1、 - 1 - 豫南九校 2017-2018 学年上期第二次联考 高二数学（文）试题 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知命题 ： ， ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 B 【解析】全称命题的否定为存在命题，命题 ： ， ，则 为 ， ，选 B. 2. 在 中，角 ， ， 所对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则角 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】根据余弦定理 ， ，选 C. 3. 在 中，角 ， ， 所对边分别是 ， ， ，
2、若 ， ，且 ，满足题意的 有（ ） A. 0个 B. 一个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】 B 【解析】 ， ， , 为锐角，且 ， b ，满足题意的 有一个，选 B. 4. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 是等差数列 的前 项和， ,选D. - 2 - 5. 设 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 或 【答案】 C 【解析】 ，则 为锐角，根据正弦定理， ，则 ，则 ，选 C. 6. 设 为等比数列，若 ， ， ， ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必
3、要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】根据等比数列的性质设 为等比数列，若 ， ， ， ，则 ，反过来设数列为常数列 1， 1， 1， 1?, 任意两项的积相等，但 项数和不等，所以不必要，那么 为等比数列，若 ， ， ， ，则 是 的充分不必要条件 ,选 A. 7. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 时，符合题意， 时，关于 的不等式 的解集为 ，只需，综上可知实数 的取值范围是 ，选 B. 8. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
4、 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， ， ， ， ， ， ，选 B. 9. 设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D - 3 - 【解析】设等比数列首项为 ，公比为 ， ， ，则 ， ， ，选 D. 10. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， ， ， ， ，选 B. 11. 椭圆 （ ）的两个焦点是 ， ，若 为其上一点，且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ， ，则 ，则 ， ， ，又 ， 椭圆离心
5、率的取值范围是 ，选 C. 12. 已知变量 ， 满足约束条件 则目标函数 （ ）的最大值为 16，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A - 4 - 【解析】 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 100以内的正整数有 _个能被 7整除的数 【答案】 14 【解析】它们分别为 ，共计 14个 . 14. 等比数列 的前 项和 ，若 ， 为递增数列，则公比 的取值范围 _ 【答案】 【解析】 时，有 ， 恒成立，若 ， ，即 成立，若 只要 ，若 ，需要 恒成立，当 时， 恒成立，当时， 也恒成立，当 时，若 为偶
6、数时， 也不可能恒成立，所以 的取值范围为 15. 在 中， ， ， 是 的中点， ，则 等于 _ 【答案】 【解析】延长 至 N，使 ，连接 ，则四边形 为平行四 边形，在 中， ，在 中， ， . - 5 - 16. 设 ，实数 ， 满足 若 ，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线 和 之间，由图可知，实数 的取值范围是 ，填 . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ： ， ： （ ），若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 【答案】 【解析】试题分析：首先落实集
7、合 A与 B，解一元二次不等式求出集合 A，由于 解一元二次不 等式得出集合 B，根据 p找出非 p,由于若 是 的充分不必要条件，说明非 p对应的集合是 q对应的集合的真子集，借助集合的包含关系列出不等式，解出 a的范围； 试题解析： 由 得 ， 由 得 又因为 是 的充分不必要条件 , 所以 解得 【 点睛 】 有关充要条件问题有两种解释，第一是从逻辑关系的角度去解决，若 ，但 推不出 ，则 是 的充分不必要条件；第二从命题所对应的集合的包含关系的角度去解决， 是 的充分不必要条件说明 对应的集合是 所对应的集合的真子集 . - 6 - 18. 为数列 的前 项和，已知 ， （ 1）求数列
8、 的通项公式； （ 2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】（ 1） ；（ 2）见解析 . 【解析】试题分析：当数列提供 与 之间的递推关系时，一般把原式中的 n替换为 n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把 与 的关系转化为 与 的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，由于通项公式符合使用裂项相消法，所以借助裂项相消法求和后证明不等式 . 试题解析： （ 1） ， 两式作差得： ， 成等差数列 又当 时， （ 2） 由 可知 则 故 【 点睛 】 当数列提供 与 之间的递推关系时，常规方法是把原式中的 n替换为 n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把 与 的关系转化
9、为 与 的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法 . 19. 设 ：实数 满足 ，其中 ； ：实数 满足 （ 1）若 ，且 为真， 为假，求实数 的取值范围； （ 2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：第一步首先把 a=1代入求出 p所表示的含义 ，解不等式组搞清 q的含义，根据 为真， 为假，求出 x的范围，第二步 是 的充分不必要条件的等价关系为 ，说明 所表示的集合是 所表示的集合的真子集，针对 为正、负两种情况按要求讨论解决 . - 7 - 试题解析： （ 1
10、）当 为真时 ，当 为真时 ， 因为 为真， 为假，所以 ， 一真一假， 若 真 假，则 ，解得 ； 若 假 真，则 ，解得 ， 综上可知，实数 的取值范围为 . （ 2）由（ 1）知，当 为真时， ， 因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的必要不充分条件， 因为 为真时，若 ，有 且 是 的真子集， 所 以 ，解得： ， 因为 为真时，若 ，有 且 是 的真子集， 所以 ，不等式组无解 综上所述：实数 的取值范围是 【 点睛 】 解含参一元二次不等式时，若已知参数值可代入后求解，若不知参数值需要讨论后求解，涉及含有逻辑联结词的命题的真假问题需要按照真值表考虑简单命题的真、假，按照要求求出参
11、数的范围，当遇到 是 的充分不必要条件时，要按照互为逆否命题同真假去转化为等价关系为 ，然后再去解决 . 20. 已知在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边长，且 （ 1）求角 的值； （ 2）若 ，求 的取值范围 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：第一步利用正弦定理进行 “ 边转角 ” 化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角 A的余弦值，进而求出角 A；第二步利用余弦定理，转化为 b+c与bc的关系，然后利用基本不等式 “ 等转不等 ” ，求出 b+c的范围，再根据三角形两边之和大于第三边，求出范围 . 试题解析： （ 1）依题意由正弦定理可得： - 8
12、 - 又 （ 2）由余弦定理知： （当且仅当 时成立） ，又 故 的取值范围是 【 点睛 】 有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等， 多用正弦定理和余弦定理进行 “ 边角转化 ” ，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式求范围或最值 . 21. 已知数列 的前 项和为 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 项和 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：已知数列的前 n项和 ，求通项公式分两步，第一步 n=1 时，求出首项，第二
13、步，当 时利用前 n项和与前 n-1项和作差求出第 n项，若首项满足后者，则可书写统一 的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和 . 试题解析： （ 1）当 时， ， 当 时， 当 时， 不满足上式 ， 故 （ 2） ， 令 - 9 - 得： ， 【 点睛 】 已知数列的前 n项和 ，求通项公式分两步，第一步 n=1 时，求出首项，第二步，当 时利用前 n项和与前 n-1项和作差求出第 n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则 通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主
14、要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和 . 22. 已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，左焦点为 ，斜率为 1的直线 与椭圆交于 ， 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）求 的面积 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析： 首先利用椭圆的离心率和焦点坐标列方程求出 a,b写出椭圆方程，第二步设出直线方程和直线与椭圆的交点坐标，利用设而不求思想解题，联立方程组，代入整 理后写出根与系数关系，求出弦 AB 中点的坐标，根据等腰三角形三线合一，底边的中线也是高线，根据垂直关系列出等式求出参数，利用弦长公式求出底边长，计算出面积 . 试题解析： （ 1）由已知得 ， ，解得 ，又 所以椭圆 E的方程为 （ 2）设直线 的方程为 ， 由 消去 得 - 10 - 设 的坐标分别为 ， AB 中点为 ， ， 因为 AB 是等腰 的底边，所以 ， 所以 的斜率 ， 此时 又点 P到直线 AB： 的距离 所以 的面积 【 点睛 】 求椭圆的标
