TATAT 成对角形成对角形成对角形成对角形.中，对于正交矩阵中，对于正交矩阵 T我们还可以进一步要求我们还可以进一步要求|T|=1.事实上，如果求得的正交矩阵事实上，如果求得的正交矩阵 T 的行列式为的行列式为-1，那么取那么取.1111S令令T1=TS
13、，则则 T1 是正交矩阵，而且是正交矩阵，而且|T1|=|T|S|=1.显然显然T1TAT1=TTAT.如果线性替换如果线性替换nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,的矩阵的矩阵 C=(cij)是正交的，那么它就称为是正交的，那么它就称为正交的线性替换当然是非退化的正交的线性替换当然是非退化的.用二次型的语言，用二次型的语言，定理定理定理定理 7 7 对于任意一个对于任意一个对于任意一个对于任意一个 n n 级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵级实 对称矩阵 A A，都存在一个都存在一个都存在一个都存在一个 n n 级正交
14、矩阵级正交矩阵级正交矩阵级正交矩阵 T T ，使使使使 T TT TATAT 成对角形成对角形成对角形成对角形.可以叙述为：可以叙述为：jiijninjjiijaaxxa,11最后我们指出，这一节的结果可以应用到几何最后我们指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类次曲面的分类.在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+d=0.(5)令令.,32133231323222
15、1131211bbbBzyxXaaaaaaaaaA则则(5)式可以写成式可以写成XTAX+2BTX+d=0.(6)经过转轴，坐标变换公式为经过转轴，坐标变换公式为,111333231232221131211zyxccccccccczyx或者或者 X=CX1.其中其中 C 为正交矩阵且为正交矩阵且|C|=1.在新坐标系中，曲在新坐标系中，曲面的方程就是面的方程就是X1T(CTAC)X1+2(BTC)X1+d=0.根据上面的结果，有行列式为根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵的正交矩阵 C 使使.000000321TACC这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中这就是说，可以作一个转轴，
16、使曲面在新坐标系中的方程为的方程为 1x12+2y12+3z12+2b1*x1+2b2*y1+2b3*z1+d=0,其中其中(b1*,b2*,b3*)=(b1,b2,b3)C.这时，再按照这时，再按照 1,2,3 是否为零的情况，作适当是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当譬如说，当 1,2,3 全不为零时，就作移轴全不为零时，就作移轴.,3*3212*2211*121bzzbyybxx于是曲面的方程化为于是曲面的方程化为 1x22+2y22+3z22+d*=0,其中其中.32*322*212*1*bbbdd 把下
17、列二次曲面的方程化为标准形，并把下列二次曲面的方程化为标准形，并确定曲面的形状确定曲面的形状.0106662265222zyxyzxzxyzyx方程中的二次型部分的矩阵为方程中的二次型部分的矩阵为.511113131A下面来求正交矩阵下面来求正交矩阵 C，使，使 CTAC 成对角形成对角形.先先求求 A 的特征值的特征值.),2)(3)(6(511113131E|A所以所以 A 的三个特征值为的三个特征值为:.632321,当当21时时,解方程组解方程组,0)(1xEA即即,0711133133321xxx得得,0111p当当32时时,解方程组解方程组,0)(2xEA即即,0211123132
18、321xxx得得,1112p当当63时时,解方程组解方程组,0)(3xEA即即,0111153135321xxx得得.2113p.211611333ppe 显然显然,p1,p2,p3 两两正交两两正交,现把它们单位化现把它们单位化.令令,011211111ppe,111311222ppe再令再令,62310613121613121321),e,e(eC则则 C 为正交矩阵为正交矩阵,且有且有.ACC6321由于由于62310613121613121)3,3,3(.)0,33,0(所以作转轴所以作转轴 X=CX1 后，曲面后，曲面0106662265222zyxyzxzxyzyx在新坐标系中的方程就是在新坐标系中的方程就是.010366321212121yzyx变形得变形得.16)3(32212121zyx最后作移轴最后作移轴.,3,212121zzyyxx于是曲面的方程就化成标准方程：于是曲面的方程就化成标准方程：.1632223222zyx由此可知，方程所表示的曲面为双叶双曲面由此可知，方程所表示的曲面为双叶双曲面.
