1、二次函数在生活中的应用教学目标教学目标【知识与能力知识与能力】【过程与方法过程与方法】生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。在生活中的应用。通过实际问题，体验数学在生活实际中的通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力。广泛应用性，提高数学思维能力。在转化、建模中，学会合作、交流。在转化、建模中，学会合作、交流。通过图形间的关系，进一步体会函数，体通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想验运动变化的思想 通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学
2、习热情。学在生活中的应用，激发学习热情。在转化、建模中，体验解决问题的方法，培在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。养学生的合作交流意识和探索精神。正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。【情感态度与价值观情感态度与价值观】教学重难点教学重难点 利用二次函数解决商品利润问题。利用二次函数解决商品利润问题。用二次函数的知识分析解决有关面积问用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题。题的实际问题。建立二次函数数学模型，函数的最值。建立二次函数数学模型，函数的最值。通过图形之间的关系列出函数解析式。通过图形之间的关系列出函数解析式。喷
3、泉与二次函数喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，由柱恰在水面中心，由柱子顶端子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离设计成水流在离OA距离为距离为1m处到达距水面最大高处到达距水面最大高度度.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？才能使喷出的水流不致落到池外
4、？实际问题 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径半径至少要至少要，才能使喷出的水流不致落到池外，才能使喷出的水流不致落到池外.解：建立如下图的坐标系，根据题意得，解：建立如下图的坐标系，根据题意得，A点坐点坐标为标为(0，1.25)，顶点，顶点B坐标为坐标为(1，2.25)25.212 xy 当当y=0时时,可求得点可求得点C的坐标为的坐标为(2.5,0);同理，点同理，点D的坐标为的坐标为(-2.5,0).设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛，由待定系数法可求得抛物线表达式为：物线表达式为：y=(x-1)2.数学化数
5、学化xyoAB(1,2.25)(0,1.25)C(2.5,0)D(-2.5,0)跳水与抛物线跳水与抛物线 某跳水运发动进行某跳水运发动进行10米跳台跳水训米跳台跳水训练时练时,身体身体(看成一点看成一点)在空中的运动路线在空中的运动路线是经过原点是经过原点O的一条抛物线的一条抛物线.在跳某规定在跳某规定动作时动作时,正常情况下正常情况下,该运发动在空中的该运发动在空中的最高处距水面最高处距水面32/3米米,入水处距池边的距入水处距池边的距离为离为4米米,同时同时,运发动在距水面高度为运发动在距水面高度为5米以前米以前,必须完成规定的翻腾动作必须完成规定的翻腾动作,并调并调整好入水姿势整好入水姿
6、势,否那么就会出现失误否那么就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中在某次试跳中,测得运发动在空测得运发动在空中运动路线是中运动路线是(1)中的抛物线中的抛物线,且运发动且运发动在空中调整好入水姿势时在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距池边的水平距离为距离为18/5米米,问此次跳水会不会失误？问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由并通过计算说明理由.平时我们在跳绳时平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可绳甩到最高处的形状可以看为抛物线以看为抛物线.如下图如下图,正在甩绳的甲乙两名学生正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为拿绳的手间距为4米米,距地面均
7、为距地面均为1米米,学生丙丁分学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离别站在距甲拿绳的手水平距离1米、米处米、米处,绳子到绳子到最高处时刚好通过他们的头顶最高处时刚好通过他们的头顶.学生丙的身高是学生丙的身高是米米,求学生丁的身高？求学生丁的身高？甲甲乙乙丙丙丁丁跳绳与抛物线跳绳与抛物线最大利润问题最大利润问题 某商店经营某商店经营T恤衫恤衫,成批购进时单价是元成批购进时单价是元.根据根据市场调查市场调查,销售量与销售单价满足如下关系销售量与销售单价满足如下关系:在某一在某一时间内时间内,单价是元时单价是元时,销售量是销售量是500件件,而单价每降低而单价每降低1元元,就可以多售出就可以多售出20
8、0件件.请你帮助分析请你帮助分析:销售单价是销售单价是多少时多少时,可以获利最多可以获利最多?实际问题设销售价为设销售价为x元元元元),那么那么销售量可表示为销售量可表示为:件件;销售额可表示为销售额可表示为:元元;所获利润可表示为所获利润可表示为:元元;当销售单价为当销售单价为 元时元时,可以获得最大利润可以获得最大利润,最最大利润是大利润是 元元.x5.13200500 xx5.13200500 xx5.132005005.225.95.9112 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星
9、期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，商品的进价件，商品的进价为每件为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？1题目中有几种调整价格的方法？题目中有几种调整价格的方法？2题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？哪些量随之发生了变化？调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况 涨价：涨价：1设每件涨价设每件涨价x元，那么每星期售出商品的利润元，那么每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。涨价
10、的函数关系式。涨价x元时那么每星期少卖元时那么每星期少卖_件，实际卖出件，实际卖出_件件,销额为销额为_元，买进商品需付元，买进商品需付_元因此，所得利润为元因此，所得利润为_元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即6000100102xxy(0 x30)6000100102xxy(0 x30)625060005100510522最大值时，yabx元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元解：设降
11、价解：设降价x元时利润最大，那么每星期可多卖元时利润最大，那么每星期可多卖18x件，件，实际卖出实际卖出300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买元，买进商品需付进商品需付40(300-10 x)元，因此，得利润元，因此，得利润60506000356035183522最大时，当yabx答：定价为答：定价为 元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6050元元 315860006018183004018300602xxxxxy(0 x20)最大面积问题最大面积问题 在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中其中AB
12、和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.1如果设矩形的一边如果设矩形的一边AD=xcm,那么那么AB边的长边的长度如何表示？度如何表示？2设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大的最大值是多少值是多少?ABCDMN40cm30cmbcmxcm 4:1,40.3ABbcm bx 解设 2442404033yxbxxxx.30015342x.30044,152:2abacyabx最大值时当或用公式 某建筑物的窗户如下图某建筑物的窗户如下图,它的上半部是半圆它的上半部是半圆,下半下半部是矩形部是矩形,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长图中所有的黑线
13、的长度和度和)为为15m.当当x等于多少时等于多少时,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多(结结果精确到果精确到0.01m)?此时此时,窗户的面积是多少窗户的面积是多少?x xy:14715.yxx解由.4715,xxy得xx215272 22157222242xxxxSxyx窗户面积.02.45622544,07.114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272x最多光线问题最多光线问题 1先分析问题中的数量关系、变量和常先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式量，列出函数关系式.2研究自变量的取值范围研究自变量的取值范围.3研究所得的函数研究所得的函数
14、.4检验检验 x的取值是否在自变量的取值范的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值围内、结果的合理性等，并求相关的值.5解决提出的实际问题解决提出的实际问题.解决关于函数实际问题的一般步骤解决关于函数实际问题的一般步骤课堂小结课堂小结配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值 1.某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型曲线曲线AOB的薄壳屋顶。它的拱高的薄壳屋顶。它的拱高AB为为4m，拱高拱高CO为。施工前要先制造建筑模板，怎样画为。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢出模板的轮廓线呢?随堂练习随
15、堂练习x(元元)152030y(件件)252010 假设日销售量假设日销售量 y 是销售价是销售价 x 的一次函数。的一次函数。1求出日销售量求出日销售量 y件与销售价件与销售价 x元元的函数关系式；的函数关系式；2要使每日的销售利润最大，每件产品要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？多少元？2.某产品每件本钱某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售元，试销阶段每件产品的销售价价 x元与产品的日销售量元与产品的日销售量 y件之间的关系如下件之间的关系如下:2设每件产品的销售价应定为设每件产品的销售价应定为 x
16、 元，所获销售利润为元，所获销售利润为 w 元。那么元。那么 产品的销售价应定为产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利元，此时每日获得最大销售利润为润为225元。元。15252020kbkb则则解得：解得：k=1，b40。（1）设此一次函数解析式为）设此一次函数解析式为 。bkxy22525 40050401022xxxxxw所以一次函数解析为所以一次函数解析为 。40 xy设旅行团人数为设旅行团人数为x人人,营业额为营业额为y元元,那么那么 3.某旅行社组团去外地旅游某旅行社组团去外地旅游,30人起组团人起组团,每人单价每人单价800元元.旅行社对超过旅行社对超过30人的团给予优惠
17、人的团给予优惠,即旅行团每增即旅行团每增加一人加一人,每人的单价就降低每人的单价就降低10元元.你能帮助分析一下你能帮助分析一下,当旅当旅行团的人数是多少时行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？旅行社可以获得最大营业额？3010800 xxy.3025055102xxx1100102 4.某宾馆有某宾馆有50个房间供游客居住，个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天当每个房间的定价为每天180元时，房间元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增会全部住满。当每个房间每天的定价每增加加10元时，就会有一个房间空闲。如果游元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天
18、支出客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用元的各种费用.房价定为多少时，宾馆房价定为多少时，宾馆利润最大？利润最大？解：设每个房间每天增加解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为元，宾馆的利润为y元元y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)y=-1/10 x2+34x+8000 5.某个商店的老板，他最近进了价格某个商店的老板，他最近进了价格为为30元的书包。起初以元的书包。起初以40元每个售出，平元每个售出，平均每个月能售出均每个月能售出200个。后来，根据市场调个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个元，每个月
19、就少卖出月就少卖出10个。现在请你帮帮他，如何个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？定价才使他的利润最大？解：以解：以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，以过点轴，以过点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：开口向下，所以可设它的函数关系式为：1 因为因为y轴垂直平分轴垂直平分AB，并交，并交AB于点于点C，所，所以以 ，又，又CO，所以点，所以点B的坐标为的坐标为(2，-0.8)。因为点因为点B在抛物线上，
20、将它的坐标代入在抛物线上，将它的坐标代入1，得得 所以所以a 因此，所求函数关系式是因此，所求函数关系式是 。02aaxycmABCB22228.0a22.0 xy 6.某商场销售某种品牌的纯牛奶，进价某商场销售某种品牌的纯牛奶，进价为每箱为每箱40元，市场调查发现：假设每箱以元，市场调查发现：假设每箱以50 元销售元销售,平均每天可销售平均每天可销售100箱箱.价格每箱降低价格每箱降低1元，平均每天多销售元，平均每天多销售25箱箱;价格每箱升高价格每箱升高1元，平均每天少销售元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得箱。如何定价才能使得利润最大？利润最大？假设生产厂家要求每箱售价在假设生产厂家
21、要求每箱售价在4555元元之间。如何定价才能使得利润最大？为了之间。如何定价才能使得利润最大？为了便于计算，要求每箱的价格为整数便于计算，要求每箱的价格为整数 7.有一经销商，按市场价收购了一种活蟹有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，千克，放养在塘内，此时市场价为每千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天元，但是，放养一天需各种费用支出需各种费用支出400元，且平均每天还有元，且平均每天还有10千克蟹死去，千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克假定死蟹均于当天
22、全部售出，售价都是每千克20元放元放养期间蟹的重量不变养期间蟹的重量不变.设设x天后每千克活蟹市场价为天后每千克活蟹市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的的函数关系式函数关系式.如果放养如果放养x天将活蟹一次性出售，并记天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹千克蟹的销售总额为的销售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数关系式。的函数关系式。该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，利润利润，利润=销售总额销售总额-收购本钱收购本钱-费用？最大利润是费用？最大利润是多少？多少？习题答案习题答案 1有最高点有最高点 ；有最低点；有最低点 .65
23、元元.600m.AB 的中点处的中点处.AB 的中点处的中点处.每天每天350元元.3 98 16，1 716 12，轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗
24、花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都
25、能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点
26、两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称
27、图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探
28、索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN 垂直垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题
29、问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称
30、点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直或直线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说
31、明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
