1、 教学目标解读教学目标解读 教学内容介绍教学内容介绍 课时安排课时安排 教学建议教学建议 1 1回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。2 2理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：意义证明以下不等式：（1 1）a ab ba ab b；（2 2）a ab ba ac cc cb b；（3 3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：axaxb bc c ;axaxb bc c ；x xc cx xb ba a。3 3认识柯西不等
2、式的几种不同形式认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义。理解它们的几何意义。（1 1）证明柯西不等式的向量形式：）证明柯西不等式的向量形式：|。（2 2）证明：（）证明：（a a2 2+b b2 2）(c c2 2+d d2 2)()(acac+bdbd)2 2。（3 3）证明：）证明：4 4用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx 211212)(niiiniiniibaba5 5用向量递归方法讨论排序不等式。用向量递归方法讨论排序不等式。6 6了解数学归纳法的原
3、理及其使用范围，会用数学了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。归纳法证明一些简单问题。7 7会用数学归纳法证明贝努利不等式：会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1(1x x)n n1 1nxnx（x x-1,-1,n n为正整数）。为正整数）。了解当了解当n n为实数时贝努利不等式也成立。为实数时贝努利不等式也成立。8 8会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。9 9通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：通过一些简单问题了解证明不等式
4、的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。1010完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（容：（1 1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中）知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结；（蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结；（2 2）拓展，通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立拓展，通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，思考，与本专题相关的知识介绍与本专题相关的知识介绍 本专题的知识结构和内容本专题的知识结构和内容 初中课标要求：不等式与不等式组初中课标要求：不
5、等式与不等式组能够根据具体问题中的大小关系了解不等式能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。的意义，并探索不等式的基本性质。会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。等式组，并会用数轴确定解集。能够根据具体问题中的数量关系，列出一元能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。必修必修5 5 （1 1）不等关系；）不等关系；（2 2）
6、一元二次不等式；）一元二次不等式；（3 3）二元一次不等式组与简单线性规划问题；）二元一次不等式组与简单线性规划问题；（4 4）基本不等式。）基本不等式。文科选修文科选修1-21-2中第中第2 22 2节用综合法和分析法证节用综合法和分析法证明不等式明不等式 理科选修理科选修2-22-2中第中第2 22 2节用综合法和分析法证节用综合法和分析法证明不等式，数学归纳法的基本原理。明不等式，数学归纳法的基本原理。不等式的基本性质不等式的基本性质绝对值三角不等式绝对值三角不等式基本不等式基本不等式解含有绝对值解含有绝对值的简单不等式的简单不等式三个正数的三个正数的算术算术几何不等式几何不等式一个推广
7、：一个推广：l把基本不等式推广到三个正数的算术把基本不等式推广到三个正数的算术几何平均不等式，几何平均不等式，再推广到一般形式的均值不等式再推广到一般形式的均值不等式“一个推广，两个类比，三个几何解释，四个证明，五个应用一个推广，两个类比，三个几何解释，四个证明，五个应用”两个类比两个类比:l通过类比等式的性质得到不等式的基本性质通过类比等式的性质得到不等式的基本性质l通过类比不等式基本性质的得出过程，猜想绝对值不等通过类比不等式基本性质的得出过程，猜想绝对值不等式的性质式的性质l重要不等式重要不等式 的几何解释的几何解释l基本不等式基本不等式 的几何解释的几何解释l绝对值不等式的几何解释绝对
8、值不等式的几何解释),(222Rbaabba )0,(2 baabbal不等式基本性质的应用不等式基本性质的应用l基本不等式的应用基本不等式的应用l绝对值三角形不等式的应用绝对值三角形不等式的应用l绝对值不等式的应用绝对值不等式的应用l证明重要不等式证明重要不等式l证明基本不等式证明基本不等式l证明三个正数的算术证明三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式l证明绝对值三角不等式证明绝对值三角不等式l证明绝对值三角不等式的一般形式证明绝对值三角不等式的一般形式),(33 Rcbaabccba),(222Rbaabba ),(2 Rbaabba),(Rbababa ),(Rcbacbbaca 本
9、讲教学应注意的本讲教学应注意的7个方面个方面:1、重视基本性质；、重视基本性质；2、把握基本不等式、把握基本不等式；3、多角度认识绝对值三角不等式；、多角度认识绝对值三角不等式；4、把握绝对值不等式的要求；、把握绝对值不等式的要求；5、关注条件；、关注条件；6、重视几何背景；、重视几何背景；7、关注思想方法。、关注思想方法。向量形式向量形式代数形式代数形式数的运算数的运算绝对值三绝对值三角不等式角不等式证明不等式证明不等式的基本方法的基本方法比较法比较法分析法与综合法分析法与综合法反证法与放缩法反证法与放缩法本讲教学注意的本讲教学注意的3个方面个方面:1.关注五法的教学特点和要求；关注五法的教
10、学特点和要求；2.关注证明思路和方法的选择；关注证明思路和方法的选择；3.适当增加练习，避免过多技巧。适当增加练习，避免过多技巧。二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式排序不等式排序不等式本讲教学应注意的本讲教学应注意的5个方面个方面:1.强调过程强调过程 过程一：过程一：“数形结合的强化数形结合的强化”时，等号成立。时，等号成立。当且仅当当且仅当则则都是实数，都是实数，式）若式）若（二维形式的柯西不等（二维形式的柯西不等定理定理bcadbdacdcbadcba 22222)()(,1时时，等等号号成成立立。，使
11、使是是零零向向量量，或或存存在在实实数数当当且且仅仅当当是是两两个个向向量量，则则，式式）设设（柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形定定理理 kk 2yyxxyyxxyyxx221221232232231231)()()()()()(过程二：过程二：“探究探究猜想猜想证明证明应用应用”本讲教学应注意的本讲教学应注意的5个方面个方面:1.强调过程强调过程 2.强化数形强化数形 3.模型意识模型意识 4.关注运用关注运用 5.控制难度控制难度数学归纳法数学归纳法用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式学习总结报告学习总结报告本讲教学应强调的几个方面本讲教学应强调的几个方面:1.体会用有限证明无
12、限的思想；体会用有限证明无限的思想；2.关注步骤；关注步骤；3.关注适用范围；关注适用范围；4.合理使用归纳假设；合理使用归纳假设；5.恰当介绍贝努利不等式；恰当介绍贝努利不等式；6.控制难度。控制难度。学习总结报告：学习总结报告：一、知识的总结一、知识的总结 对本专题介绍的知识及其中蕴涵的数学思想对本专题介绍的知识及其中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结；方法和数学背景进行总结；二、拓展二、拓展 通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用；思考，进一步探讨不等式的应用；三、学习体会三、学习体会 学习本专题的感受、体会和看法。学习
13、本专题的感受、体会和看法。本专题教学约需本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：课时，具体分配如下（仅供参考）：第一讲不等式和绝对值不等式第一讲不等式和绝对值不等式 一、不等式约一、不等式约2课时课时 二、绝对值不等式约二、绝对值不等式约2课时课时 第二讲证明不等式的基本方法第二讲证明不等式的基本方法 一、比较法约一、比较法约1课时课时 二、综合法与分析法约二、综合法与分析法约2课时课时 三、反证法与放缩法约三、反证法与放缩法约2课时课时 第三讲柯西不等式与排序不等式第三讲柯西不等式与排序不等式 一、二维形式的柯西不等式约一、二维形式的柯西不等式约1课时课时 二、一般形式的柯西不等式
14、约二、一般形式的柯西不等式约1课时课时 三、排序不等式约三、排序不等式约1课时课时 单元小结单元小结 约约1课时课时 第四讲数学归纳法证明不等式第四讲数学归纳法证明不等式 一、数学归纳法约一、数学归纳法约2课时课时 二、用数学归纳法证明不等式约二、用数学归纳法证明不等式约2课时课时 学习总结报告学习总结报告 约约1课时课时把握教学要求把握教学要求重视思想方法重视思想方法重视学生方式和教学方式的改进重视学生方式和教学方式的改进 不随意拓展、延伸不随意拓展、延伸 不随意加深难度不随意加深难度 不过于追求技巧性不过于追求技巧性 抓住重点、难点抓住重点、难点教学重点：教学重点：（1）不等式的基本性质、
15、基本不等式及其应用、绝对值）不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值三角不等式；三角不等式；（2）用比较法、分析法、综合法证明不等式；）用比较法、分析法、综合法证明不等式；（3）认识柯西不等式的几种形式，理解其几何意义、用）认识柯西不等式的几种形式，理解其几何意义、用向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两种不等式向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两种不等式分析解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方分析解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方法（发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过适当法（发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过适当的变形，以经典不等式为依据得出具体问题中
16、的不等关的变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系）；系）；（4）了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、）了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、会用数学归纳法证明含有任意正整数会用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式（包括的不等式（包括贝努利不等式）。贝努利不等式）。教学难点：教学难点：（1）三个正数的算术）三个正数的算术几何平均不等式及其应用、几何平均不等式及其应用、绝对值不等式的解法；绝对值不等式的解法；（2）用反证法、放缩法证明不等式的思考过程；）用反证法、放缩法证明不等式的思考过程；（3）一般形式的柯西不等式和排序不等式的证明思）一般形式的柯西不等式和排序不等式的
17、证明思路；运用两个经典的不等式证明不等式；路；运用两个经典的不等式证明不等式；（4）认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法）认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法时，在时，在“假设与递推假设与递推”的步骤中发现具体问题中的的步骤中发现具体问题中的递推关系。递推关系。本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较
18、法、现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会。题加以理解和体会。“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？的柯西不等式吗？”“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究。的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”改进教学方式，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比改进教学方式，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推广广。如：。如：谢谢！谢谢！欢迎各位批评指正！欢迎各位批评指正！
