1、 第 1 页（共 29 页） 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1比 0 小 1 的数是（ ） A0 B1 C1 D1 2下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（ ） A B C D 3计算（a2）3，正确结果是（ ） Aa5 Ba6 Ca8 Da9 4如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“”所示区域内的概率是 （ ） A B C D 5要使二次根式有意义，则 x 的值可以为（ ） A0 B1 C2 D4 6不等式组的解集在数轴上表示
2、正确的是（ ） A B C D 7某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月 增长率为 x，根据题意可得方程（ ） 第 2 页（共 29 页） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）2442 8 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A B C D 9二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平
3、移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 10如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC1，则 AB 的长度为（ ） A B C D 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11一元一次方程 2x+13 的解是 x 12定义 aba（b+1） ，例如 232（3+1）248则（x1）x 的结果为 13某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数 是 14小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图
4、 2 所示的“行礼图” ，已知正方形 ABCD 的边长为 4dm，则图 2 中 h 的值为 dm 第 3 页（共 29 页） 15 如图， 将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐标系中， AB 在 x 轴上， 点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y（x0）的图 象恰好经过点 F，M若直尺的宽 CD3，三角板的斜边 FG8，则 k 16 图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置， 图 2 是其示意图 已知 O， P 两点固定， 连杆 PAPC140cm， ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O
5、，P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时，点 A， B，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A，C 重合， 点 P，Q，A，B 在同一直线上（如图 3） （1）点 P 到 MN 的距离为 cm （2）当点 P，O，A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm 第 4 页（共 29 页） 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 1719 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2021 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2223 小题小题 每小题每小题 6 分，第分，第 24 小题
6、小题 12 分，共分，共 66 分请务必写出解答过程）分请务必写出解答过程） 17 （6 分） 计算：|2|+（）0+2sin30 18 （6 分） 先化简，再求值：，其中 a3 19 （6 分） 如图，在 55 的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE，使顶点 D，E 在格点上 （2）在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l（至少经过两个格点） 20 （8 分） 某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测根据检 测结果，制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A
7、 5.1x5.3 25 第 5 页（共 29 页） B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0 x4.3 52 （1）求组别 C 的频数 m 的值 （2）求组别 A 的圆心角度数 （3）如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好” ，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人 数根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 21 （8 分） 如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 22 （10 分） 2020
8、年 5 月 16 日， “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图 1 所示当 游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的 速度为 20km/h，游轮行驶的时间记为 t（h） ，两艘轮船距离杭州的路程 s（km）关于 t（h）的图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变） （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问： 货轮出发后几小时追上游轮？ 第 6 页（共 29 页） 游轮与货轮何时相距 12km？ 23 （10 分） 如图 1，在平面直
9、角坐标系中，ABC 的顶点 A，C 分別是直线 yx+4 与坐标轴的交点，点 B 的坐 标为（2，0） ，点 D 是边 AC 上的一点，DEBC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上 的某点成中心对称，连结 DF，EF设点 D 的横坐标为 m，EF2为 l，请探究： 线段 EF 长度是否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题 （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标 系中以各对应值为坐标描点（如图 2） 请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜想
10、l 与 m 可能满足的函 数类别 （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达 式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值 （3）小明通过观察， 推理，发现BEF 能成为直角三角形， 请你求出当BEF 为直角三角形时 m 的值 24 （12 分） 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于 第 7 页（共 29 页） 点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由 （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记D
11、GO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当时，求的值 【拓展延伸】 （4） 若 DF 交射线 AB 于点 F， 【性质探究】 中的其余条件不变， 连结 EF， 当BEF 的面积为矩形 ABCD 面积的时，请直接写出 tanBAE 的值 第 8 页（共 29 页） 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）比 0 小 1 的数是（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】根据题意列式计算即可得出结果 【解答】解：0
12、11， 即比 0 小 1 的数是1 故选：B 【点评】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键 2 （3 分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（ ） A B C D 【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可 【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确； B、俯视图是正方形，故此选项错误； C、俯视图是长方形，故此选项错误； D、俯视图是长方形，故此选项错误 故选：A 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形 3 （3 分）计算（a2）3，正确结果是（ ） Aa5 Ba6 Ca8 Da9 【分析】根据幂的乘方法则进行
13、计算即可 【解答】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知， （a2）3a2 3a6 故选：B 第 9 页（共 29 页） 【点评】本题考查的是幂的乘方法则，即底数不变，指数相乘 4 （3 分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“”所示区域内的 概率是（ ） A B C D 【分析】直接利用“”所示区域所占圆周角除以 360，进而得出答案 【解答】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“”所示区域内的概率是： 故选：A 【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键 5 （3 分）要使二次根式有意义，则 x 的值可以为（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】根据
14、二次根式有意义的条件可得 x30，再解即可 【解答】解：由题意得：x30， 解得：x3， 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来 第 10 页（共 29 页） 即可求解 【解答】解：， 由得 x1； 由得 x1； 故不等式组的解集为1x1， 在数轴上表示出来为： 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组 的解；按照“同大
15、取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”得到公共部 分 7 （3 分）某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的 平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）2442 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，如果设这个增长率为 x， 根据“2 月份的 180 万只，4 月份的利润将达到 461 万只” ，即可得出方程 【解答】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x
16、，根据题意可得方程：180（1+x） 2461， 故选：B 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）2b，a 为 起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 8 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） 第 11 页（共 29 页） A B C D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意 B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意 C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行，
17、 故选：D 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考 题型 9 （3 分）二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可 【解答】解：A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合题意 B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y1
18、1，本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，本选项符合题意 D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型 10 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC 1，则 AB 的长度为（ ） 第 12 页（共 29 页） A B C D 【分析】先判断出ADE45，进而判断出 AEAD，利用勾股定理即可得出结论 【解答】解：
19、由折叠补全图形如图所示， 四边形 ABCD 是矩形， ADABCA90，ADBC1，CDAB， 由第一次折叠得：DAEA90，ADEADC45， AEDADE45， AEAD1， 在 RtADE 中，根据勾股定理得，DEAD， 故选：A 【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）一元一次方程 2x+13 的解是 x 1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解；将方程移项得， 2x2， 系数化为 1
20、 得， x1 故答案为：1 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题 12 （4 分）定义 aba（b+1） ，例如 232（3+1）248则（x1）x 的结果为 x21 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可 第 13 页（共 29 页） 【解答】解：根据题意得： （x1）x（x1） （x+1）x21 故答案为：x21 【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用 13 （4 分）某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的 中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义
21、计算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为 中位数 【解答】解：某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是 5， x5544566， 这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， 这组数据的中位数是 5 故答案为：5 【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的 个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数 据的平均数就是这组数据的中位数也考查了平均数的定义 14 （4 分）小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图” ，已知正方形
22、ABCD 的边长为 4dm， 则图 2 中 h 的值为 （4+） dm 【分析】根据七巧板的特征，依次得到的高，再相加即可求解 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4dm， 的斜边上的高是 2dm，的高是 1dm，的斜边上的高是 1dm，的斜边上的高是dm， 图 2 中 h 的值为（4+）dm 故答案为： （4+） 【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到的高解决问题 第 14 页（共 29 页） 15 （4 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角
23、板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y（x 0）的图象恰好经过点 F，M若直尺的宽 CD3，三角板的斜边 FG8，则 k 40 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出 MN，FN，进而求出 AN、MB，表示出点 F、点 M 的 坐标，利用反比例函数 k 的意义，确定点 F 的坐标，进而确定 k 的值即可 【解答】解：过点 M 作 MNAD，垂足为 N，则 MNCD3， 在 RtFMN 中，MFN30， FNMN3， ANMB835， 设 OAx，则 OBx+3， F（x，8） ，M（x+3，5） ， 8x（x+3）5， 解得，x5， F（5，8） ， k5840 故答案为：4
24、0 第 15 页（共 29 页） 【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法 16 （4 分）图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图已知 O，P 两点固定，连杆 PA PC140cm，ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O，P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时，点 A，B，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时， 点 A，C 重合，点 P，Q，A，B 在同一直线上（如图 3） （1）点 P 到 MN 的距离为 160 cm （2）当点 P，O，A 在同一直线上时
25、，点 Q 到 MN 的距离为 cm 【分析】 （1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OHPQ 于 H解直角三角形求出 PT 即可 （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm解直角三角形求出 HT 即 可 【解答】解： （1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OHPQ 于 H 第 16 页（共 29 页） 由题意：OPOQ50cm，PQPAAQ146080（cm） ，PMPA+BC140+60200（cm） ，PT MN， OHPQ， PHHQ40（cm） ， cosP， ， PT160（cm） ， 点
26、 P 到 MN 的距离为 160cm， 故答案为 160 （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm 由题意 ATPTPA16014020 （cm） ， OAPAOP1405090 （cm） ， OQ50cm， AQ60cm， QHOA， QH2AQ2AH2OQ2OH2， 602x2502（90 x）2， 第 17 页（共 29 页） 解得 x， HTAH+AT（cm） ， 点 Q 到 MN 的距离为cm 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题 意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
27、题，学会利用参数构建方程解决问题 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 1719 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2021 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2223 小题小题 每小题每小题 6 分，第分，第 24 小题小题 12 分，共分，共 66 分请务必写出解答过程）分请务必写出解答过程） 17 （6 分）计算：|2|+（）0+2sin30 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+13+2 2+13+1 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化
28、简，再求值：，其中 a3 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案 【解答】解：原式 （a1） ， 当 a3 时，原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键 19 （6 分）如图，在 55 的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE，使顶点 D，E 在格点上 （2）在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l（至少经过两个格点） 第 18 页（共 29 页） 【分析】 （1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一） （2）利用数形结合的思想解决问题即可 【解答】解： （1）如图平行四边形 AB
29、DE 即为所求（点 D 的位置还有 6 种情形可取） （2）如图，直线 l 即为所求、 【点评】本题考查作图应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 20 （8 分） 某市在九年级 “线上教学” 结束后， 为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测 根 据检测结果，制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1x5.3 25 B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0 x4.3 52 （1）求组别 C 的频数 m 的值 （2）求组别 A 的圆心角度数 （3）如果视力值 4.
30、8 及以上属于“视力良好” ，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人 数根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 第 19 页（共 29 页） 【分析】 （1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到 m 的值； （2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别 A 的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以得到该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理 化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可 【解答】解： （1）本次抽查的人数为：11523%500， m50061.6%308， 即 m 的值是 308； （2）组别 A 的
31、圆心角度数是：36018， 即组别 A 的圆心角度数是 18； （3）250007000（人） ， 答：该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的有 7000 人， 建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形 结合的思想解答 21 （8 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 【分析】 （1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 （2）
32、证明AECBCA，推出，求出 EC 即可解决问题 第 20 页（共 29 页） 【解答】 （1）证明：AEDE，OC 是半径， ， CADCBA （2）解：AB 是直径， ACB90， AEDE， OCAD， AEC90， AECACB， AECBCA， ， ， CE3.6， OCAB5， OEOCEC53.61.4 【点评】本题考查三角形的外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型 22 （10 分）2020 年 5 月 16 日， “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图 1 所示 当游轮到达建德境内的 “七里扬帆”
33、景点时， 一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州 已 知游轮的速度为 20km/h，游轮行驶的时间记为 t（h） ，两艘轮船距离杭州的路程 s（km）关于 t（h）的 图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变） （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问： 第 21 页（共 29 页） 货轮出发后几小时追上游轮？ 游轮与货轮何时相距 12km？ 【分析】 （1）根据图中信息解答即可 （2）求出 B，C，D，E 的坐标，利用待定系数法求解即可 （3）分两种情形分别构建方程求解即可 【解答】解： （1）C
34、点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h 游轮在“七里扬帆”停靠的时长23（42020）23212（h） （2）2802014h， 点 A（14，280） ，点 B（16，280） ， 36600.6（h） ，230.622.4， 点 E（22.4，420） ， 设 BC 的解析式为 s20t+b，把 B（16，280）代入 s20t+b，可得 b40， s20t40（16t23） ， 同理由 D（14，0） ，E（22，4，420）可得 DE 的解析式为 s50t700（14t22.4） ， 由题意：20t4050t700， 解得 t22， 22148（h） ， 货轮出发后
35、8 小时追上游轮 相遇之前相距 12km 时，20t4（50t700）12，解得 t21.6 相遇之后相距 12km 时，50t700（20t40）12，解得 t22.4， 21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距 12km 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题，属于 第 22 页（共 29 页） 中考常考题型 23 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A，C 分別是直线 yx+4 与坐标轴的交点， 点 B 的坐标为（2，0） ，点 D 是边 AC 上的一点，DEBC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两
36、点关 于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF，EF设点 D 的横坐标为 m，EF2为 l，请探究： 线段 EF 长度是否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题 （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标 系中以各对应值为坐标描点（如图 2） 请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜想 l 与 m 可能满足的函 数类别 （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达 式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值 （
37、3）小明通过观察， 推理，发现BEF 能成为直角三角形， 请你求出当BEF 为直角三角形时 m 的值 【分析】 （1）根据描点法画图即可； （2）过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H，证明 RtFGKRtDHK（AAS） ， 由全等三角形的性质得出 FGDH， 可求出 F （m， 2m+4） ， 根据勾股定理得出 lEF28m216m+16 8（m1）2+8，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出 m 的方程，解方程求出 m 的值，则可求出答案 【解答】解： （1）用描点法画出图形如图 1，由图象可知函数类别为二次函数 第
38、23 页（共 29 页） （2）如图 2，过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H， 则FGKDHK90， 记 FD 交 y 轴于点 K， D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称， KFKD， FKGDKH， RtFGKRtDHK（AAS） ， FGDH， 直线 AC 的解析式为 yx+4， x0 时，y4， A（0，4） ， 又B（2，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x+4， 过点 F 作 FRx 轴于点 R， 第 24 页（共 29 页） D 点的橫坐标为 m， F（m，2m+4） ， ER2
39、m，FR2m+4， EF2FR2+ER2， lEF28m216m+168（m1）2+8， 令+40，得 x， 0m 当 m1 时，l 的最小值为 8， EF 的最小值为 2 （3）FBE 为定角，不可能为直角 BEF90时，E 点与 O 点重合，D 点与 A 点，F 点重合，此时 m0 如图 3，BFE90时，有 BF2+EF2BE2 由（2）得 EF28m216m+16， 又BRm+2，FR2m+4， BF2BR2+FR2（m+2）2+（2m+4）25m220m+20， 又BE2（m+2）2， （5m220m+8）+（8m216m+16）2（m+2）2， 化简得，3m210m+80， 解得
40、m1，m22（不合题意，舍去） ， m 综合以上可得，当BEF 为直角三角形时，m0 或 m 【点评】本题是一次函数综合题，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质， 坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌 第 25 页（共 29 页） 握方程思想及分类讨论思想是解题的关键 24 （12 分） 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于 点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由 （2）求证：BF2OG 【
41、迁移应用】 （3）记DGO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当时，求的值 【拓展延伸】 （4） 若 DF 交射线 AB 于点 F， 【性质探究】 中的其余条件不变， 连结 EF， 当BEF 的面积为矩形 ABCD 面积的时，请直接写出 tanBAE 的值 【分析】 （1）如图 1 中，AFG 是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可 （2）如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG首先证明 OGOL，再证明 BF 2OL 即可解决问题 （3）如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90，利用相似三角形的性质解决问题 即可 （4）设 OGa
42、，AGk分两种情形：如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF分别求解即可解决问题 【解答】 （1）解：如图 1 中，AFG 是等腰三角形 第 26 页（共 29 页） 理由：AE 平分BAC， 12， DFAE， AHFAHG90， AHAH， AHFAHG（ASA） ， AFAG， AFG 是等腰三角形 （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG AFAG， AFGAGF， AGFOGL， OGLOLG， OGOL， OLAB， DL
43、ODFB， ， 第 27 页（共 29 页） 四边形 ABCD 是矩形， BD2OD， BF2OL， BF2OG （3）解：如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90， DAKCAD， ADKACD， ， S1OGDK，S2BFAD， 又BF2OG， ，设 CD2x，AC3x，则 AD2x， （4）解：设 OGa，AGk 如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上 第 28 页（共 29 页） AFAG，BF2OG， AFAGk，BF2a， ABk+2a，AC2（k+a） ， AD2AC2CD22（k+a）2（k+2a）23k2+4ka，
44、 ABEDAF90，BAEADF， ABEDAF， ， ， BE， 由题意：102aAD （k+2a） ， AD210ka， 即 10ka3k2+4ka， k2a， AD2a， BEa，AB4a， tanBAE 如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF AFAG，BF2OG， AFAGk，BF2a， ABk2a，AC2（ka） ， AD2AC2CD22（ka）2（k2a）23k24ka， ABEDAF90，BAEADF， ABEDAF， 第 29 页（共 29 页） ， ， BE， 由题意：102aAD （k2a） ， AD210ka， 即 10ka3k24ka， ka， ADa， BEa，ABa， tanBAE， 综上所述，tanBAE 的值为或 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解 决问题，属于中考压轴题
