1、4.2 二叉树的基本操作无论是线性结构还是非线性结构数据，都需要对数据元素逐个进行组织存储和处理。二叉树的基本操作，主要包括二叉树的建立和遍历等。二叉树的建立1.建立二叉树的操作，可以按照层的顺序进行，先由第1层开始，依次到下一层，在每一层中按照从左到右的顺序创建节点。二叉树的建立可以用数组或者链表数据结构来实现。1.数组实现用数组来表示二叉树时，分为以下两种情况。（1）完全二叉树从二叉树的根节点开始，按从上而下、自左向右的顺序对n个节点进行编号，根节点的编号为0，最后一个节点的编号为n-1。然后依次将二叉树的节点用一组连续的数组元素来表示，节点编号与数组的下标一一对应。如下图中图甲所示的完全
2、二叉树所对应的一维数组表示如图乙所示。ABCDE甲 完全二叉树A AB BC CD DE E01234567乙 数组表示示意图（2）非完全二叉树对于非完全二叉树，先将它补充为一棵完全二叉树，补上的节点及分支用虚线表示，如下图图甲所示的一棵非完全二叉树补全为图乙所示的完全二叉树。然后将补全后的完全二叉树，从它的根节点开始，按从上而下、自左往右的顺序对n个节点进行编号，根节点的编号为0，最后一个节点的编号为n-1。如图丙所示，依次把完全二叉树中原二叉树的节点用一维数组的各个元素来表示，节点编号与数组的下标一一对应。ABCABC甲 原二叉树乙 补全后的二叉树01234567丙 数组实现示意图ABC对
3、于完全二叉树而言，一维数组的表示方式既简单又节省存储空间。但对于一般的二叉树来说，采用一维数组表示时，结构虽然简单，却容易造成存储空间的浪费。如图甲所示，一个深度为k且只有k个节点的树需要如图乙所示2k-1个节点的存储空间才能表示出来。2.链表实现二叉树也可以采用链表来实现，用任意一组存储单元来存储二叉树的节点，用指向节点的指针来表示节点之间的关系。由于二叉树的节点可能有两个孩子，即左孩子和右孩子，因此二叉树的节点至少需要3个域：一个数据域和两个指针域。两个指针域分别指向节点的左孩子和右孩子，这两个指针分别称为左指针和右指针，这样得到的链表也称为二叉链表。如下图所示的是二叉树及其对应的二叉链表
4、实现示意图。ABDCEFGA头指针BCDEFG二叉树的list实现二叉树节点可以看成是一个三元组，元素是左、右子树和本节点数据。Python的list可以用于组合这样的三个元素。下面介绍用list构造二叉树的方法。（1）空树用None表示。（2）非空二叉树用包含三个元素的列表d,l,r表示，其中：d表示根节点的元素，l和r是两棵子树，采用与整个二叉树同样结构的list表示。这样就可以把二叉树映射到一种分层的list结构，每棵二叉树都有与之对应的（递归结构的）list。ABCDFGEHIA,B,None,None,C,D,F,None,None,G,None,None,E,H,None,None
5、,I,None,None二叉树的遍历在完成二叉树的建立操作后，就可以对二叉树的各个节点进行访问，即遍历操作。二叉树的遍历，是指按照一定的规则和次序访问二叉树中的所有节点，使得每个节点都被访问一次且仅被访问一次。按照不同的遍历方式对节点进行访问，其处理效率不完全相同。二叉树的遍历方式有很多，主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。1.前序遍历前序遍历的规则是：若二叉树为空，则空操作返回；否则，先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。ABDEHCFIGJK前序遍历顺序为：A-B-D-H-E-C-F-I-G-J-K2.中序遍历中序遍历的规则是：若二叉树为空，则空操作返回；否则，先访问左子树，再访问
6、根节点，最后访问右子树。ABDEHCFIGJK中序遍历顺序为：D-H-B-E-A-I-F-C-J-G-K3.后序遍历后序遍历的规则是：若二叉树为空，则空操作返回；否则，先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。ABDEHCFIGJK后序遍历顺序为：H-D-E-B-I-F-J-K-G-C-A如果选取其中一种遍历策略对二叉树进行遍历，对于二叉树的左右子树，也需遵守该遍历原则，即二叉树的任意一个局部都必须遵守该遍历原则。对一棵二叉树进行前序遍历时，根节点总是处于遍历序列之首；中序遍历时根节点位置居中，左子树的所有节点都在其左边，右子树的所有节点都在其右边；后序遍历时根节点位置在最后，其所有节点都在
7、其左边。二叉树的应用如果将数学表达式中的运算数和运算符视为二叉树的每个节点，那么可以构造出各种表达式树。+-84/5+3*26中序遍历：8-(3+2*6)/5+4中缀表达式后序遍历：8 3 2 6*+5/-4+后缀表达式（逆波兰表达式）计算机的处理规则简化为：从左到右依序完成计算，并方便求得结果。已知前序遍历序列和后序遍历序列，能否唯一确定一棵二叉树？不能。假如将一棵二叉树看成由根节点与左、右子树（子节点）组成，根据前序遍历和后序遍历序列都可找到根节点，但当左、右子树（子节点）有一个为空时，则无法确定序列中的其他节点到底是位于左子树还是右子树。例如，某二叉树的根节点下仅有一个子节点，只知道前序
8、遍历与后序遍历，是无法确定该子节点到底是右子节点还是左子节点。练一练1.有如图所示的二叉树。用list表示该二叉树为：A.a,b,d,c,eB.a,b,c,None,None,None,d,eC.a,b,c,d,e,None,NoneD.a,b,c,None,None,d,e,None,NoneabcdeD2.表达式（3+5）*4-8/2的后缀表达式为：A.3 5+4*-8 2/B.3 5+4*8 -2/C.3 5+4*8 2-/D.3 5+4*8 2/-D3.一棵二叉树的前序遍历序列是abdecfhg，后序遍历序列是debhfgca，则根节点的右子树的节点个数可能是：A.3B.4C.5D.6B4.某棵二叉树用数组存储后如图所示：数组下标数组下标0 01 1 2 23 34 45 56 67 78 89 9 1010 1111 1212 1313 1414数组元素FC ADEH GB则节点D的左孩子节点为：A.HB.空C.GD.EA谢 谢
