1、对数函数知识剖析1对数的概念 概念一般地，如果ax=N(a0 , 且a1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.(a底数， N真数， logaN对数) 两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10 N记为lgN；自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN记为ln N 对数式与指数式的互化x=logaN ax=N对数式 指数式 结论(1)负数和零没有对数 (2)logaa=1，loga1=0.特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0. 2 对数的运算如果a0， a 1 , M0 , N0 , 有 loga(MN)=loga M+loga N loga
2、MN=loga M-loga N logaMn =n loga MnR alogaM=M 换底公式loga b=logc blogc a (a0 , a 1 , c0 , c 1 , b0)利用换底公式推导下面的结论 logab=1logba logab logbc=logac logam bn=nmlogab特别注意：logaMN logaM logaN，logaM N logaM logaN 3 对数函数 对数函数的概念函数y=logax(a0 , a 1)叫做对数函数，其中x是自变量. 图像与性质 图像a10a1则x=log3k=lgklg3， y=log4k=lgklg4 ，z=log
3、12k=lgklg12(利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+yz求值去掉k)x+yz=lgklg3+lgklg4lgklg12=lg12lg12lg3lg4=lg3+lg42lg3lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，(x+yz(n , n+1)，要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)0lg3lg42 (利用对勾函数可得) lg3lg4+lg4lg3+24，lg4lg32 , lg3lg41 lg3lg4+lg4lg3+20)，则ff12= .【答案】 13 【解析】f(x)=&3x(x0)&log2x(x0)，f(12)=log212=-1则ff(12)=
4、f(-1)=3-1=132 () lg22+lg5lg20+20160+0.027-2313-2= 【答案】 102 【解析】lg22+lg5lg20+20160+0.027-2313-2 lg22+lg5(2lg2+lg5)+1+0.33-239=lg2+lg52+1+10.099 =1+1+100 =1023() 求值:lg8+lg125-lg2-lg5lg10lg0.1= 【答案】 -4 【解析】lg8+lg125-lg2-lg5lg10lg0.1=3lg2+3lg5-lg2-lg512lg10lg110=2(lg2+lg5)-12=-44() 求值:2log214-827-23+lg1
5、100+2-1lg1 【答案】 -3 【解析】2log214-827-23+lg1100+2-1lg1=14-233-23-2+2-10 =14-94-2+1 -3故答案为：-35() 若a1，b1且lg(1+ba)=lgb，则lg(a-1)+lg(b-1)的值 【答案】 0 【解析】a1，b1且lg(1+ba)=lgb，1+ba=b，a+b=ab，lg(a-1)+lg(b-1)=lg(a-1)(b-1)=lg(ab-a-b+1)=lg1=0故选：C6() 已知2a=7b=m，1a+12b=12，则m.【答案】 28 【解析】2a=7b=m，a=log2m，b=log7m，1a+12b=12，
6、logm2+12logm7=logm(27)=12，m=27，解得m=28故答案为287() 已知ab1，若logab+logba=52，ab=ba，则ab【答案】 8 【解析】logab+logba=52；1logba+logba=1+(logba)2logba=52；2(logba)2-5logba+2=0；解得logba=12或logba=2；ab1；logba1；logba=2；a=b2；又ab=ba；b2b=bb2；b2=2b；b=2或b=0(舍去)；a=4；ab=8故答案为：8【题型二】对数函数的图象及应用【典题1】 函数y=loga(|x|+1)(a1)的图象大致是() A B
7、C D【解析】方法1 y=loga(|x|+1)=logax+1,x0loga-x+1,x1，由对数函数的性质易得选B.方法2 函数图象变换 左移1个单位 去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称故选B【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象； 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.【典题2】 设a , b , c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则() Aabc Bcba Ccab Dbac【解析】 分别作出四个函数y=(12)x , y=log12x，y=2x，y=
8、log2x的图象，观察它们的交点情况由图象知abc故选A【点拨】 2a=log12a中a是函数y=2x与y=log12x的交点横坐标； 函数y=2x与y=log2x互为反函数，图象关于直线y=x对称. 函数y=(12)x与y=log12x也是.【典题3】 已知f(x)=&3|log3x| , 03，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且abcd，则abcd的取值范围是 . 思考痕迹 已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y=f(x)与一直线y=k相交于四个点，四点的横坐标是a、b、c、d，所以想到数形结合.【解析】 先画出f(x)=&3|log3x| , 03的图象，如图
9、a , b , c , d互不相同，不妨设abcd且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3c4由图可知log3a=log3b，c、d关于x=5对称,-log3a=log3b，c+d=10，即ab=1 , c+d=10，故abcd=c10-c=-(c-5)2+25，由图象可知3c4，由二次函数的知识可知21-c2+12c24，abcd的范围为(21 , 24)【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x=3处.巩固练习1() 已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数gx=-logbx的图象可能是()ABCD【答案】B 【解析】lga+lgb=
10、0，ab=1则b=1a从而gx=logbx=logax， 函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B2() 已知图中曲线C1 , C2 , C3 , C4分别是函数y=loga1x，y=loga2x，y=loga3x，y=loga4x的图象，则a1 , a2 , a3 , a4的大小关系是() Aa4a3a2a1 Ba3a4a1a2 Ca2a1a3a4 Da3a4a2a1【答案】B 【解析】选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用logaa=1结合图象求解3() 已知函数f(x)=|lnx|，若0ab，且f(a)=f(b)，则a+5b的
11、取值范围是()A(25，+)B25，+)C(6 , +)D6 , +)【答案】 C 【解析】函数f(x)=|lnx|f(x)=-lnx(0x1)，又因为0ab，故0a1，又知道f(a)=f(b)，lna=lnb，即1a=b，设t=a+5b=a+5a，由对勾函数的性质可知,t在(0,1)上单调递减，t1+5=6，即a+5b6，故选：C4() 已知函数f(x)=|loga|x-1|(a0 , a1)，若x1x2x3x4 , x1x2x3x40且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1+x2+x3+x4=() A2 B4 C8 D随a值变化【答案】B 【解析】函数f(x)=|loga|
12、x1|的图象如下图所示：有图可知，函数f(x)=|loga|x1|的图象关于直线x=1对称，又x1x2x3x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1+x2+x3+x4=4故选：B5 () 已知函数f(x)=|log2(x-1)|，g(x)=12x，则图象交于A(x1 , y1) , B(x2 , y2)两点，则()Ax1x25 Cx1+x2x1x2Dx1+x2x1x2【答案】C 【解析】不妨设x1x2，作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x12，则f(x1)=|log2x11|=log2x11,f(x2)=|log2(x21)|=log2(x21)，则f(x2)f(x1)
13、=log2x21+log2x11=log2(x11)(x21)=(12)x2-(12)x10，即(x11)(x21)1，即x1x2(x1+x2)+1x1x2，故选：C6 () 已知函数f(x)=|log2x| , 08，若a , b , c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是 【答案】8 , 20 【解析】根据已知画出函数图象：不妨设abc，f(a)=f(b)=f(c)，log2a=log2b=-14c+5，log2(ab)=0，0-14c+53，解得ab=1，8c20，8abc20故答案为(8,20)7 () 已知函数f(x)=|log2x|，g(x)=12x，若对
14、任意xa , +)，总存在两个x012 , 4，使得g(x)f(x0)=1，则实数a的取值范围是 【答案】2 , +) 【解析】f(x0)=1g(x)=2x，xa,+)，f(x0)2a，作出f(x)在12，4上的函数图象如图：对任意xa,+)，总存在两个x012,4，使得g(x)f(x0)=1，02a1，解得a2故答案为2,+)【题型三】对数函数的性质及应用角度1 比较对数式的大小【典题1】已知a=log27 , b=log38 , c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabcCbcaDcalog24=2，c=0.30.20.30=1，1log38log39=2 1b2，cb
15、a故选A【典题2】 设a=log23 , b=43 , c=log34，则a , b , c的大小关系为()Abac Bcab Cabc Dcblog2243=43=b , b=43=log3343log34=c，a , b , c的大小关系为cba故选D【典题3】 已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab【解析】由题意，可知a=log521，c=0.50.2log24=2，(初步估值)b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)a=log52=1log2512ac，(引入第三数12比较)acb，故
16、选：A【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小； 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小； 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解对数型不等式和方程【典题1】方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解集为 【解析】log2(x-1)=2-log2(x+1)，log2(x-1)=log24x+1，x-1=4x+1，解得x=5检验得x=-5不符合， (注意真数的范围)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解集为5故答案为5【典题2】不等式log2(x2-1)3的解集为 .【解析】
17、 log2(x2-1)3log2(x2-1)log280x2-18 (误解x2-18)解得-3x-1或1x0”这点.角度3 对数型函数综合问题【典题1】 函数y=log12(x2-6x+17)的值域是 .【解析】 t=x2-6x+17=x-32+88 内层函数的值域8 , +), 而 y=log12t在8 , +)是减函数，故ylog128=-3函数y=log12(x2-6x+17)的值域是(- , -3.【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.【典题2】 已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=-f(x)，当x(0 , 1时，fx=2x-1，则方程f(x)=log7|x-
18、2|解的个数是 . 【解析】 函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由fx+2=-f(x)，可得f(x+2)=f(-x)，f(x)的有条对称轴x=1，由fx+2=-f(x)，可得f(x+4)=f(x)，f(x)的周期T=4(注 由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下 画fx=2x1 , x(0 , 1) 根据奇函数的性质 由对称轴x=1可得 由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log7|x-2|图象， 注意到g(9)=1 , g(-7)1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个【点拨】 遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等
19、)，一般通过数形结合的方法处理； fx+a=fx+bfx的周期T=a-b，fx+a=fb-xfx的对称轴x=a+b2fx+a=-fxfx的周期T=2afx+a=1fxfx的周期T=2a.【典题3】设a0，b0，则下列叙述正确的是()A若lna-2blnb-2a，则ab B若lna-2blnb2a，则alnb-2b，则ab D若lna-2alnb2b，则af(b)ab0，即lna+2alnb+2bab0，即lna-2blnb-2aab0，故选A方法2 取特殊值排除法对于A、B，令a=1，b=1e，代入lna-2blnb-2a得-2e-3显然成立，而ab，此时可排除选项B；对于选项C、D，令a=1
20、，b=e，代入lna-2alnb-2b得-21-2e显然成立，而alnb-2b得-2-2-2e2显然成立，而ab可排除选项D；故选A【点拨】 方法1通过构造函数f(x)=lnx+2x，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！ 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.【典题4】已知函数f(x)=log31-x1+x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x-12 , 12时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域【解析】 (1)要使函数f(x)=log31-x1+
21、x的解析式有意义，自变量x须满足1-x1+x0，解得x(-1 , 1)，故函数f(x)的定义域为(1 , 1)；(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f-x=log31+x1-x=-log31-x1+x=-fx，故函数f(x)为奇函数；(3)当x12，12时，令u(x)=1-x1+x=21+x-1 (分离常数法)(注 函数图象如右图，由y=2x向左向下平移一个单位得到的)故u(x)=1-x1+x在-12 , 12上为减函数，则u(x)13 , 3，又g(x)=f(x)=log3u为增函数，故g(x)-1 , 1，故函数g(x)的值域为-1 , 1【点拨】 遇到形如fx=agx+bcgx+
22、d的函数(比如y=1-2x1+x，y=2x-32x+4，y=3x2+4x2-1等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质； 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.【典题5】 设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0D，使得fx0=-x0成立，则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D上存在准不动点已知f(x)=log12(4x+a2x-1)，x0 , 1(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间0 , 1上存在准不动点，求实数a的取值范围【解析】 (1)当
23、a=1时，可得fx=log124x+2x-1=-x，x0 , 1，可得4x+2x-1=2x，即4x=1，x=0当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0(2)方法1 由定义可得方程log12(4x+a2x-1)=-x在x0 , 1上有解，即方程4x+a2x-1=2x在x0 , 1上有解, 且4x+a2x-10 (*)令2x=t，x0 , 1，则t1 , 2，那问题(*)转化为方程t2+a-1t-1=0在1 , 2有解，且t2+at-10，令gt=t2+a-1t-1，开口向上且g00(1t2)恒成立其对称轴x=-a2，在1t2上是递增的，当t=1时最小值，可得a0综上可得实数a的取值范围是(0，
24、1方法2 与方法1同样得到方程t2+a-1t-1=0在1 , 2有解，且t2+at-10，即a=1-t+1t在t1 , 2上有解，且a1t-t在t1 , 2上恒成立 (分离参数法)由ht=1-t+1t在t1 , 2上显然是减函数，其值域为-12 , 1，则-12a1；由dt=1t-t在t1 , 2上显然是减函数，最大值为d1=0，则a0,综上可得实数a的取值范围是(0,1【点拨】 在第二问中不要漏了4x+a2x-10，求解过程中谨记等价转化，做到严谨； 第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,巩固练习1() 若a
25、=log21.5 , b=log20.1 , c=20.2，则()AcbaBbcaCabcDbac【答案】D 【解析】log20.1log21.520=1；bac故选：D2() 设a=log126,b=log1412,c=log1515，则()AabcBcbaCbacDcab【答案】 A 【解析】a=log126=-1-log23=-1-1log32，b=log1412=-1-log43=-1-1log34，c=log1515=-1-log53=-1-1log35；0log32log341log341log35；abc故选：A3() f(x)是定义在R上的函数，且f(2-x)=f(x)，当x1
26、时，f(x)=log2x，则有()Af(13)f(2)f(12)Bf(12)f(2)f(13)Cf(12)f(13)f(2)Df(2)f(12)f(13)【答案】 C 【解析】x1时f(x)=log2x，f(x)在1,+)上单调递增，f(2x)=f(x)，f(12)=f(2-12)=f(32)，f(13)=f(2-13)=f(53)，又132532，f(32)f(53)f(2)，即f(12)f(13)f(2)，故选：C4() 不等式log2(2x-1)log2(2x+1-2)2的解集为 【答案】 log254 , log23 【解析】设t=log2(2x1)，则不等式可化为t(t+1)2，所以
27、t2+t20，所以2t1所以2log2(2x1)1，所以222x12所以542x0，且a1(1)若1是关于x的方程fx-g(x)=0的一个解，求t的值；(2)当0a1且t=-1时，解不等式f(x)g(x)；(3)若函数Fx=afx+tx2-2t+1在区间(-1 , 2上有零点，求t的取值范围【答案】(1)t=2-2 (2)12x54 3t-2或t2+24【解析】 (1)1是关于x的方程f(x)g(x)=0的一个解，loga22loga(2+t)=0，2=2+t2，t=2-2；(2)当0a0，解得12x54；(3)F(x)=afx+tx22t+1=x+1+tx22t+1=tx2+x2t+2，令tx2+x2t+2=0，即t(x22)=(x+2)，x(1,2，x+2(1,4，t0，x220；1t=-x2-2x+2=-(x+2)+2x+2+4，22(x+2)+2x+292，-12-(x+2)+2x+2+4422，-121t422，t2或t2+24
