1、第五节第五节 函数的实际应用函数的实际应用 ( (10年年8考，考则考，考则1题，题，8分，均在分，均在B卷卷26题考查题考查) ) 目 录 考点精讲考点精讲 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 教材改编题教材改编题 【对接教材】北师：八上第四章北师：八上第四章P89P96；九上第六章；九上第六章P158P160； 九下第二章九下第二章P46P50 考点精讲考点精讲 函数的实际应用 分析一次函数图 像解决实际问题 的关键 一次函数常用模型 二次函数涉及最值 与自变量取值范围 之间的关系 解决问题的基本思 路 解决问题的基本思路解决问题的基本思路 1.认真审题，分清题中已知量和未
2、知量之间的关系认真审题，分清题中已知量和未知量之间的关系 2.确定自变量确定自变量x和因变量和因变量y，以及自变量的，以及自变量的 , 3.依据题中实际问题的等量关系，建立相关的函数模型依据题中实际问题的等量关系，建立相关的函数模型 4.利用函数的性质求相应的值利用函数的性质求相应的值 5.答答 一次函数常用模型：一次函数常用模型： 在一次函数在一次函数ykxb（k0）中，设）中，设x取取x1、x2时，时，y的对应值的对应值 分别是分别是y1，y2，当，当x1xx2时，时，, 函数有最值：函数有最值：k0，当，当xx1时，时， y1为最小值；当为最小值；当xx2时，时，y2为最大值；为最大值；
3、k300时，时，y是是x的一次函数，设的一次函数，设yk1xb， 将将(300, 39000)，(500，55000)代入函数关系式，代入函数关系式， 第1题图 得得 39000300k1b 55000500k1b， 解得解得 k180 b15000， 即即y80 x15000， y 130 x（0 x300） 80 x15000（x300） ； (2)设甲种花卉种植面积为设甲种花卉种植面积为a m2，则乙种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为(1200a)m2，设种植总费，设种植总费 用为用为W元，元， 由题意得由题意得 a200 a2（1200a）， 200a800. 当当200a300时
4、，时，W1130a100(1200a)30a120000， 当当a200时，时，W最小 最小 126000，(4分分) 当当300a800时，时，W280a15000100(1200a)20a135000，(5分分) 当当a800时，时，W最小 最小 119000，(6分分) 119000126000， 当当a800时，总费用最少，最少总费用为时，总费用最少，最少总费用为119000元元 此时乙种花卉种植面积为此时乙种花卉种植面积为1200800400 m2. (7分分) 答：应分配甲种花卉种植面积为答：应分配甲种花卉种植面积为800 m2，乙种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为400 m2，
5、才能使种，才能使种 植总费用最少，最少总费用为植总费用最少，最少总费用为119000元元(8分分) 二次函数的实际应用二次函数的实际应用（10年年7考考） 命题点命题点 2 类型一类型一 销售利润问题销售利润问题(仅仅2019年考查年考查) 2. (2019成都成都B卷卷26题题8分分)随着随着5G技术的发展，人们对各类技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期产品的使用充满期 待某公司计划在某地区销售一款待某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将产品，根据市场分析，该产品的销售价格将 随销售周期的变化而变化，设该产品在第随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为
6、正整数为正整数)个销售周期每台的销售价个销售周期每台的销售价 格为格为y元，元，y与与x之间满足如图所示的一次函数关系之间满足如图所示的一次函数关系 (1)求求y与与x之间的关系式；之间的关系式； (2)设该产品在第设该产品在第x个销售周期的销售数量为个销售周期的销售数量为p(万台万台)，p与与x的关系可以用的关系可以用p x 来描述根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台来描述根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台 的销售价格是多少元？的销售价格是多少元？ 1 2 1 2 【分层分析】【分层分析】(1)要求要求y与与x之间的函数关系式，只需设出一
7、次函数关系式，根据之间的函数关系式，只需设出一次函数关系式，根据 图象代入图象代入_、_两点的坐标即可；两点的坐标即可； (2)设销售收入为设销售收入为W元，由元，由(1)得得y与与x之间的函数关系式，根据销售收入之间的函数关系式，根据销售收入 销售数销售数 量量销售价格，得销售价格，得 W关于关于x的关系式为的关系式为_，利用二次，利用二次 函数的性质即可求解函数的性质即可求解 第2题图 (1，7000) (5，5000) W250(x7)216000 解：解：(1)设设y关于关于x的函数关系式为的函数关系式为ykxb(k0)，由图象可知点，由图象可知点(1，7000)，(5， 5000)在
8、函数图象上，在函数图象上， 将两点坐标代入得将两点坐标代入得 ，解得，解得 kb7000 5kb5000 k500 b7500 ， y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y500 x7500；(4分分) (2)设销售收入为设销售收入为W，根据题意得，根据题意得， Wyp(500 x7500) ( x )， 整理得整理得W250(x7)216000， 2500， W在在x7时取得最大值，最大值为时取得最大值，最大值为16000， 此时该产品每台的销售价格为此时该产品每台的销售价格为500775004000， 答：第答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为个销售周期的销售
9、收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元元(8分分) 1 2 1 2 类型二类型二 产量、工作量问题产量、工作量问题(仅仅2016年考查年考查) 3 . (2016成都成都B卷卷26题题8分分 源自北师九下源自北师九下P29例题例题)某果园有某果园有100棵橙子树，平均每棵橙子树，平均每 棵树结棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵果树就会少结
10、棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种个橙子，假设果园多种x棵橙子树棵橙子树 (1)直接写出平均每棵树结的橙子数直接写出平均每棵树结的橙子数y(个个)与与x之间的关系式；之间的关系式； (2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？ 【分层分析】【分层分析】(1)根据题意，果园多种的橙子树有根据题意，果园多种的橙子树有x棵，则少结的橙子为棵，则少结的橙子为_个，个， 则平均每棵树结的橙子的个数则平均每棵树结的橙子的个数y与与x之间的关系式为之间的关系式为_； (2)设橙子的产量为设橙子的产量为w，由，由(
11、1)得，平均每棵树结的橙子的个数得，平均每棵树结的橙子的个数y与与x之间的函数关系之间的函数关系 式，根据产量树的棵数式，根据产量树的棵数 每棵树结的橙子数，可得每棵树结的橙子数，可得w关于关于x的关系式为的关系式为 _，利用二次函数的性质即可求得最大值，利用二次函数的性质即可求得最大值 5x y6005x w (x10) 260500 解：解：(1)y6005x(0 x120)；(3分分) (2)设橙子总产量为设橙子总产量为w个，根据题意得，个，根据题意得， w(100 x)y(100 x)(6005x)5(x10)260500，(4分分) a50， w关于关于x的函数图象开口向下，的函数图
12、象开口向下， 当当x10时，时，w最大，此时最大，此时w60500，(7分分) 答：果园多种答：果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大产量为棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大产量为60500 个个(8分分) 类型三类型三 行程问题行程问题(仅仅2017年考查年考查) 4 .(2017成都成都B卷卷26题题8分分)随着地铁和共享单车的发展，随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车地铁单车”已成为很多已成为很多 市民出行的选择李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的市民出行的选择李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B， C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单
13、车回家设他出地铁的站点与文化宫的中的某一站出地铁，再骑共享单车回家设他出地铁的站点与文化宫的 距离为距离为x(单位：千米单位：千米)，乘坐地铁的时间，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟单位：分钟)是关于是关于x的一次函数，其关的一次函数，其关 系如下表：系如下表： 地铁站地铁站 A B C D E x(千米千米) 8 9 10 11.5 13 y1(分钟分钟) 18 20 22 25 28 (1)求求y1关于关于x的函数表达式；的函数表达式； (2)李华骑单车的时间李华骑单车的时间y2(单位：分钟单位：分钟)也受也受x的影响，其关系可以用的影响，其关系可以用y2 x211x78 来描述请问：李华应
14、选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需要的来描述请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需要的 时间最短？并求出最短时间时间最短？并求出最短时间 1 2 【分层分析】【分层分析】(1)观察表格可知观察表格可知y1与与x成一次函数的关系，利用待定系数法即可求成一次函数的关系，利用待定系数法即可求 解；解； (2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车共用的时间为设李华从文化宫乘地铁和骑单车共用的时间为y(分钟分钟)，则，则y_，然，然 后利用二次函数的性质即可求解后利用二次函数的性质即可求解 y1y2 解：解：(1)设一次函数的函数表达式为设一次函数的函数表达式为y1kxb(k0)
15、， 把把x8，y118和和x9，y120代入得代入得 8kb18 9kb20， 解得解得 k2 b2， y1关于关于x的函数表达式为的函数表达式为y12x2；(4分分) (2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需y分钟，分钟， y2 x211x78， yy1y2 x29x80 (x9)2 ， 0， 当当x9时，时，y最小 最小 ，(7分分) 答：李华应该选择在答：李华应该选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短 时间为时间为 分钟分钟(8分分) 1 2 1 2 1 2 1 2 79 2
16、79 2 79 2 5 .(2013成都成都B卷卷26题题8分分)某物体从某物体从P点运动到点运动到Q点所用时间为点所用时间为7秒，其运动速度秒，其运动速度v(米米/ 秒秒)关于时间关于时间t(秒秒)的函数关系如图所示某学习小组经过探究发现：该物体前的函数关系如图所示某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运秒运 动的路程在数值上等于矩形动的路程在数值上等于矩形AODB的面积由物理学知识还可知：该物体前的面积由物理学知识还可知：该物体前n(3n7) 秒运动的路程在数值上等于矩形秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形的面积与梯形BDNM的面积之和的面积之和 根据以上信息，完成下列问题：根据
17、以上信息，完成下列问题： (1)当当3t7时，用含时，用含t的代数式表示的代数式表示v； (2)分别求该物体在分别求该物体在0t3和和3t7时，运动的路程时，运动的路程s(米米)关于时间关于时间t(秒秒)的函数关系式；的函数关系式； 并求该物体从并求该物体从P点运动到点运动到Q点总路程的点总路程的 时所用的时间时所用的时间 类型四类型四 几何面积问题几何面积问题(10年年4考考) 函数图象中的面积问题函数图象中的面积问题 7 10 【分层分析】【分层分析】(1)由图象可知，当由图象可知，当3t7时，时，v与与t成一次函数关系，故利用待定系数成一次函数关系，故利用待定系数 法即可求解；法即可求解
18、； (2)由图象可知，该物体前由图象可知，该物体前3秒运动速度不变为秒运动速度不变为2米米/秒，根据路程速度秒，根据路程速度时间，得时间，得 当当0t3时，时，s关于时间关于时间t的函数关系式为的函数关系式为_；由；由(1)知知BC段所对应的函数段所对应的函数 表达式，故可知当时间为表达式，故可知当时间为t(3t7)时，时，BC上的点所对应的纵坐标为上的点所对应的纵坐标为_ ，根，根 据据3t7时，该物体所走的路程在数值上等于矩形时，该物体所走的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形的面积与梯形BDNM的面的面 积之和，得积之和，得s关于时间关于时间t的函数关系式为的函数关系式为_；由；由
19、题知要求运动路程为总路程的题知要求运动路程为总路程的 时所用的时间，只需令时所用的时间，只需令s21即可求解即可求解 7 10 s2t 2t4 s23(22t4) (t3) 1 2 解：解：(1)当当3t7时，设时，设vktb， 把点把点(3，2)，(7，10)分别代入得分别代入得 ，(1分分) 23kb 107kb 解得解得 ，(2分分) k2 b4 v2t4；(3分分) (2)当当0t3时，运动的路程等于矩形时，运动的路程等于矩形AODB的面积，的面积， s2t，(4分分) 当当3t7时，运动的路程等于矩形时，运动的路程等于矩形AODB的面积与梯形的面积与梯形BDNM的面积之和，的面积之和
20、， s23 2(2t4)(t3)t24t9，(6分分) 1 2 第5题图 s ， 2t（0t3） t24t9（36， 令令s21，得，得t24t921，即，即t24t120， 解得解得t16，t22(舍去舍去) 答：该物体从答：该物体从P点运动到点运动到Q点总路程的点总路程的 时所用的时间是时所用的时间是6秒秒(8分分) 7 10 7 10 6. (2012成都成都B卷卷26题题8分分)“城市发展城市发展 交通先行交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵，成都市今年在中心城区启动了缓堵 保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建
21、成后将大大提升二环路的通行能力. 研研 究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度v(单位：千米单位：千米/时时)是车流密度是车流密度x (单位：单位： 辆辆/千米千米)的函数，且当的函数，且当0 x28时，时，v80；当；当28x188时，时，v是是x的一次函数函数的一次函数函数 关系如图所示关系如图所示 (1)求当求当28x188时，时，v关于关于x的函数表达式；的函数表达式； (2)若车流速度若车流速度v不低于不低于50千米千米/时，求当车流密度时，求当车流密度x为多少时，车流量为多少时，车流量P(单位：辆单位：辆/时时) 达到最大，并求出这一最大值达到
22、最大，并求出这一最大值. (注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度 车流密度车流密度) 第6题图 解：解：(1)设当设当28x188时，时，v关于关于x的一次函数表达式为的一次函数表达式为v kxb， 点点(28，80)，(188，0)在这条直线上，在这条直线上， ，解得，解得 ， 28kb80 188kb0 k1 2 b94 当当28x188时，时，v关于关于x的一次函数表达式为的一次函数表达式为v x94；(4分分) 1 2 (2)车流速度车流速度v不低于不低于50千米千米/时，时， x945
23、0，解得，解得x88， 1 2 当当0x28时，时，P80 x， k800， P随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x28时，时，P最大 最大 2240；(5分分) 当当28x88时，时， P( x94)x x294x (x94)24418， 抛物线开口向下，抛物线开口向下， 当当x94时，时，P随随x的增大而增大，而的增大而增大，而28x88， 当当x88时，时，P最大 最大 (8894)244184400，(7分分) 44002240， 当车流密度为当车流密度为88辆辆/千米时，车流量达到最大，最大值是千米时，车流量达到最大，最大值是4400辆辆/时时(8分分) 1 2 1 2 1 2
24、 1 2 实际应用中的面积问题实际应用中的面积问题 7. (2014成都成都B卷卷26题题8分分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直 角墙角角墙角(两边足够长两边足够长)，用，用 28 m长的篱笆围成一个矩形花园长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围篱笆只围AB， BC两边两边)，设，设ABx m. (1)若花园的面积为若花园的面积为192 m2，求，求x的值；的值； (2)若在若在P处有一棵树与墙处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是的距离分别是 15 m和和 6 m，要将这棵树围在花园内，要将这棵树围在花园内(含边界，含边界，
25、 不考虑树的粗细不考虑树的粗细)，求花园面积，求花园面积S的最大值的最大值 第7题图 解：解：(1)篱笆长为篱笆长为28 m，且只围，且只围AB和和BC两边，两边，ABx m， BC(28x)m， 花园的面积花园的面积SAB BC， x(28x)192， 整理得整理得x228x1920， 即即(x16)(x12)0， x116，x212， 即即x的值为的值为16或或12；(4分分) (2)P到到CD的距离为的距离为15 m， BC15 m，即，即28x15， x13， P到到AD的距离为的距离为6 m， AB6 m， 6x13， 花园面积花园面积SAB BCx(28x)(x14)2196，(6
26、分分) 二次函数开口向下，对称轴为直线二次函数开口向下，对称轴为直线x14，且，且6x13， 当当x13时，花园面积最大，时，花园面积最大，S最大 最大 (1314)2196195. 答：花园面积答：花园面积S的最大值为的最大值为195 m2.(8分分) 8. (2011成都成都B卷卷26题题8分分)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃， 苗圃的一边靠围墙苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的 长方形长方形ABCD.已知木栏总长为已知木栏总长为
27、120米，设米，设AB边的长为边的长为x米，长方形米，长方形ABCD的面积为的面积为S 平方米平方米 (1)求求S与与x之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量x的取值范围的取值范围)当当x为何值时，为何值时，S取取 得最值得最值(请指出是最大值还是最小值请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；？并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心 分别为分别为O1和和O2，且，且O1到到AB、BC、AD的距离与的距离与O2到到CD、BC、AD的距离都相等，
28、的距离都相等， 并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学米宽的平直路面，以方便同学 们参观学习当们参观学习当(1)中中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半 径；若不可行，请说明理由径；若不可行，请说明理由 第8题图 解：解：(1)ABx， BC1202x. Sx(1202x)2(x30)21800.(2分分) a20，二次函数的图象开口向下，有最大值，二次函数的图象开口向下，有最大值 当当x30时，时，S最大 最大 1800.(4分分) (2)当当S
29、取最值时，取最值时，ABCD30，BC60.(5分分) 若可行，则设两圆的半径为若可行，则设两圆的半径为r，根据题意列方程，得，根据题意列方程，得6020.54r3020.5 2r.(6分分) 解得解得r15.(7分分) 而而2r20.530，4r20.560.故这个设计不可行故这个设计不可行(8分分) 教材改编题教材改编题 1. (北师八下北师八下P39习题习题2.1第第3题改编题改编)用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两 种原料的维生素种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料原料 甲种原料甲种原料
30、 乙种原料乙种原料 维生素维生素C含量含量(单位单位/kg) 500 200 原料价格原料价格(元元/kg) 8 6 现配制这种饮料现配制这种饮料10 kg，要求至少含有，要求至少含有4400单位的维生素单位的维生素C，购买甲种原料，购买甲种原料x千克，千克， (1)问至少需要购买甲种原料多少千克？问至少需要购买甲种原料多少千克？ (2)设用于购买这两种原料的总费用为设用于购买这两种原料的总费用为y元，求元，求y与与x的函数关系式，并说明购买甲的函数关系式，并说明购买甲 种原料多少千克时，总费用最少？种原料多少千克时，总费用最少？ 解：解：(1)设购买甲种原料设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，则购买乙种原料(10 x)千克，千克， 根据题意得，根据题意得，500 x200(10 x)4400， 解得解得x8， 答：至少需要购买甲种原料答：至少需要购买甲种原料8千克；千克； (2)y8x6(10 x)2x60， 即即y2x60， k20， 函数值函数值y随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x8时，总费用最少，时，总费用最少， 答：购买甲种原料答：购买甲种原料8千克时，总费用最少千克时，总费用最少 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
