1、5.1.1任意角(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养2.理解角的加减运算以及相反角的概念3.掌握与角终边相同的角的表示方法二、教学重难点1.将到范围的角扩充到任意角.2.任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.三、教学过程1.呈现背景 提出问题现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象. 问题1：如图，上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转如何刻画点P的位置变化呢
2、？OAPPOA 【预设的答案】我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，射线OA，OP分别是角的始边和终边，点P是终边OP与的交点可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化 【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围2.任意角的概念、运算及分类现实生活中随处可见超出范围的角例如
3、,体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”，齿轮的旋转等. 问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面旋转量和旋转方向很显然，角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广. 2.1角的概念类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角2.2角的表示与作图【数学情境】你能分别作出750、210、-150、-660吗？【设计意图】再次
4、强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量.2.3角的运算问题3：类比实数，思考下列问题：（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？（2）两角相加又是怎样规定的？（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？【预设的答案】（1）旋转方向相同且旋转量相等.（2）角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.（3）类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角类似于实数的相反数是，角的相反角记为类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角即【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性2.4象限角
5、角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角. 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？【预设的答案】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角.问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？【预设的答案】因为锐角是指大于且小于的角，所以
6、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆2.5终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与角终边重合的角还有哪些？有多少个？【预设的答案】328，688，392，752；无数个追问：它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？【预设的答案】相差360的整数倍，可以用表示追问：将推广到一般角，结论应该是什么？【预设的答案】.【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养一般地，我们有：所有与角终边相同的角
7、，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和3.典例分析例1 在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角（1）120；（2）640；（3）95012.【预设的答案】（1）与120终边相同的角为240，它是第三象限角.（2）与640终边相同的角为280，它是第四象限角.（3）与95012终边相同的角为12948，它是第二象限角.【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础例2 写出终边在轴上的角的集合【预设的答案】终边落在y轴非负半轴上的角构成集合：，终边落在y轴非正半轴上的角构成集合
8、，观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是另外，我们还可以用这种方式求出：【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式例3 写出终边在直线上的角的集合中满足不等式的元素有哪些？【预设的答案】在范围内，终边在直线上的角有两个：，xyO因此，终边在直线上的角的集合中适合不等式的元素有，【设计意图】巩固终边相同的角的表示4.归纳小结四、课外作业1已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）420； （2）-75； （3）855； （4）-5102写出终边与-225终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素
