1、1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；重点2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题.(难点)学习目标情境引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？泰坦尼克号.mp4引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25的C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？BAC60与方位角有关的实际问题一讲授新课讲授新课D【分析】这船继续向东航行是否平安，取决于灯塔C到AB
2、航线的距离是否大于 10 n mile.北东解：由点A作ADBC于点D,设AD=x,那么在RtABD中，在RtACD中，解得20.7910 x 所以，这船继续向东航行是平安的.BACD2555北东tantan55BDADBADxtantan25CDADCADx由BC=BD-CD,得tan552520,BCxx 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远精确到0.01海里？6534PBCA试一试解：如图，在RtAPC中，PCPAcos906580cos25800.91=
3、72.8在RtBPC中，B34sinPCBPB72.8130.19sinsin34PCPBB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.19海里6534PBCA利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；2根据条件的特点，适中选用锐角三角形函数等去解直角三角形；3得到数学问题的答案；4得到实际问题的答案方法归纳例1 如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，ACBC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45,求山高(结果保存根号)分析：求AC，无论是在Rt
4、ACD中，还是在RtABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.仰角和俯角问题二解：在RtABC中，3=tan=tan30=,3ACBBC=3.BCAC 在RtACD中，=tan=tan45=1,ACADCDC=.DCACBDBCDC=3-ACAC()=3-1=1000AC()()1000=5003+1m.3-1AC例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，那么地面目标B，C之间的距离是_解析：由题意可知，在RtABC中，B90，CC
5、AD30，AB1000m，()1000=1000 3 m.tantan30ABBCC【方法总结】解此类问题，首先要找到适宜的直角三角形，然后根据条件解直角三角形例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高结果精确到0.1m.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60.RtABD中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角解：如图，=30,=60，AD120
6、tan,tanBDCDADADQtan120 tan30BDAD312040 33tan120tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277.1答：这栋楼高约为277.1m.ABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度精确到0.1m.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中，AB=ACBC=55.240=15.1答：旗杆的高度为15.1m.练一练tanACADCDCtanACADC DCtan54 40 55.
7、1利用坡角解决实际问题三例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽精确到0.1米,.45304米12米ABCD414.12,732.13解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4米，CDEF12米 在RtADE中，在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF=4126.9322.93米答：路基下底的宽约为22.93米45304米12米ABCEFD4tan 45DEAEAE Q，44().tan 45AE米46.93()tan30BF米1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B
8、，并测得它的俯角为45，那么船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，那么建筑物CD的高为_米.100当堂练习当堂练习20 3图1图2BCBC3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，CD=200米，点C在BD上，那么树高AB等于 根号保存4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，CAB=45，那么折叠后重叠局部的面积为 根号保存 100 13米图3图4222cm5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观
9、测站O处测得该船位于北偏东60的方向，那么该船航行的距离即AB的长为_.解析：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4km，AD=OA=2km在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=2km，AB=AD=km即该船航行的距离为 km1222 22 26.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CDA
10、B于点D，=,=,tan30tan45CDCDADBDADBDAB，()()3+1=600,=3003-1.CDCD在RtBCD中，ACBC()=300 23-1.BC 在RtACD中，()=6003-1.AC()()6003-1+300 23-1750750600150(km)答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线(km).7.如以下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，那么这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是
11、多少米结果保存根号解：在RtABO中，tanBOA=tan60=AB=BO tan60=4 =4 米答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1 3，斜坡CD的坡度为1 2.5，求：1坝底AD与斜坡AB的长度精确到0.1m;2斜坡CD的坡角精确到 1.EFADBC1:2.52361:3解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F,由题意可知BE=CF=23m ，EF=BC=6m.EFADBC 1:2.52361 3:在RtABE中13BEAE33 2369m AEBE在RtDCF中，同理可得
12、2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE12.5CFFD1.复习并稳固圆中的根本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.(重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.难点学习目标导入新课导入新课情境引入假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能将旋转木马破碎的圆形底座复原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?想一想旋转木马.mp4问题问题1 构成圆的根本要素有那些构成圆的根本要素有那些?导入新课导入新课复习与思考or 两个条件:圆心半径那么我
13、们又该如何画圆呢?问题2 过一点可以作几条直线？问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？合作探究以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A探索确定圆的条件一讲授新课讲授新课回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法1分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；2.作直线MN.NMAB问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题3：过不在同一直线
14、上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGFo经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.n经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.ABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.有且只有位置关系ABCDEGFo归纳总结 不在同一直线上的三个点确定一个圆.例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是典例精析A第块 B第块 C第块 D第块B试一试：ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心二1.外接圆三角形的三
15、个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆.这个三角形叫作这个圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：概念学习判一判：以下说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的外心的位置关系.ABCOABCCABOO画一画锐角三角形的外心位于三角形内；直
16、角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳例：如图，将AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，ABO60，假设AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)(1)求DAO的度数；(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积解：(1)ADOABO60，DOA90，DAO30；典例精析(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积(2)点D的坐标是(0，3)，OD3.在RtAOD中，OAODtanADO ，AD2OD6，点A的坐标是(，0)AOD90，AD是圆的直径，AOB外接圆的面积是9.3 33 3方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度 1.判
17、断：1经过三点一定可以作圆 2三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 3三角形的外心到三边的距离相等 4等腰三角形的外心一定在这个三角形内 当堂练习当堂练习2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.B3.如图，是一块圆形镜片破碎后的局部残片，试找出它的圆心.ABCO方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C.2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,O即为所求.4.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A点P B点Q C点R D点MB5.如图，ABC内接于 O，假设OAB20，那么C的度数是_706.如图，在ABC中，点O在边AB上，且点O为ABC的外心，求ACB的度数解：点O为ABC的外心，OAOBOC，OACOCA，OCBOBC.OACOCAOCBOBC180，OCAOCB90，即ACB90.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC外接圆的圆心坐标是_，半径是_5，22 5
