1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第一节第一节 复数项级数复数项级数复数列：一列有次序的复an=an+ibn,n=1,2,复数列的极限：设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作 此时也称复数列an收敛于a.aannlim定理1.复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是bbaannnnlim,lim 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11(1);(2)();1(3)sin.12nnnnniiinniaaa-：判定下列复数列的敛
2、散性；如果收敛，则求出它的极限 例解题思路：首先分解an=an+ibn，然后分别考察an和bn的极限，再确定an的收敛性110(1)limlim1,110(3)lim sinlimlim22nnnnnnnnniniinniiineeeeniii-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1+111(2)22221111,lim0,2221+lim=02nnnnnnniiii 因 此 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换42.复数项级数 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式121nnnaaaa111,lim.,nnnnnn
3、nnnnssssaaa和如果部分和数列收敛 则级数称是的并且极限称为级数的如果数列不收敛 则级数称收敛是发散的.称为复数项级数,其前面n项的sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa级数收敛的充要条件是级数和都收敛.定理 将复数项级数的收敛问题转化成实数项级数的收敛问题，对收敛的实数项级数，我们知道，其通项是趋于0级数收敛定理2.定理3条.的必要件是 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1111111111|,|.|nnnnnnnnnnnnnn
4、nnnnnnabaaaaaaaa3.绝对收敛和条件收敛如果收敛 则称级数是的.发散,而收敛,则称级数是定义5.绝对收敛定义6.定理4.推论的 绝对收敛当且仅当和绝对收敛。如果收敛，条件 那么也是 收敛.收敛的。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11111(34)(1).(1)(2).!cos(3).(4).2nnnnnnnniinnninin-.判断下列级数的敛散性，2 例2112111111(1)(1),(1)1(1)nnnnnnnnnnnnniinnnniabnninn-解：(1).因为是条件收敛的，是绝对收敛的，因此是条件收敛的。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大
5、学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1111111(34)(34)5(2).!5,!(34).!cos(3).limlim22cos2nnnnnnnnnnnnnnnnnniinnnninineein-由正项级数的比值判别法知,是收敛的故是绝对收敛的，由于，因此是发散的 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1111111111(cossin)(cossin)2222(4).cossin221nnnnnnnnnnnnnnnnnniiinnnnnabnniinnn，注意到和都是收敛的级数，而=是发散的，因此是条件收敛的。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变
6、换复变函数与积分变换1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa级数收敛的充要条件是级数和都收敛.定理 将复数项级数的收敛问题转化成实数项级数的收敛问题，对收敛的实数项级数，我们知道，其通项是趋于0级数收敛定理2.定理3条.的必要件是 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换111.基本概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内都有定义.表达式)1.2.4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数.前面n项的和 sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为该级数的部分和.第二节第二节 幂级数幂级数
7、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换000Dz,lim()()nnszs z如果对于 内的某一点极限存在，则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,（或z0 是其的收敛点）而s(z0)称为它的和，其收敛点的全体称为它的收敛域。级数在其收敛域D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数 s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.称之为级数(4.2.1)的和函数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换13特殊情形:2012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnc zacc zac zac za
8、c zcc zc zc z-或00.,(),(4.2.3)nnnnnnzac zac-这种级数称为幂级数如果令则以后为了方便 今后常就的形式予以讨论。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换二、幂级数的敛散性质1.收敛域的结构首先，我们有一个与微积分课程中有关幂级数 收敛的一个类似结果。定理一(阿贝尔Abel定理).,|,|,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnn 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1500000000000000,lim0,0,|.|,1,
9、|.|1,|.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zc zMnzzc zMzzqc zc zMqzzMqMqc zMqc zc z证明：因收敛 则则存在使对所有的 都有如果则而由于为公比小于 的等比级数 故是收敛的，因此也是收敛的，从而级数是绝对收敛的如果级数000000,|,(,.nnnnnnnnnzzc zc zc z发散 且用反证法)假设收敛，则根据之前结论可导出收敛 与题设矛盾 因此发散 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换162.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种
10、:1)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.2)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换17RCROa ab bCa aCb bxy 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换12111111|1(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zzzznnc zc zc zc z-级数在收敛区域的边界上是否收敛?如
11、级数和，在上的收敛性是不一样的.问：是否存在级数在是z=4收敛的，在z=0 是发散的答：不存在证明：设 级数收敛，而发散注意.，证明：则的收敛半径为 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换193.收敛半径的求法10lim|()lim|(),01,200,nnnnnnnnncccc zR：如果比值法 或根值法，那么级数的收敛为理半径定 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换20例1 求下列幂级数的收敛半径 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换21111112122121(1).lim1,1,11limlim.1
12、1lim10,.(2).limlim1,11(1)11,(1)nnnnNnnNNnnnnnnnnnnnnnncRczzzzzzzzcnRcnzznnzn-解：当|=1时,则故发散当|=1时,则故是绝对收敛的 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换221112222!(3).limlim0,.(1)!(4).limlimmax,max,()2max,max,1max,nnnnnnnnnnnnnnncnRcncaiba ba baba ba bRa b 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换234.幂级数的运算和性质 12000000001
13、1012001(),(),.()()(),|;()()()|.min(,);()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf za zRrg zb zRrf zg za zb zab zzRf z g za zb za baba b zzRRr rf zaa zag z-设；那么，20120100 011 10 122 01 10 2,nnnzcc zc zbb za zab cabcb cab cbcb c其中，哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换24注：加减乘除后得到的新级数的收敛半径可能与 都无关。还有更重要的运算：复合运算，它在求解函数的
14、展开式中有着广泛的应用。1212min(,)rrRr r，和00()|,|()|()|,|,()().nnnnnnf za zzrzRg zg zrzRf g za g z：设并且在内解析且满足则当时命题 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2500001001100.()(),()(1)(2)()(),(3)()d()1()d()d|4,|nnnnnnznnannnnCCf zc zzzzRf zzzRfzc n zzzzRcfzanf zzczazCzaR-设那么和函数在其收敛圆内具有如下性质:是解析函数；可逐项微分：可逐项积理分：定或 哈尔滨工程大学哈尔滨工
15、程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换26第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数级数一、泰勒定理一、泰勒定理定理1(泰勒展开定理)设 f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,()01,(),0,1,2,!nncfznn成立且是唯一的 其中.称该式是f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.00()()nnnf zc zz-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换证明：设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,
16、它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzr 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换按柯西积分公式,有1()()d,2Kff ziz-且且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzz-由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以101000101()d()()2()1()()d.2()NnnnKnnn NKff zzzizfzziz-z0Kzr 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换由解析函数高阶导数公式,上式可写成()1000010()()()()!1()()()
17、2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdiz-其中()000lim()0,()()()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能证明在 内成立 则在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzr-令，这里q与积分变量无关,且0q1.z0Kzr 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数 M 使|f(z)|M.01221d|)(|21d)()()(21|)(|000010-NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzR因此,下面的公式在
18、K内成立:()000()()()!nnnfzf zzzn-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换31利用逐项积分，展开式的唯一性是容易验证的.注：1.如果 f(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a-z0|.2.函果 f(z)在z0处解析的充要条件是f(z)在 z0的某个邻域内有泰勒展开式。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换32二、一些初等函数的泰勒展开式二、一些初等函数的泰勒展开式基本方法：1.直接展开法：2.间接展开法：借助一些已知函数的
19、展开式,利用变量替换、逐项微（积）分、幂级数的运算、待定系数法等方法,得出函数在指定点附件的泰勒展开式()01()(0,1,2,)!nncfznn公式 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例1.求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3521242sin(1)3!5!(21)!cos1(1)2!4!(2)!nnnnzzzzzznzzzzzn-哈尔滨工程大学哈尔滨工
20、程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换340035210sinzz011()()sin(ee)22!(1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn-.用间接展开法求在的泰勒展开式2解：例 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3522221121 z=0(1+)z1,11,z.(1+)11(1),|1.11123(1),|1.(1)nnnnzzzzzzzzzznzzz-.求函数在处的泰勒展开式.解:由于函数有一奇点而在内处处解析 所以可在该区域内展开成 的幂级数因为 将上式两边求导得例3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积
21、分变换复变函数与积分变换36例4 求对数函数的主值分支ln(1+z)在z=0处的泰勒展开式.解：ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1内展开.01ln(1)(1),1nnnzzz-因为逐项积分得0001dd(1)d,1zzznnz-231ln(1)(1)|1.231nnzzzzzzn-即 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换37 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换38ln(1)ln(1)201212(1)()(),(0)10()1,|1.()(1)()()1()(1),2!zznnz
22、f zefzf zrzfzez fzf zzf zcc zc zc zccaaaaaaa aa-.求函数为复数 的主值分支在处的泰勒展开式.解：由于在从向左沿负实轴剪开的复平面内解析，所以它在原点处泰勒展开式的收敛半径收敛区域，设，例求的6可(1)(1)!nncna aa-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换394 洛朗级数洛朗级数一、洛朗级数定义1 形如10010()()()nnnnnczzczzczz-0100()()nncc zzczz-00010()()()nnnnnnnnnc zzczzc zz-的级数称为，为其，为其，当这两部分都收敛洛朗级数解析部分主
23、要部分时，则称洛朗级数是收敛的.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换z0R1R2例如级数10110(),1,|,|.|.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab与 为复常数中的负幂项级数当即时收敛 而正幂项级数则当时收敛 所以当时,原级数在圆环域收敛;当时,原级数处处发散 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理1 (洛朗展开式定理)设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则0()()nnnf zc zz-C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.二、环形区域上解析函数的洛朗展开二、
24、环形区域上解析函数的洛朗展开101()d.(0,1,2,)2()nnCfcniz-其中 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数形式?.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换解：函数 f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.1112f zzz-例 把在复平面上展开为z的洛朗级数。xyO1xyO12xyO2 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换先把 f(z)用部分分式表示:11().12f zzz-2222111i)0|1()12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz-在内:ii)在1|z|2内：222111111()11221121111(1)1222f zzzzzzzzzzz-
