1、集合的含义与表示知识剖析1 元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2 集合的元素特征 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合A=1，2，a，就意味a1且a2. 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：
2、高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3=2，3，1.3 元素与集合的关系 若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA.Eg：菱形平行四边形，0N，01，2，3，4.脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)4 常用数集自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.5 集合的分类有限集，无限集，空集.Eg：奇数集xx=2n+1 , nZ属于无限集，xRx2+1=0=.6 集合的
3、表示方法 列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：xA|p(x).用符号描述法表示集合时应注意：(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.(3) Eg： A=x|x2-x-2=0方程x2-x-2=0的解，
4、即A=-1，2；B=x|x2-x-20不等式x2-x-20的解集，即B=x|-1x-94；E=(x , y)|y=x2-x-2函数y=x2-x-2的图像，它是个点集. 经典例题【典题1】下列说法正确的是 ( )A.某个村子里的高个子组成一个集合；B.所有小的正数组成的集合；C.集合1 , 2 , 3 , 4 , 5和5 , 4 , 3 , 2 , 1表示同一个集合；D.1 , 0.5 , 12 , 32 , 64 , 14这些数组成的集合有五个元素.【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A , B的对象不具备确定性；D中的0.5 , 12 , 14三个数相等，32 , 64相等，
5、故集合只有3个元素；集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2】设集合A=2 , 1-a , a2-a+2，若4A，则a= .【解析】4A 1-a=4或a2-a+2=4，i若1-a=4，则a=-3，此时a2-a+2=14，A=2 , 4 , 14；(ii)若a2-a+2=4，则a=2或a=-1，a=2时，此时1-a=-1，A=2 , -1 , 4；a=-1时，此时1-a=2，则A=2 , 2 , 4不符合集合的互异性”，故a-1.综上 a=-3或2【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当a=-1时，1-a=2，此时A=2 , 2 , 4不符
6、合集合的互异性”，故a-1.故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合A=6x-2Z|xN= .【解析】根据xN，且6x-2Z可得：x=0时，6x-2=-3；x=1时，6x-2=-6；x=3时，6x-2=6；x=4时，6x-2=3； x=5时，6x-2=2； x=8时，6x-2=1；A=3 , 6 , 6 , 3 , 2 , 1【点拨】 看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x-2”，而不是“x”)，再看元素需要满足的条件； 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.【典题4】 若集合A=x|ax2+2x+1=0 , aR至多有一个元素，则a的取值范围是【解析】集合
7、A=x|ax2+2x+1=0 , aR至多有一个元素，a=0或a0=4-4a0，解得a=0或a1，a的取值范围是a|a=0或a1【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.巩固练习1 () 下列各组对象能构成集合的是()A充分接近的所有实数 B所有的正方形C著名的数学家 D1，2，3，3，4，4，4，4【答案】 B【解析】 选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性故选：B2() 以实数x,-x,|x|,x2,-3x3为元素所组成的集合最多含有()个元素A0B1C2D3【答案】 C【解析】当x0时，x=|x|=x20，-3x3=-x0，此时
8、集合共有2个元素；当x=0时，x=|x|=x2=-3x3=-x=0，此时集合共有1个元素；当x0,x98; 2) 若a=0，则有A=23；若a=98 ，则有A=43；3) a=0或a98.【解析】 1)若A是空集，则方程ax2-3x+2=0无解，此时a0且=9-8a98. 2)若A中只有一个元素则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件；当a0，此时=9-8a=0，解得a=98.a=0或a=98若a=0，则有A=23；若a=98 ，则有A=43；3)若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a98.
